綜合的歐幾里得幾何學(xué)
歐幾里得幾何學(xué)出現(xiàn)了一些新成果，大概產(chǎn)生了數(shù)百個(gè)新定理花椭，顯示出這門古老學(xué)科的新發(fā)展。
熱爾崗(Joseph Diaz Gergonne,1771-1859)和彭賽列首先發(fā)表了如下定理：每個(gè)三角形有9個(gè)特別的點(diǎn)：各邊的中點(diǎn)、三條高的垂足、各頂點(diǎn)與垂心連線的中點(diǎn)刹前，這九個(gè)點(diǎn)全在一個(gè)圓周上，稱為九點(diǎn)圓雌桑。這個(gè)定理的發(fā)現(xiàn)常被歸功于K·費(fèi)爾巴哈（Karl Wilhelm Feuerbach,1800–1834喇喉，是一個(gè)高中老師，不是那個(gè)搞哲學(xué)的費(fèi)爾巴哈)校坑，1822年他在書中發(fā)表了這一證明拣技，并給出了九點(diǎn)圓的另一事實(shí)：與一條邊和另外兩條邊相切的圓是旁切圓（旁切圓圓心位于兩個(gè)外角平分線和較遠(yuǎn)的那個(gè)內(nèi)角的角平分線交點(diǎn)），費(fèi)爾巴哈定理說九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓以及三個(gè)旁切圓都相切耍目。
阿波羅尼奧斯把圓錐曲線看成圓錐的截線莫辨，引起了人們的討論，到17世紀(jì)人們又把圓錐曲線作為平面軌跡進(jìn)行討論毅访，1822年當(dāng)?shù)绿m(Germinal Pierre Dandelin,1794-1847)證明了一個(gè)圓錐曲線和圓錐之間的定理：如果兩球面內(nèi)切于一個(gè)圓錐且都與一個(gè)已知平面相切沮榜，該平面與圓錐交于一條圓錐曲線，那么球面與平面的接觸點(diǎn)是圓錐曲線的焦點(diǎn)俺抽，球面與圓錐相切的圓所在的平面同已知平面的交線是圓錐曲線的準(zhǔn)線敞映。
19世紀(jì)人們討論不依靠變分法而是用純幾何的方法求解極大極小問題。施泰納(Jacob Steiner)用綜合法證明了幾個(gè)定理磷斧，如等周定理：在具有一定周長(zhǎng)的平面圖形中振愿，圓的面積最大。Steiner給了許多證明弛饭，可惜他假定了存在一條曲線使它包圍著最大的面積冕末，狄利克雷勸了他好幾次說他的證明不完全，但施泰納非堅(jiān)持說這是不證自明的（雖然1842年他自己也說侣颂，假定存在最大圖形档桃，則容易證明）
1870s魏爾斯特拉斯通過變分法解決了困擾數(shù)學(xué)家多年的極大化曲線的存在性證明問題，后來(lái)卡拉西奧多里（Constantin Caratheodory,1873-1950）和Eduard Study在不用變分法的情況下嚴(yán)格化了施泰納的證明憔晒，他們的證明（有兩個(gè)）是直接的藻肄，而Steiner的方法是間接的。施瓦茨（哥廷根拒担、柏林教授嘹屯，研究偏微分方程和分析學(xué)）對(duì)三維等周問題給出了嚴(yán)格證明。
施瓦茨解決了以下問題：已知一個(gè)銳角三角形畔咧，考慮所有頂點(diǎn)在原三角形三邊上的三角形，找周長(zhǎng)最短的三角形揖膜。施瓦茨用綜合法證明誓沸，這個(gè)周長(zhǎng)最短的三角形的三頂點(diǎn)就是已知銳角三角形三個(gè)高的垂足。
繼17,18世紀(jì)George Mohr(1640-1697)和Lorenzo Mascheroni(1750-1800)指出尺規(guī)作圖可以只用圓規(guī)忿峻，人們也為減少尺規(guī)使用作出努力。1822年彭賽列證明能用尺規(guī)作圖的元素（除了圓辉稹）都能只用直尺畫出逛尚，只需事先給一個(gè)固定圓和圓心。施泰納以更優(yōu)美的形式重新證明了該結(jié)果刁愿。
當(dāng)然解析幾何還是有很多人在用绰寞，比如熱爾崗給出了許多幾何定理的解析證明，發(fā)表在他創(chuàng)辦的雜志《數(shù)學(xué)紀(jì)事》上铣口。
