2.1-2.2 離散型隨機(jī)變量

第二章隨機(jī)變量及其分布

2.1 隨機(jī)變量的基本概念

概率研究的傳統(tǒng)方法

$\Omega$ 中的樣本點(diǎn)與試驗(yàn)有關(guān)鸣皂，類(lèi)型多樣灾梦，不便于進(jìn)行抽樣的研究
很多非等可能的問(wèn)題的概率如何計(jì)算沒(méi)有很好地解答

新的思路：

引入函數(shù)的概念對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)進(jìn)行更為抽象的描述
通過(guò)某種從樣本空間到實(shí)數(shù)集的映射恳守，將對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)及其概率的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)隨機(jī)數(shù)值及其取值概率的問(wèn)題
將微積分等現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具引入到概率的研究中來(lái)

解決問(wèn)題的思路：將樣本空間 $\Omega$ 數(shù)字化（抽象化）

例：隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品峦耘，考察其是否合格驳概，則
$\Omega=\{\text{合格},\text{不合格}\}$
令
$X(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}{0,} & {\omega=\text{合格}} \\ {1,} & {\omega=\text{不合格}}\end{array}\right.$
則
$\Omega \stackrel{X}{\longrightarrow} \Omega^{\prime}=\{0,1\}$
相對(duì)而言，新的集合 $\Omega‘$ 更便于使用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行討論旷赖。

定義：設(shè) $\{\Omega,\mathscr{F},P\}$ 為概率空間顺又，若對(duì)任意 $\omega\in\Omega$ 均存在唯一實(shí)數(shù) $X(\omega)$ 與之對(duì)應(yīng)，且對(duì)任意 $x\in\mathbb{R}$ 等孵， $\{X \leq x\} \triangleq\{\omega | X(\omega) \leq x\} ?$ 是一隨機(jī)事件稚照，即
$\{X \leq x\}\in\mathscr{F}$
則稱(chēng) $X=X(\omega)?$ 為隨機(jī)變量(random variable，簡(jiǎn)寫(xiě)為r.v.)

隨機(jī)變量 $X(\omega)?$ 是定義在樣本空間 $\Omega$ 上的函數(shù)俯萌。
隨機(jī)變量是 $\Omega \longrightarrow \mathbb{R}?$ 的（可測(cè)）映射果录。所謂“可測(cè)”，也即 $\{X \leq x\}?$ 必須是事件咐熙！
在實(shí)變函數(shù)論中弱恒，對(duì)可測(cè)的概念（可測(cè)集合、可測(cè)映射）給出了嚴(yán)格的定義糖声，與概率論中使用的可測(cè)概念是完全一致的
隨機(jī)變量的引入斤彼，使得原來(lái)我們必須在樣本空間 $\Omega$ 上討論的概率問(wèn)題分瘦，可以轉(zhuǎn)而在實(shí)數(shù)集上進(jìn)行研究蘸泻。在新的抽象層次上研究概率問(wèn)題，不僅有利于發(fā)現(xiàn)不同問(wèn)題之間的關(guān)聯(lián)嘲玫，也為引入各種數(shù)學(xué)工具提供了便利悦施。

對(duì)于任意實(shí)數(shù)， $\{X\leq x\}$ 都是事件去团，故可定義函數(shù)
$F(x)=P\{X\leq x\}$
$F(x)$ 稱(chēng)為隨機(jī)變量 $X$ 的分布函數(shù)（Cumulative Distribution Function, 簡(jiǎn)稱(chēng)CDF）

例：在實(shí)彈射擊訓(xùn)練中抡诞，對(duì)同一目標(biāo)連續(xù)打三發(fā)子彈，擊中目標(biāo)記為 $1$ 土陪，否則記為 $0$ 昼汗，則樣本空間
$\Omega=\{000,001,010,100,011,101,110,111\}$
定義隨機(jī)變量
$X=\text{命中的次數(shù)},$
則
$\Omega \stackrel{X}{\longrightarrow} \Omega^{\prime}=\{0,1,2,3\}$
則事件
$\begin{aligned}\{X=0\} &=\{000\} \\\{X=2\} &=\{011,101,110\} \\\{X \leq 2\} &=\{000,001,010,100,011,101,110\} \\ &=\{X \leq 3\}-\{X=3\} \\ &=\Omega-\{111\} \end{aligned}$

