定義：如果矩陣
滿足 
則稱
和
相似硅蹦。
相似性 可解釋為"不同視角下觀察相同的內(nèi)容得到的表現(xiàn)形式是相似的"（類比從同一方向不同遠(yuǎn)近觀察同一個物體怜浅，呈現(xiàn)的是形狀一樣但大小不一樣的畫面）。
在矩陣相似 中 爽醋，矩陣
代表觀察視角 蚁署， 也即代表一個坐標(biāo)系【本質(zhì)是坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣】，則所代表的線性變換是在坐標(biāo)系下觀察的變換蚂四。本質(zhì)是在不同坐標(biāo)系下觀察相同的變換但得到的矩陣的表觀內(nèi)容是不一樣的光戈。
的幾何定義說明：
對于一個坐標(biāo)系的向量![[\vec x]_P](https://math.jianshu.com/math?formula=%5B%5Cvec%20x%5D_P)
應(yīng)用變換就有:![\ \ \ A*[\vec x]_P = P^{-1}BP*[\vec x]_P](https://math.jianshu.com/math?formula=%5C%20%5C%20%5C%20A*%5B%5Cvec%20x%5D_P%20%3D%20P%5E%7B-1%7DBP*%5B%5Cvec%20x%5D_P)
根據(jù)坐標(biāo)變換可知：![P*[\vec x]_P](https://math.jianshu.com/math?formula=P*%5B%5Cvec%20x%5D_P)
是將坐標(biāo)系的向量轉(zhuǎn)換到標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系下![[\vec x]_\varepsilon = P*[\vec x]_P](https://math.jianshu.com/math?formula=%5B%5Cvec%20x%5D_%5Cvarepsilon%20%3D%20P*%5B%5Cvec%20x%5D_P)
進(jìn)行描述；
![\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore BP*[\vec x]_P \rightarrow B[\vec x]_\varepsilon](https://math.jianshu.com/math?formula=%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Ctherefore%20BP*%5B%5Cvec%20x%5D_P%20%5Crightarrow%20B%5B%5Cvec%20x%5D_%5Cvarepsilon)
表示對在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系下的向量![[\vec x]_\varepsilon](https://math.jianshu.com/math?formula=%5B%5Cvec%20x%5D_%5Cvarepsilon)
進(jìn)行變換遂赠；
又根據(jù)坐標(biāo)變換可知：![P^{-1} [\vec x]_{\varepsilon}](https://math.jianshu.com/math?formula=P%5E%7B-1%7D%20%5B%5Cvec%20x%5D_%7B%5Cvarepsilon%7D)
表示將標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系下的向量![[\vec x]_{\varepsilon}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5B%5Cvec%20x%5D_%7B%5Cvarepsilon%7D)
轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系下進(jìn)行描述為![[\vec x]_{P}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5B%5Cvec%20x%5D_%7BP%7D)
久妆；
![\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore P^{-1}BP[\vec x]_{P}=P^{-1}*B[\vec x]_\varepsilon](https://math.jianshu.com/math?formula=%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5C%20%5Ctherefore%20P%5E%7B-1%7DBP%5B%5Cvec%20x%5D_%7BP%7D%3DP%5E%7B-1%7D*B%5B%5Cvec%20x%5D_%5Cvarepsilon)
描述的是將標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系下變換后的向量變換回坐標(biāo)系下，等價了在坐標(biāo)系下應(yīng)用了變換的向量跷睦。因此定義了變換矩陣與的相似筷弦，也即
表征了同一種變換抑诸，這里的變換矩陣是標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系下
下描述的烂琴，而變換矩陣是在坐標(biāo)系下描述的，從而變換解釋為是在坐標(biāo)系下描述的變換矩陣蜕乡。
等式變形：
是對夾在
之外的變換矩陣在坐標(biāo)系下進(jìn)行描述；
是對夾在之內(nèi)的變換矩陣在坐標(biāo)系下進(jìn)行描述健盒。
特征方程與矩陣相似
矩陣相似背后的重要特征: 和矩陣如果表征相同的變換，那么它們的特征方程相同称簿，特征值一樣!** 所以說，特征方程和特征值標(biāo)識的是矩陣所代表的變換的特征惰帽，不同的坐標(biāo)系下矩陣的描述可能會改變憨降，但是矩陣所表示的變換不變。
證明:
%20%3D%20%5Cdet%20(P%5E%7B-1%7DBP%20-%20%5Clambda%20I))
)
P))
%20*%20%5Cdet%20(B%20-%20%5Clambda%20I)%20*%5Cdet%20(P))
*%5Cdet%20(P%5E%7B-1%7D)%5Cdet%20(P))
*%5Cdet%20(P%5E%7B-1%7DP))
###參考行列式計算
)
%20%3D%20%5Cdet%20(B%20-%20%5Clambda%20I))
從而當(dāng)和矩陣相似该酗，其特征方程是一樣的授药。
在不同坐標(biāo)系下觀察的表現(xiàn)形式不同但表征相同變換的矩陣的相似性被其特征值所表征士嚎。
引出問題:觀測一個對象可以從任意視角進(jìn)行觀察，那么在這些視角中悔叽，就會存在一個最佳視角莱衩，從這個視角進(jìn)行觀察可以更容易的對觀察對象進(jìn)行描述以及方便計算。
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