2021-04-30 離散傅里葉變換DFT的純數(shù)學(xué)理解

本文是介紹離散傅里葉變換的溶浴，實(shí)際上筆者看過了n多文章或者書籍介紹傅里葉變換

，但是關(guān)于從傅里葉級(jí)數(shù)到連續(xù)傅里葉變換褥伴，再到離散時(shí)間傅里葉變換漾狼，再到離散傅列葉變換逊躁，尚未發(fā)現(xiàn)有文章能把整個(gè)邏輯鏈介紹清楚的稽煤。

因此筆者另辟蹊徑酵熙，從一個(gè)非常獨(dú)立的視角來

推導(dǎo)離散傅列葉變換公式匾二。

問題：給定一個(gè)離散復(fù)信號(hào) $x[t] (0<=t<N ,t\in Z)$
以及給定以下N個(gè)離散復(fù)信號(hào)
$e_k[t] = e^{2\pi kt\sqrt{-1}/N}/\sqrt{N} (0<=t<N , 0<=k<N ,n,t\in Z)$

現(xiàn)在要求復(fù)數(shù): $X[0],X[1],...X[N-1]$ 使得
對(duì)任意 $0<=t<N,t\in Z$ 有:
$x[t]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k] e_k[t]$ (1)

解:
那么借嗽，我們可以把上面N個(gè)等式转培，表達(dá)為矩陣形式:
記 $X=(X[0],X[1],...,X[N-1])^T$
$x=(x[0],x[1],...,x[N-1])^T$
$a_{i,j} =e_j[i]$
$A=(a_{i,j})$
[ $N*N$ 矩陣惨寿，第 $i+1$ 行裂垦， $j+1$ 列為 $a_{i,j}$ 蕉拢，后文中對(duì)于一般的矩陣 $T,T_{i,j}$ 表示其 $i+1$ 行, $j+1$ 列元素，不再贅述]
則闸准，方程組(1)可以簡(jiǎn)寫為:
$x=AX$
=>
$X=A^{-1}x$

下面證明 $A$ 是酉矩陣(逆矩陣為共軛轉(zhuǎn)置的矩陣)
設(shè) $A$ 的共軛轉(zhuǎn)置矩陣為 $B$
則 $B_{i,j}= \overline e_i[j] =e^{-2\pi ij\sqrt{-1}/N}/\sqrt{N}$

$AB_{i,j}=\sum_{k=0}^{N-1} A_{i,k}B_{k,j}$
$= \sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi ik\sqrt{-1}/N} e^{-2\pi kj\sqrt{-1}/N}/N$
$=\sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi k(i-j)\sqrt{-1}/N}/N$ (2)
當(dāng) $i=j$ 時(shí)蒸其，上式 $= 1$
當(dāng) $i!=j$ 時(shí)，上式 $=0$ (證明略)

綜上但惶， $A$ 確實(shí)是酉矩陣,則
$A^{-1}=B$
將 $X=Bx$ 表達(dá)為一般形式膀曾，有:
對(duì) $0<=k<1,k\in Z$
$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1} e^{-2\pi kn\sqrt{-1}/N}/ \sqrt{N} *x[n]$
如果記 $Y[k]=\sqrt{N}X[k]$
我們便得到了標(biāo)準(zhǔn)的離散傅里葉變換表達(dá)式:
$Y[k] = \sum_{n=0}^{N-1} e^{-2\pi kn\sqrt{-1}/N}*x[n]$

綜上，離散傅里葉變換可以理解為把離散信號(hào):
$x[t] (0<=t<N ,t\in Z)$ 展開為正交基 $e_k[t]$ 的線性組合
之后斩狱，其系數(shù)的求解公式（乘以一個(gè)常量因子）

至此，就得到了離散傅里葉變換DFT的一個(gè)純數(shù)學(xué)的非常簡(jiǎn)明的理解秕岛。

最后編輯于：2021.05.03 15:35:29

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