現(xiàn)實(shí)中，很多試驗(yàn)的結(jié)果本身就是隨機(jī)變量鬼雀，例如：

某地區(qū)的日平均氣溫 $X$ 顷窒，日平均氣溫 $Y$
電子產(chǎn)品的壽命 $X$
某城市的日耗電量 $X$
一戰(zhàn)士連續(xù)對(duì)目標(biāo)射擊 $n$ 次，擊中目標(biāo)次數(shù) $X$
從一大批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 $n$ 件進(jìn)行測(cè)試源哩，其測(cè)得的次品數(shù) $N$

很多問(wèn)題的實(shí)際背景不同鞋吉，但數(shù)學(xué)本質(zhì)完全一樣。 利用隨機(jī)變量將樣本空間轉(zhuǎn)變?yōu)槌橄笮问嚼常軌蚋奖愕匕l(fā)現(xiàn)不同問(wèn)題的相似性谓着。

隨機(jī)變量可分為離散型和非離散型隨機(jī)變量，其中后者又可以分為連續(xù)型隨機(jī)變量和奇異型隨機(jī)變量坛掠，我們主要研究其中的離散型赊锚、連續(xù)型及其混合型的隨機(jī)變量治筒。

2.2 離散型隨機(jī)變量及其分布律

若 r.v $X$ 可取至多可列個(gè)值,則稱(chēng) $X$ 為離散型隨機(jī)變量。

至多可列 也即有限或可列

例：

對(duì)同一目標(biāo)連續(xù)射擊 $n$ 次,擊中目標(biāo)次數(shù) $X$ .
用同一支槍對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊,直到擊中目標(biāo)為止,射擊次數(shù) $X$ .
114查號(hào)臺(tái)一天接到的呼叫次數(shù) $X$ .
從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取 $n$ 件進(jìn)行測(cè)試, 其測(cè)得的次品數(shù) $N$ .

離散型r.v.的分布律

設(shè) $X$ 為離散型 r.v,設(shè) $X$ 所有可能的取值為
$x_1,x_2,...,x_k,...$
且
$P\left\{X=x_{k}\right\}=p_{k} \quad(k=1,2, \cdots)$
則稱(chēng)上式為離散型 r.v X 的分布律（Probability Distribution Law舷蒲，縮寫(xiě)PDL）

設(shè)
$x_1<x_2<x_3<...<x_k<...$
則
$F(x)=P\left\{X\leq x_{k}\right\}=\sum\limits_{i=1}^kp_{i} \quad(k=1,2, \cdots)$
一般稱(chēng)為r.v. $X$ 的累積分布函數(shù)(Cumulative Distribution Function矢炼，縮寫(xiě)CDF）

例：在實(shí)彈射擊訓(xùn)練中,對(duì)同一目標(biāo)連續(xù)打三發(fā)子彈,設(shè)每一發(fā)的命中率為 $p$ ,記 $X$ 為擊中目標(biāo)次數(shù),求 $X$ 的分布律.

解：樣本空間
$\Omega=\{000,001,010,100,011,101,110,111\}$
r.v $X$ 的取值為 $0,1,2,3$ ,其分布律
$\begin{array}{l}{P\{X=0\}=(1-p)^{3}} \\ {P\{X=1\}=3 p(1-p)^{2}} \\ {P\{X=2\}=3 p^{2}(1-p)} \\ {P\{X=3\}=p^{3}}\end{array}$
分布律的特點(diǎn)：所有樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的概率總和為 $1$ ，上例中
$P\{X=0\}+P\{X=1\}+P\{X=2\}+P\{X=3\}=[(1-p)+p]^3=1$

分布律時(shí)阿纤，必須注意所有的樣本點(diǎn)必須都遍歷一次句灌！

分布律的基本性質(zhì)

$p_{k} \geq 0, k=1,2, \cdots$
$\sum_{k=1}^{\infty} p_{k}=1$

以上兩點(diǎn)是分布律的本質(zhì)特征，也即：

離散型 r.v. 的分布律必滿(mǎn)足以上兩條性質(zhì)
滿(mǎn)足以上兩條性質(zhì)的數(shù)列 $\{p_k\}$ 必是某離散型r.v的分布律

