線代有個(gè)很難理解的知識(shí)點(diǎn)，即同一特征值的線性無(wú)關(guān)特征向量個(gè)數(shù)要小于等于特征值重?cái)?shù)钦铺。
這個(gè)結(jié)論是怎么來(lái)的呢捎谨？本文用最樸素的證明來(lái)幫助大家弄懂這個(gè)知識(shí)點(diǎn)（結(jié)論推導(dǎo)所用的都是基礎(chǔ)的線代知識(shí)，只是有些數(shù)學(xué)式子比較復(fù)雜区岗，認(rèn)真看完，理解很容易毁枯，相信自己４鹊蕖）。
a.首先一起看下會(huì)用到的兩個(gè)tips：
tip 1：一定可以找到n個(gè)線性無(wú)關(guān)的n維向量种玛，且它們可以表示任何一個(gè)n維向量
比如2維向量：能找到? 和
兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量藐鹤，能表示二維平面里面的所有向量。
3維向量：能找到赂韵，
娱节，
三個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，能表示三維立體空間里面的所有向量祭示。
例圖
tip 2：來(lái)計(jì)算一下某種行列式的值
n階行列式：
具有某種規(guī)律的行列式（其中m＜n）
以5階為例肄满，一起來(lái)找規(guī)律。
找規(guī)律
由此可見，其行列式的值都是x的某次方乘以一堆式子稠歉。
于是我們將此規(guī)律擴(kuò)展到n維：
拓展到n維（為了方便掰担，將后面的常數(shù)用*代替）
至此兩個(gè)需要用到的tips講完了，接著開始證明怒炸。
b.準(zhǔn)備就緒带饱，開始證明：
設(shè)A為n階矩陣，是它特征值（重根）阅羹，
~
分別為其m個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量纠炮。所以我們所要證明的就是
的重?cái)?shù)要≥m
證明：
1.構(gòu)造一個(gè)n階可逆矩陣P：
由于? ~
為n維向量，所以一定能找到
~
灯蝴，使
~
線性無(wú)關(guān)且可以表示任何一個(gè)n維向量（根據(jù)前面tip 1得到的）.
因此可以構(gòu)造出一個(gè)n階可逆矩陣?
2.A左乘可逆矩陣P：
由特征值與特征向量的關(guān)系：得
又因?yàn)椋?的結(jié)果為n維向量（i=m+1猿诸，m+2，…狡忙，n）
所以 的結(jié)果可以用
~
線性表示出來(lái)（根據(jù)tip 1得到的）梳虽，即：
2.把AP的結(jié)果用矩陣表示：
所以就有：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3.減去
后，取行列式 ：
左邊：
右邊：
即得：
最后取行列式得：
左邊：?
右邊：根據(jù)之前的tip 2得：?
即得：
所以可以得到? 至少為m重根，為什么至少呢驶睦？因?yàn)橛锌赡芎竺娉艘缘囊欢咽阶又锌梢蕴崛〕鋈舾蓚€(gè)
出來(lái)砰左，所以用至少這個(gè)詞。
到此為止场航，我們得到想證的的重?cái)?shù)要≥m缠导，命題成立。
