第八講 —— 可解性及解的結(jié)構(gòu)
本講將完整解出線性方程組蔬啡，目標(biāo)是：
。其是否有解需要通過(guò)消元來(lái)確認(rèn)诵肛，有解則需要知道是唯一解還是多解屹培，并求出所有解。
1. 可解性
有方程組怔檩，
褪秀，如果方程組有解，
需要滿足什么條件薛训？想要方程組有解媒吗，必須有
。換句話說(shuō)乙埃，如果左側(cè)各行的線性組合得到
闸英，那么右側(cè)常數(shù)的相同組合必然也等于。
寫(xiě)成增廣矩陣形式介袜，![\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & b_2 \\ 3 & 6 & 8 & 10 & b_3 \\ \end{array}\right]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7Cc%7D%201%20%26%202%20%26%202%20%26%202%20%26%20b_1%20%5C%5C%202%20%26%204%20%26%206%20%26%208%20%26%20b_2%20%5C%5C%203%20%26%206%20%26%208%20%26%2010%20%26%20b_3%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
甫何，開(kāi)始消元 ——> ![\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & b_2-2b_1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & b_3-3b_1 \\ \end{array}\right]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7Cc%7D%201%20%26%202%20%26%202%20%26%202%20%26%20b_1%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%202%20%26%204%20%26%20b_2-2b_1%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%202%20%26%204%20%26%20b_3-3b_1%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
——> ![\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & b_2-2b_1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b_3-b_2-b_1 \\ \end{array}\right]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7Cc%7D%201%20%26%202%20%26%202%20%26%202%20%26%20b_1%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%202%20%26%204%20%26%20b_2-2b_1%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%26%20b_3-b_2-b_1%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
，現(xiàn)在方程三變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=0%3Db_1%2Bb_2%2Bb_3" alt="0=b_1+b_2+b_3" mathimg="1">遇伞，這就是有解的條件辙喂，與之前的估計(jì)保持一致，即需滿足鸠珠。假設(shè)右側(cè)向量
巍耗，此時(shí)方程有解，代入得方程組![\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7Cc%7D%201%20%26%202%20%26%202%20%26%202%20%26%201%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%202%20%26%204%20%26%203%20%5C%5C%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
渐排。
可解性（Solvability）炬太，有解時(shí)右側(cè)向量
需滿足的條件，滿足什么條件飞盆，才能讓總有解娄琉。從列空間的角度次乓，必須屬于
的列空間吓歇，有解，也就是說(shuō)必須是各列的線性組合票腰。從行的角度城看，如果各行的線性組合得到零行，那么中元素的同樣組合必然也是零杏慰。
2. 求的所有解
第一步只求一個(gè)特定的解测柠，即特解炼鞠。將所有自由變量設(shè)為，然后解出的主變量轰胁。本例中設(shè)
谒主，方程組此時(shí)為
，回代得到
赃阀。特解
霎肯。
其他的解如何求？這里的關(guān)鍵是：可以加上零空間中的任意
榛斯，將
與
相加观游，最終結(jié)果是所有的解。即complete solution 
驮俗。因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=Ax_%7Bp%7D%3Db%2CAx_%7Bn%7D%3D0" alt="Ax_{p}=b,Ax_{n}=0" mathimg="1">懂缕，則有%3Db)
，對(duì)于方程組某解王凑，其與零空間內(nèi)任意向量之和仍為解搪柑。
回到本例，
荤崇。此處零空間
是
中的二維子空間拌屏。
是不穿過(guò)原點(diǎn)而穿過(guò)特解
的二維平面。
3. 
矩陣的秩
矩陣有
行术荤，
列倚喂，個(gè)主元，此時(shí)必然有
瓣戚。
滿秩（full rank）端圈，即取最大時(shí)的情況，這存在兩種可能性子库，分別對(duì)應(yīng)于和的數(shù)值舱权。
列滿秩（full column rank），
仑嗅，意味著每一列都有主元宴倍，沒(méi)有自由變量，這時(shí)零空間)
內(nèi)只有零向量仓技，因?yàn)闆](méi)有自由變量能夠賦值鸵贬，而如果有解的話只有特解一個(gè)，我們稱其為唯一解脖捻，或者無(wú)解阔逼。
舉例有矩陣
，其簡(jiǎn)化行階梯形式
地沮。這個(gè)矩陣有兩個(gè)無(wú)關(guān)的行嗜浮，這里有四個(gè)方程羡亩，卻只有兩個(gè)未知數(shù)，不可能總有解危融。只有當(dāng)右側(cè)向量恰好是各列的線性組合時(shí)畏铆，方程組才有解，例如
吉殃，對(duì)應(yīng)特解
及志。
行滿秩（full row rank），
寨腔，每一行都會(huì)有主元速侈，消元時(shí)不會(huì)出現(xiàn)零行，因此對(duì)沒(méi)有要求迫卢，對(duì)應(yīng)任意倚搬，都有解。自由變量個(gè)數(shù)為
乾蛤，也就是
每界。行滿秩情況總有解。
舉例有矩陣
家卖，其行最簡(jiǎn)形式
眨层，
中各主列構(gòu)成單位陣，剩余部分構(gòu)成零空間內(nèi)特解上荡。
滿秩（full rank）趴樱，
的情況，舉例矩陣
酪捡，首先這種矩陣肯定是方陣叁征，然后它滿秩，這得到的是一個(gè)可逆矩陣逛薇，其
捺疼。零空間只包含零向量，對(duì)于則一定有解永罚。由于秩等于啤呼，任意都有解，又由于秩等于呢袱，因此解唯一官扣。
矩陣的秩決定了方程組解的數(shù)目。總結(jié)如下：
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