直觀解釋?zhuān)?/p>

將球扔向位于 $x_k$ 處的“盒子”的概率為 $p_k$

將球扔向特定位置的盒子的概率

將總質(zhì)量為1的“物質(zhì)”散布在至多可列個(gè)點(diǎn) $x_k$ 上

總質(zhì)量1的散布

分布律的幾種表示法

解析法：
$P\left\{X=x_{k}\right\}=p_{k} \quad(k=1,2, \cdots)$
列表法

列表法表示分布律

矩陣法
$\left( \begin{array}{ccccc}{x_{1}} & {x_{2}} & {\cdots} & {x_{k}} & {\cdots} \\ {p_{1}} & {p_{2}} & {\cdots} & {p_{k}} & {\cdots}\end{array}\right)$
圖示法

圖示法表示分布律

幾種重要的離散型隨機(jī)變量

兩點(diǎn)分布

定義：如果 r.v $X$ 的分布律為
$P\left\{X=c_{1}\right\}=p, P\left\{X=c_{2}\right\}=1-p \quad(0<p<1)$
則稱(chēng) r.v $X$ 服從兩點(diǎn)分布,特別當(dāng) $c_1=1,c_2=0$ 時(shí)稱(chēng) r.v $X$ 服從(0-1)兩點(diǎn)分布

產(chǎn)生兩點(diǎn)分布的實(shí)際背景：試驗(yàn)只產(chǎn)生兩個(gè)結(jié)果.

例如：

一門(mén)課程的考試是“及格”還是“不及格”
剛出生的新生兒是“男”還是“女”
產(chǎn)品檢驗(yàn)的結(jié)果是“合格”還是“不合格”
射擊結(jié)果是“擊中目標(biāo)”還是“沒(méi)有擊中目標(biāo)”

注：如果r.v. $X$ 的分布律為
$P\{X=c\}=1,$
則稱(chēng)r.v. $X$ 服從退化分布(或單點(diǎn)分布)欠拾，或者說(shuō) $X$ “幾乎處處”等于 $c$ ,記為
$X \stackrel{\mathrm{a.e}}{=} c \quad\text{或}\quad X=c(\mathrm{a} . \mathrm{e})$

Bernoulii試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

Bernoulii試驗(yàn)：只產(chǎn)生兩個(gè)結(jié)果 $A,\bar{A}$ 的試驗(yàn)

n重Bernoulli試驗(yàn)或Bernoulli概型：將Bernoulli試驗(yàn)<u>獨(dú)立重復(fù)</u>進(jìn)行 $n$ 次

要求每次試驗(yàn)相互獨(dú)立（無(wú)關(guān)）胰锌，從而對(duì)應(yīng)結(jié)果的概率不變

例：某戰(zhàn)士用步槍對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊,記
$A=\{\text{擊中目標(biāo)}\},\quad \bar{A}=\{\text{未擊中目標(biāo)}\}$
對(duì)每次射擊的觀察是Bernoulli試驗(yàn)，連續(xù)觀察 $n$ 次射擊結(jié)果則為 $n$ 重Bernoulli試驗(yàn)

例：從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn),記
$A=\{\text{合格}\},\quad \bar{A}=\{\text{不合格}\}$
檢驗(yàn)一個(gè)產(chǎn)品是Bernoulli試驗(yàn)

問(wèn)：獨(dú)立抽檢 $n$ 件產(chǎn)品是否是 $n$ 重Bernoulli試驗(yàn)?

分析：產(chǎn)品抽一個(gè)少一個(gè),所以每次抽檢后概率
$P(A)=P\{\text{合格}\}$
都在變化藐窄，故不能認(rèn)為是 $n$ 重Bernoulli試驗(yàn)

如果產(chǎn)品數(shù)量比較大,可近似看作 $n$ 重Bernoulli試驗(yàn).

