高階方程
1734年丹尼爾伯努利給歐拉寫信稱自己解決了一端固定在墻上，另一端自由的彈性橫梁（一維的鋼絲或木頭）的橫向位移問題诅愚，他得到了四階微分方程(其中K為常數(shù)，x是橫梁距自由端的距離，y是在x點的垂直位移)，歐拉當時回信稱自己也發(fā)現(xiàn)了這個公式补君，但無法積分，只能得到四個獨立的級數(shù)解昧互。四年后歐拉給約翰伯努利寫信稱他的解可以表示為三角函數(shù)和雙曲函數(shù)挽铁。同年他在另一封給約翰伯努利的信中說自己自研究彈性問題后思考如何求解常系數(shù)線性一般方程，已經(jīng)取得了成果敞掘。他考慮了齊次線性方程（與y和y的微商無關(guān)的項等于0）叽掘，替換后得到特征方程，他討論了當特征方程只有一個實根渐逃、有重根够掠、有共軛復根和復重根時的方程解民褂，完整地解決了常系數(shù)線性齊次方程茄菊。 之后他討論了非齊次的n階線性常微分方程赊堪，使用指數(shù)函數(shù)降階求解面殖。
拉格朗日在研究常系數(shù)常微分方程后哭廉，還研究了變系數(shù)常微分方程，他得到了比原方程低一階的常微分方程（1873年富克斯將其命名為伴隨方程）遵绰，拉格朗日再對伴隨方程降階辽幌，發(fā)現(xiàn)非齊次常微分方程的伴隨方程的伴隨方程是原方程對應的齊次方程（即與y和y的微商無關(guān)的項變成0）。歐拉看到過拉格朗日的工作椿访，但后來忘了，1778年又搞了一遍類似工作成玫。
拉格朗日把歐拉對常系數(shù)線性微分方程的結(jié)果推廣到變系數(shù)常微分方程，他發(fā)現(xiàn)齊次方程的通解是由一些特解乘以任意常數(shù)后相加的哭当，知道n階齊次方程的m個特解后可以把方程降低m階猪腕。
級數(shù)法
牛頓不僅用級數(shù)做積分，也用級數(shù)求解一階微分方程钦勘，得到的解含不定常數(shù)項和基于不定常數(shù)項的一系列系數(shù)（即有無窮多解）陋葡。萊布尼茨用無窮級數(shù)解某些初等微分方程也用了未定系數(shù)法彻采。
1750年后歐拉用級數(shù)求那些不能以緊湊形式積分的微分方程腐缤，雖然他當時求的是特殊微分方程，但方法是我們沿用至今的方法柴梆。他假定解的形式為把y和y的微商代入微分方程，利用所得級數(shù)中x的各次冪系數(shù)必須為0的條件求出λ和A门扇、B偿渡、C等臼寄。他在研究振動薄膜時求解Bessel方程溜宽，證明對于半奇整數(shù)的β（半奇整數(shù)應該就是半奇數(shù)1/2,3/2,5/2……），相應級數(shù)化為初始函數(shù)适揉；且注意到對實的β，u(r)有無窮多個零點嫉嘀，并給出了u(r)的積分表示；對于β=0和β=1他給出了微分方程第二個線性獨立的級數(shù)解拭宁。
歐拉還研究了超幾何方程
并給出了級數(shù)解瓣俯，“超幾何”一詞是與高斯亦師亦友的Pfaff(1765-1825)所提出的，超幾何級數(shù)中的y現(xiàn)在用記號F(a,b,c;z)表示彩匕，對公式做歐拉變換得到
將超幾何級數(shù)與Γ函數(shù)（前文說的n!推廣到實數(shù)、復數(shù)域的函數(shù)）相聯(lián)系桶蝎，有：
