柯西不等式

1.我們知道握恳，二維形式的柯西不等式形式如下 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2$
當(dāng)且僅當(dāng) $ad=bc$ 時(shí)候瞒窒，等號(hào)成立。

2.對(duì)于更一般的形式乡洼，我們有 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 以及 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 為任意實(shí)數(shù)崇裁，有柯西不等式如下：
$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n)^2$
當(dāng)且僅當(dāng) $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}$ 時(shí)等號(hào)成立。

Cauchy不等式的證明

如何證明柯西不等式呢束昵？這與向量及其內(nèi)積的形式密不可分拔稳。
我們假設(shè)有如下兩個(gè) $n$ 維向量 $\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 以及 $\vec=(b_1,b_2,\dots,b_n)$

我們知道锹雏，對(duì)于兩個(gè)向量的內(nèi)積有如下形式：
$\vec{a}\cdot \vec巴比=|\vec{a}||\vec|cos<\vec{a},\vec礁遵>$

給兩邊取絕對(duì)值轻绞，得到
$|\vec{a}\cdot\vec|=||\vec{a}||\vec榛丢|cos<\vec{a},\vec铲球>|\leq|\vec{a}||\vec|$ 此時(shí)晰赞，我們把向量 $\vec{a}$ 和 $\vec$ 的形式帶入上面的不等式选侨，就會(huì)得到
$|a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n|\leq\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2}$
再平方掖鱼，可以得到下面常見的Cauchy不等式的形式：
$(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2 \leq (a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2) (b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)$

三角形式的Cauchy不等式

$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq \sqrt{(a-c)^2+(b-d^2)}$
如何理解這一點(diǎn)呢，我們可以把 $(a,b)$ 和 $(c,d)$ 當(dāng)成平面直角坐標(biāo)系里面的點(diǎn)援制，于是乎 $\sqrt{a^2+b^2}$ 就表示 $(a,b)$ 到原點(diǎn)的距離戏挡， $\sqrt{c^2+d^2}$ 表示 $(c,d)$ 到原點(diǎn)的距離。而 $\sqrt{(a-c)^2+(b-d^2)}$ 表示 $(a,b)$ 和 $(c,d)$ 兩點(diǎn)間的距離晨仑。那么上面的不等式其實(shí)表示的是：三角形兩邊之和大于第三邊褐墅。

Cauchy不等式習(xí)題

1.若 $x,y,z$ 為實(shí)數(shù)，且 $x+2y+2z=6$ 洪己，求 $x^2+y^2+z^2$ 的最小值妥凳。
解： $(x^2+y^2+z^2)(1^2+2^2+2^2)\geq(x+2y+2z)^2$
化簡(jiǎn)可得:
$x^2+y^2+z^2\geq 4$

2.設(shè) $x,y,z\in R$ ，且 $x+y+z=1$ ,求 $(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2$ 的最小值答捕。
解：可以換元逝钥，令 $m=x-1,n=y+1,p=z+1$ ，結(jié)論變?yōu)?br> $m^2+n^2+p^2$ 的最小值:
而條件則變?yōu)?br> $m+n+p=2$
原問題轉(zhuǎn)化為:已知 $m+n+p=2$ 拱镐，求 $m^2+n^2+p^2$ 的最小值艘款。解法與第一題相同持际。