在 $n$ 重Bernoulli試驗(yàn)中,令
$P(A)=p, P(\overline{A})=1-p$
記
$A_i=\{\text{第}i\text{次試驗(yàn)結(jié)果}\},i=1,2,...,n$
對(duì)任意 $1 \leq i_{1}<i_{2}<\dots<i_{k} \leq n$ 资昧，有
$P\left(A_{i 1} A_{i 2} \cdots A_{i_{k}}\right)=P\left(A_{i_{1}}\right) P\left(A_{i_{2}}\right) \cdots P\left(A_{i k}\right)$
令
$X=\{n\text{重Bernoulli試驗(yàn)中事件}A\text{發(fā)生的次數(shù)}\}$
則 $X$ 是一個(gè)離散型 r.v.

$X$ 的分布律是什么?

分析： $X$ 的可能取值為 $0,1,2,...,n$ ，對(duì)任意 $k\leq n$ 荆忍， $\{X=k\}$ 表示 $n$ 次獨(dú)立試驗(yàn)中 $A$ 恰好發(fā)生了 $k$ 次（ $\bar{A}$ 恰好發(fā)生了 $n-k$ 次）格带，也即
$\{X=k\}=\bigcup_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} A_{i_{1}} \cdots A_{i_{k}} \overline{A}_{j_{1}} \cdots \overline{A}_{j_{n-k}}$
以上取并的事件兩兩不相容，結(jié)合獨(dú)立性的假設(shè)刹枉，可知
$\begin{aligned} P\{X=k\}&=P\left\{\bigcup_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} A_{i_{1}} \cdots A_{i_{k}} \overline{A}_{j_{1}} \cdots \overline{A}_{j_{n-k}}\right\}\\ &=\sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} P\left\{A_{i_{1}} \cdots A_{i_{k}} \overline{A}_{j_{1}} \cdots \overline{A}_{j_{n-k}}\right\}\\ &=\sum_{1 \leq i_{1}<\cdots<i_{k} \leq n} \overbrace{p \cdots p}^{k} \overbrace{(1-p) \cdots(1-p)}^{n-k}\\ &=C_{n}^{k} p^{k}(1-p)^{n-k} \end{aligned}$
記 $q=1-p$ 叽唱，從而 $X$ 的分布律為
$P\{X=k\}=C_{n}^{k} p^{k} q^{n-k} \quad(k=0,1,2, \cdots, n)$
不難驗(yàn)證

$P\{X=k\}>0 \quad(k=0,1,2, \cdots, n)$
$\sum_{k=0}^{n} P\{X=k\}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} p^{k} q^{n-k}=(p+q)^{n}=1$

定義：若 r.v $X$ 的分布律為
$P\{X=k\}=C_{n}^{k} p^{k} q^{n-k} \quad(k=0,1,2, \cdots, n)$
則稱(chēng) $X$ 服從參數(shù)為 $( n, p)$ 的二項(xiàng)分布,記為 $X \sim B(n, p)$

特別當(dāng) $n=1$ 時(shí)， $B(1,p)$ 就是 $(0-1)$ 兩點(diǎn)分布,即
$P\{X=k\}=p^{k} q^{1-k} \quad(k=0,1)$
實(shí)際背景:二項(xiàng)分布產(chǎn)生于 $n$ 重Bernoulli試驗(yàn)

例：一大批電子元件有10%已損壞,若從這批元件中隨機(jī)選取20只來(lái)組成一個(gè)線路,問(wèn)這線路能正常工作的概率是多少微宝？

解：因?yàn)樵臄?shù)量很大,所以取20只元件可看作是有放回抽樣,記 $X$ 表示20只元件中好品的數(shù)量,則
$X \sim B(20,0.9)$
于是
$\begin{aligned} P\{\text{線路正常}\}&=P\{X=20\} \\ &=C_{20}^{20} \times 0.9^{20} \times 0.1^{20-20} \\ &=0.9^{20} \approx 0.1216 \end{aligned}$

Poisson流與Poisson分布

Poisson流：隨著時(shí)間的推移,在時(shí)間軸上源源不斷出現(xiàn)的具有某種特性的隨機(jī)粒子（事件）流.

