前言
物理學中有非常多的思想實驗，其中有四個比較出名涎才，即芝諾的龜鞋既、拉普拉斯的妖、麥克斯韋的妖和薛定諤的貓耍铜。這四個思想實驗中的龜邑闺、妖、妖和貓也被戲稱為物理學四大神獸棕兼。從本篇開始陡舅，我將寫四篇文章對上述四個思想實驗做較為深入的解讀和分析。
芝諾的龜
一伴挚、芝諾悖論的四種表述
芝諾的龜出自于芝諾佯謬（也叫芝諾悖論靶衍，Zeno's paradox），而實際上茎芋，類似的悖論在中國古代的《莊子·天下篇》中就有描述颅眶。
鏃矢之疾，而有不行不止之時败徊。
芝諾佯謬來自于亞里士多德在其《物理學》的第VI卷中的轉(zhuǎn)述帚呼，共有四個版本：
1、二分法悖論。如圖1所示煤杀，現(xiàn)在有一個運動員從起跑點出發(fā)往終點跑去眷蜈。他要想跑到終點，就必須先到達全程的一半處沈自，而要想到達一半處酌儒，必須先到達1/4處，這個過程可以無限的進行下去枯途，所以忌怎，他永遠到達不了終點，或者說酪夷，他根本動不了榴啸。
<figcaption>圖1 二分法示意圖</figcaption>
2、阿基里斯和龜晚岭。如圖2所示鸥印，阿基里斯追前面的一只烏龜，阿基里斯的速度大于烏龜?shù)乃俣忍贡ā３跏紩r烏龜處于A1處库说，等阿基里斯跑到A1處時，烏龜已經(jīng)爬到A2處了片择；當阿基里斯再趕到A2處時潜的，烏龜已經(jīng)爬到A3處了......雖然每次追趕的距離越來越小，但是這個過程卻是可以永遠的進行下去的字管，因此阿基里斯永遠追不上烏龜啰挪。
<figcaption>圖2 阿基里斯和龜</figcaption>
3、飛矢不動纤掸。如圖3所示脐供。一支飛行的箭是靜止的。由于每一時刻這支箭都有其確定的位置因而是靜止的借跪，因此箭就不能處于運動狀態(tài)∽煤荆《莊子·天下篇》說的也是這個道理：疾飛之箭掏愁，每一瞬間箭既在某點，又不在某點卵牍，即所謂的“不行”“不止”果港，也就說箭既不動也不停，辯證的意味深遠糊昙。另外辛掠，中國古代的名家慧施也提出過“飛鳥之景，未嘗動也”的類似說法。
<figcaption>圖3 飛矢不動</figcaption>
4萝衩、運動場回挽。假設在操場上有觀眾席Ａ，列隊Ｂ猩谊、Ｃ千劈，如圖4所示，在一瞬間（一個最小時間單位）里牌捷，相對于觀眾席Ａ墙牌，列隊Ｂ、Ｃ將分別各向右和左移動一個距離單位暗甥。而此時喜滨，對B而言C移動了兩個距離單位。也就是撤防，隊列既可以在一瞬間（一個最小時間單位）里移動一個距離單位鸿市，也可以在半個最小時間單位里移動一個距離單位，這就產(chǎn)生了半個時間單位等于一個時間單位的矛盾即碗。因此隊列是移動不了的焰情。
<figcaption>圖4 運動場隊列示意圖</figcaption>
以上是芝諾悖論的四種表述，這四種可分為兩組剥懒，前兩個假設時空連續(xù)内舟，后兩個假設時空是分立的。本文對悖論里的哲學辯證思想不做任何討論初橘，只從數(shù)學的角度探討阿基里斯和龜悖論的原因验游，另外三個悖論感興趣的讀者可以自行研究。
二保檐、阿基里斯和龜
本節(jié)我們詳細推導一下阿基里斯追不上烏龜?shù)臄?shù)學原理耕蝉。實際上，這個悖論的本質(zhì)是兩種不同的度量的比較夜只，一個普通的時間度量 垒在，在這個度量下阿基里斯最終追上了烏龜，另一個我們姑且稱作“芝諾鐘“
”扔亥，在這個度量下场躯，即使時間趨向于正無窮，阿基里斯也追不上烏龜旅挤。
假設開始時阿基里斯與烏龜相距
踢关，二者的速度分別為
和 ，顯然
粘茄。在普通鐘下签舞，當
時阿基里斯追上烏龜秕脓。而對于芝諾鐘，每次阿基里斯到達烏龜本來所在的地方時儒搭，其“滴答”一下吠架，也就是其值加一。因此师妙，普通鐘和芝諾鐘的關系為：
<figcaption>圖5</figcaption>
因此有限的芝諾鐘時間下阿基里斯是追不上烏龜?shù)摹?/p>
三诵肛、分析和討論
阿基里斯與烏龜本質(zhì)上來說就是對時間度量做了一個變換，把正常世界的時間映射到芝諾度量下默穴，用芝諾鐘的指示看運動怔檩，結(jié)論自然不一樣。既然這是一個“佯謬”或者“悖論”蓄诽，就說明這肯定是錯誤的薛训。
也有人用量子力學中的“時空是離散的”這樣的結(jié)論來證明芝諾悖論是不成立的，實際上這是不對的仑氛。首先乙埃，芝諾悖論提出的時候和量子力學并沒有關系，其中的時空不連續(xù)也是辯證意義上的锯岖；其次介袜，量子力學的時空是離散的并不是嚴謹?shù)谋磉_，實際上量子力學中并不存在時空離散這樣的理論或者結(jié)論出吹，具體的內(nèi)容此處不過多說明遇伞。總而言之捶牢，芝諾悖論與量子力學扯不上關系鸠珠。
阿基里斯與龜?shù)你Ｕ搧碜杂谥ブZ鐘的局限性，芝諾鐘所能描述的時間范圍只是普通鐘的一段秋麸，那么渐排，我們所使用的普通鐘是否也有局限性呢？答案是有的灸蟆！普通鐘不能用來度量物體落入黑洞之后的過程驯耻，而物體向黑洞掉落的過程也需要無窮大的普通鐘時間。因此次乓，為了描述與黑洞相關的現(xiàn)象吓歇，我們也需要找到一個新的鐘來度量這些過程。有興趣的讀者可以自行了解廣義相對論的內(nèi)容票腰。
歷史上，人們很早就開始懷疑“速度”這個量女气，這其中充滿了哲學的味道杏慰。相傳，在芝諾挑戰(zhàn)運動現(xiàn)實性的時候，希臘哲學家缘滥、犬儒注意的代表性人物第歐根尼（Diogenes轰胁，412~323BC）以反對者的面貌出現(xiàn)——他站起來，一言不發(fā)地走了幾個來回朝扼，然后又坐下赃阀，以此當做他優(yōu)雅地反駁了芝諾。
注：本文部分內(nèi)容引用國科大趙亞溥老師的力學講義和維基百科擎颖，文中圖片均來源于網(wǎng)路榛斯。
