為什么會有方向?qū)?shù)破镰？
在微積分課程中餐曼，我們知道函數(shù)在某一點的導數(shù)（微商）代表了函數(shù)在該點的變化率。微分和積分鲜漩，它們的定義都是建立在極限的基礎(chǔ)上源譬。對于單變量函數(shù)f(x)，它在x0處導數(shù)是：當x趨近于x0時孕似，函數(shù)的改變量與自變量的改變量的比值的極限踩娘，即微商（導數(shù)）等于差商的極限
對于單變量函數(shù)，自變量只有一個喉祭，當x趨近于x0時只能在直線上變動养渴，移動的方向只有左右兩方。
然而泛烙，對于多變量函數(shù)理卑，自變量有多個蛔翅，表示自變量的點在一個區(qū)域內(nèi)變動扇单，不僅可以移動距離，而且可以按任意的方向來移動同一段距離爆土。因此，函數(shù)的變化不僅與移動的距離有關(guān)宇立，而且與移動的方向有關(guān)踪宠。因此，函數(shù)的變化率是與方向有關(guān)的泄伪。這也才有了方向?qū)?shù)的定義殴蓬，即某一點在某一趨近方向上的導數(shù)值。假設(shè)給定函數(shù)u=u(M)蟋滴，取一點M0=(x0,y0,z0)染厅，L是由M0出發(fā)的任一半直線，則u在M0點L的方向?qū)?shù)定義為:
梯度
上面有了方向?qū)?shù)的定義津函，我們進一步來推導方向?qū)?shù)的表示肖粮，命L的方向余弦為(cosα,cosβ,cosγ)，則L上的M可表示為
于是u對L的方向?qū)?shù)為
注意尔苦，在上面的推導中用到了全微分公式.
令向量, L方向可以表示為. 因為l是一個單位向量涩馆，所以
這表達了L上的方向向量其實是n在L方向上的投影。當L的方向變化允坚，投影量隨之改變魂那，也就代表了不同的方向?qū)?shù)。當L與n同向時稠项，便取得最大值|n|涯雅，我們稱n為u在該點的梯度。可以看到梯度即是某一點最大的方向?qū)?shù)展运，沿梯度方向函數(shù)有最大的變化率（正向增加活逆，逆向減少）。
另外還可以證明拗胜，在某一點的梯度方向蔗候，就是過該點的等值面的切平面的法線方向。但需要注意的是埂软，這并不是定理锈遥，只是等值函數(shù)的法向量的表達式與函數(shù)的梯度的表達式一致而已，并非兩者之間必然的存在關(guān)系勘畔。因此迷殿，在某一點沿著梯度看去，等值面分布最密咖杂，即達到臨近等值面的距離最小庆寺。
多變量函數(shù)的極值
對于單變量函數(shù)，若在某點取得極值诉字，則該點的導數(shù)為0懦尝。同樣對于多變量函數(shù)知纷，在某點為極大值或極小值只有當在該點的每個偏導數(shù)等于0才有可能，也就是說梯度等于0陵霉。因此琅轧，在多變量函數(shù)中，駐點踊挠，也就是導數(shù)為0的點乍桂，指的是每個偏導數(shù)等于0，也就是梯度等于0的點效床。進而睹酌，在求極值時，我們可以先找到梯度為0的駐點剩檀，在通過定理（查書唄）判斷它是否是極值點憋沿，極大值還是極小值。
原文參考:http://blog.csdn.net/wolenski/article/details/8030654