粒子出現(xiàn)的次數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)棺亭，只與時(shí)間長(zhǎng)短有關(guān)
任何兩個(gè)不重疊的時(shí)間段內(nèi)，粒子出現(xiàn)的次數(shù)是相互獨(dú)立的
在非常短的時(shí)間內(nèi)蟋软，幾乎不可能出現(xiàn)兩個(gè)以上粒子

典型的Poisson流:

隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)

電話交換臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接到的呼叫數(shù)
公共汽車(chē)站在某時(shí)間段內(nèi)來(lái)到的乘客數(shù)
營(yíng)業(yè)員在某時(shí)間段內(nèi)接待的顧客數(shù)
114查號(hào)臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接到的查號(hào)電話數(shù)
醫(yī)院在一天內(nèi)收到的急診病人數(shù)
大型超市停車(chē)場(chǎng),汽車(chē)的到達(dá)數(shù)

稀疏現(xiàn)象

電子設(shè)備在某時(shí)間內(nèi)受到的干擾沖擊次數(shù)
雷達(dá)在跟蹤目標(biāo)時(shí)接收到的電磁干擾信號(hào)脈沖流
巡航導(dǎo)彈飛過(guò)攔截區(qū)域的中彈數(shù)量
人的一生中患癌癥等嚴(yán)重疾病的次數(shù)
某地區(qū)在一天發(fā)生的交通事故數(shù)
一本書(shū)一頁(yè)中的印刷錯(cuò)誤數(shù)
119報(bào)警臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接到的火警電話數(shù)
快遞公司在一天內(nèi)遺失的快件數(shù)

物理學(xué)中的現(xiàn)象

放射性分裂落到某區(qū)域的質(zhì)點(diǎn)數(shù)
熱電子的發(fā)射數(shù)
顯微鏡下落在某區(qū)域中的微生物數(shù)

設(shè) $X_t$ 表示時(shí)間區(qū)間 $(0,t]$ 內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)镶摘，如果 $X_t$ 滿(mǎn)足：

平穩(wěn)性：在任意時(shí)間段 $(t_0,t_0+t]$ 內(nèi)，出現(xiàn) $k$ 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的概率 $P\{X_t=k\}$ 僅與 $t$ 有關(guān)
獨(dú)立增量性：在任意兩個(gè)不重疊的時(shí)間段 $(a_1,a_2]$ 岳守， $(b_1,b_2]$ 內(nèi)凄敢，各質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的，即隨機(jī)變量 $X_{a_2}-X_{a_1}$ 和 $X_{b_2}-X_{b_1}$ 是相互獨(dú)立的
普通性：在很短的時(shí)間 $(0,t]$ 內(nèi)湿痢，幾乎不可能出現(xiàn)兩個(gè)以上的質(zhì)點(diǎn)涝缝，且有
$P\{X_t=1\}=\lambda t+\circ(t),\quad P\{X_t=2\}=\circ(t),$
其中 $\lambda$ 為常數(shù)。
則稱(chēng) $X_t$ 是參數(shù)為 $\lambda$ 的Poisson流

設(shè) $\lambda>0$ 已知蒙袍，若 r.v $X$ 的分布律為
$P\{X=k\}=\frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda}, k=0,1,2, \cdots$
稱(chēng)稱(chēng) $X$ 服從參數(shù)為 $\lambda$ 的Poisson分布,記為 $X \sim P(\lambda)$

Poisson分布可用來(lái)描述稀疏事件發(fā)生的頻數(shù)

所謂稀疏事件俊卤，是指在單次試驗(yàn)中發(fā)生的概率很小，而試驗(yàn)的次數(shù)又很大

可以驗(yàn)證害幅，Poisson分布滿(mǎn)足分布律的基本性質(zhì)

$P\{X=k\}>0, k=0,1,2, \cdots$
$\sum_{k=0}^{\infty} P\{X=k\}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{k !} e^{-\lambda}=e^{\lambda} \cdot e^{-\lambda}=1$

Poisson分布與Poisson流的關(guān)系：在Poisson流中,記時(shí)間間隔 $(0,t]$ 中出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)為 $X$

Poisson流

則 $X \sim P(\lambda t)$ 消恍，也即
$P\{X=k\}=\frac{\lambda t^{k}}{k !} e^{-\lambda t}, k=0,1,2, \cdots$
其中參數(shù) $\lambda$ 稱(chēng)為Poisson強(qiáng)度.