?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請(qǐng)聯(lián)系作者

人面猴
序言：七十年代末，一起剝皮案震驚了整個(gè)濱河市哗咆，隨后出現(xiàn)的幾起案子蜘欲，更是在濱河造成了極大的恐慌，老刑警劉巖晌柬，帶你破解...
沈念sama閱讀 221,548評(píng)論 6贊 515
死咒
序言：濱河連續(xù)發(fā)生了三起死亡事件芒填，死亡現(xiàn)場(chǎng)離奇詭異，居然都是意外死亡空繁，警方通過查閱死者的電腦和手機(jī)殿衰，發(fā)現(xiàn)死者居然都...
沈念sama閱讀 94,497評(píng)論 3贊 399
救了他兩次的神仙讓他今天三更去死
文/潘曉璐我一進(jìn)店門，熙熙樓的掌柜王于貴愁眉苦臉地迎上來盛泡，“玉大人闷祥，你說我怎么就攤上這事“了校” “怎么了凯砍？”我有些...
開封第一講書人閱讀 167,990評(píng)論 0贊 360
道士緝兇錄：失蹤的賣姜人
文/不壞的土叔我叫張陵，是天一觀的道長(zhǎng)拴竹。經(jīng)常有香客問我悟衩，道長(zhǎng)，這世上最難降的妖魔是什么栓拜？我笑而不...
開封第一講書人閱讀 59,618評(píng)論 1贊 296
?港島之戀（遺憾婚禮）
正文為了忘掉前任座泳，我火速辦了婚禮，結(jié)果婚禮上幕与，老公的妹妹穿的比我還像新娘挑势。我一直安慰自己，他們只是感情好啦鸣，可當(dāng)我...
茶點(diǎn)故事閱讀 68,618評(píng)論 6贊 397
惡毒庶女頂嫁案：這布局不是一般人想出來的
文/花漫我一把揭開白布潮饱。她就那樣靜靜地躺著，像睡著了一般诫给。火紅的嫁衣襯著肌膚如雪香拉。梳的紋絲不亂的頭發(fā)上，一...
開封第一講書人閱讀 52,246評(píng)論 1贊 308
城市分裂傳說
那天中狂，我揣著相機(jī)與錄音凫碌，去河邊找鬼。笑死吃型，一個(gè)胖子當(dāng)著我的面吹牛证鸥，可吹牛的內(nèi)容都是我干的。我是一名探鬼主播，決...
沈念sama閱讀 40,819評(píng)論 3贊 421
雙鴛鴦連環(huán)套：你想象不到人心有多黑
文/蒼蘭香墨我猛地睜開眼枉层，長(zhǎng)吁一口氣：“原來是場(chǎng)噩夢(mèng)啊……” “哼泉褐！你這毒婦竟也來了？” 一聲冷哼從身側(cè)響起鸟蜡，我...
開封第一講書人閱讀 39,725評(píng)論 0贊 276
萬榮殺人案實(shí)錄
序言：老撾萬榮一對(duì)情侶失蹤膜赃，失蹤者是張志新（化名）和其女友劉穎，沒想到半個(gè)月后揉忘，有當(dāng)?shù)厝嗽跇淞掷锇l(fā)現(xiàn)了一具尸體跳座，經(jīng)...
沈念sama閱讀 46,268評(píng)論 1贊 320
?護(hù)林員之死
正文獨(dú)居荒郊野嶺守林人離奇死亡，尸身上長(zhǎng)有42處帶血的膿包…… 初始之章·張勛以下內(nèi)容為張勛視角年9月15日...
茶點(diǎn)故事閱讀 38,356評(píng)論 3贊 340
?白月光啟示錄
正文我和宋清朗相戀三年泣矛，在試婚紗的時(shí)候發(fā)現(xiàn)自己被綠了疲眷。大學(xué)時(shí)的朋友給我發(fā)了我未婚夫和他白月光在一起吃飯的照片。...
茶點(diǎn)故事閱讀 40,488評(píng)論 1贊 352
活死人
序言：一個(gè)原本活蹦亂跳的男人離奇死亡您朽，死狀恐怖狂丝，靈堂內(nèi)的尸體忽然破棺而出，到底是詐尸還是另有隱情哗总，我是刑警寧澤几颜，帶...
沈念sama閱讀 36,181評(píng)論 5贊 350
?日本核電站爆炸內(nèi)幕
正文年R本政府宣布，位于F島的核電站讯屈，受9級(jí)特大地震影響蛋哭，放射性物質(zhì)發(fā)生泄漏。R本人自食惡果不足惜涮母，卻給世界環(huán)境...
茶點(diǎn)故事閱讀 41,862評(píng)論 3贊 333
男人毒藥：我在死后第九天來索命
文/蒙蒙一谆趾、第九天我趴在偏房一處隱蔽的房頂上張望。院中可真熱鬧哈蝇，春花似錦棺妓、人聲如沸。這莊子的主人今日做“春日...
開封第一講書人閱讀 32,331評(píng)論 0贊 24
一樁弒父案，背后竟有這般陰謀
文/蒼蘭香墨我抬頭看了看天上的太陽样勃。三九已至吠勘，卻和暖如春，著一層夾襖步出監(jiān)牢的瞬間峡眶，已是汗流浹背剧防。一陣腳步聲響...
開封第一講書人閱讀 33,445評(píng)論 1贊 272
情欲美人皮
我被黑心中介騙來泰國(guó)打工，沒想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留辫樱，地道東北人峭拘。一個(gè)月前我還...
沈念sama閱讀 48,897評(píng)論 3贊 376
代替公主和親
正文我出身青樓，卻偏偏與公主長(zhǎng)得像，于是被迫代替她去往敵國(guó)和親鸡挠。傳聞我的和親對(duì)象是個(gè)殘疾皇子辉饱，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點(diǎn)故事閱讀 45,500評(píng)論 2贊 359

柯西不等式

Cauchy不等式的證明

三角形式的Cauchy不等式

Cauchy不等式習(xí)題

推薦閱讀更多精彩內(nèi)容