Poisson強(qiáng)度可以直觀地理解為單位時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)的平均數(shù)

Poisson（小數(shù)）定理（Poisson law of small numbers）：設(shè) $\lambda>0$ 為常數(shù)， $n$ 為正整數(shù)以现， $\lim _{n \rightarrow \infty} n p_{n}=\lambda$ 狠怨，則對(duì)任一非負(fù)整數(shù) $k$ 约啊，有
$\lim _{n \rightarrow \infty} C_{n}^{k} p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k}=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k !}$
證：記 $n p_{n}=\lambda_{n}, p_{n}=\lambda_{n} / n$ ，則
$\begin{aligned} C_{n}^{k}& p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k}= C_{n}^{k}\left(\frac{\lambda_{n}}{n}\right)^{k}\left(1-\frac{\lambda_{n}}{n}\right)^{n-k} \\ &=\frac{\lambda_{n}^{k}}{k !}\left[1 \cdot\left(1-\frac{1}{n}\right) \cdot\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\right]\left(1-\frac{\lambda_{n}}{n}\right)^{n}\left(1-\frac{\lambda_{n}}{n}\right)^{-k} \end{aligned}$
因?yàn)?br> $\begin{aligned} \lim\limits_{n\to\infty}&\underbrace{1\cdot\left(1-\frac1n\right)\cdot\left(1-\frac2n\right)\ldots\left(1-\frac{k-1}n\right)}_{k\text{個(gè)}}\\ &=1\cdot\underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right)\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac2n\right)\ldots\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{k-1}n\right)}_{k\text{個(gè)}}\\ &=\underbrace{1\cdot1\cdot1\ldots1}_{k\text{個(gè)}}=1 \end{aligned}$
$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{\lambda_n}n\right)^n =\lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1-\frac{\lambda_n}n\right)^{\frac{n}{\lambda_n}}\right]^{\lambda_n} =\left[\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{\lambda_n}n\right)^{\frac{n}{\lambda_n}}\right]^{\lim\limits_{n\to\infty}\lambda_n}=e^{\lambda}$
$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{\lambda_n}n\right)^{-k} =\left[\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{\lambda_n}n\right)\right]^{-k}=1$
故
$\lim _{n \rightarrow \infty} C_{n}^{k} p_{n}^{k}\left(1-p_{n}\right)^{n-k}=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k !}$

二項(xiàng)分布與Poisson分布的累積分布函數(shù)與分布律對(duì)比

例：若一年中某類(lèi)保險(xiǎn)者里面每個(gè)人死亡的概率等于0.005,現(xiàn)有10000個(gè)人參加這類(lèi)人壽保險(xiǎn), 試求在未來(lái)一年中在這些保險(xiǎn)者里面：⑴ 有40個(gè)人死亡的概率; ⑵死亡人數(shù)不超過(guò)70個(gè)的概率.

解：記 $X$ 為未來(lái)一年中在這些人中死亡的人數(shù),則
$X \sim B(10000,0.005)$
(1)
$P\{X=40\}=C_{10000}^{40} \times 0.005^{40} \times 0.995^{9960}$
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=n%3D10000%2C%20p%3D0.005%2C%20%5Clambda%3Dn%20p%3D50" alt="n=10000, p=0.005, \lambda=n p=50" mathimg="1">佣赖，所以
$P\{X=40\} \approx \frac{50^{40}}{40 !} e^{-50}=0.0214$
(2)
$P\{X \leq 70\}=\sum_{k=0}^{70} C_{10000}^{k} \times 0.005^{k} \times 0.995^{10000-k} \approx 0.997$
注：當(dāng) $n$ 很大時(shí),直接計(jì)算二項(xiàng)分布的和比較難恰矩，因此在實(shí)際中往往采用如下的方法進(jìn)行計(jì)算

用計(jì)算機(jī)編程計(jì)算
利用第五章的極限定理,作近似計(jì)算

Poisson分布由法國(guó)數(shù)學(xué)家Siméon-Denis Poisson在1838年發(fā)表，最初是作為二項(xiàng)分布的近似被引入
Poisson分布是構(gòu)造隨機(jī)現(xiàn)象的“基本粒子”之一,其應(yīng)用范圍不亞于正態(tài)分布

Poisson分布的分布律

Poisson分布的累積分布函數(shù)

課后思考題：習(xí)題二：1憎蛤，2外傅，5，6俩檬，7萎胰，8，10

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城市分裂傳說(shuō)
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