庫倫定律（by小毅）

靜電場庫倫定律

知識點

庫倫定律

$1.庫侖定律只適用于計算兩個點電荷間的相互作用力$
$2. 真空中兩個靜止的點電荷之間的相互作用力同它們的電荷量的乘積成正比，與它們的距離的二次方成反比$
$3. 作用力的方向在它們的連線上，同名電荷相斥屿岂，異名電荷相吸$
$4. F=k\frac{|q_1q_2|}{r^2},與正電荷的受力一樣 ,其中k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$
$5. E_p庫=k\frac{Q_1Q_2}{r}$

電場

$1. 是力學(xué)屬性$
$2. 由比值法定義E=\frac{F}{q_0},其中沒有因果關(guān)系践宴，并不是q_0越小E越大，即與試探電荷無關(guān)$
$3.為矢量爷怀，其方向與\color{red}{正電荷}在該點的受力方向相同$
$4. 點電荷的電場E= k\frac{q}{r^2}=\frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^2}阻肩，勻強電場E=\frac{F}{q_0}$
$5.遵從矢量相加原則$

電勢

$1.是能量屬性$
$2.V=\frac{E_p}{q}=k \frac{Q}{r}$
$3. 標(biāo)量，代數(shù)和$

表達題

電量分別為 $Q_{1}=1$ 和 $Q_{2}=2$ 的點電荷(場源電荷)运授，相距為 $d=2r=2?$ 烤惊，則其連線中點處產(chǎn)生的電場和電勢分別為

解答：
$\V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{Q_1}{r}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{Q_2}{r}$
$設(shè)水平向右為正方向$
$E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{Q_1}{r^2}-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{Q_2}{r^2}$

電量分別為 $Q_{1}=Q_{2}=1$ 和 $Q_{3}=Q_{4}=-1$ 的四個點電荷，分別位于正方形(邊長 $d=\sqrt{2}$ )的四個頂點上吁朦。則其中心點處產(chǎn)生的電場和電勢分別為

image.png

一個電量為 $q$ 的點電荷柒室，在距離它為 $r$ 的場點產(chǎn)生的電場和電勢為

解答：
$V=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{q}{r^2}\vec e(正電荷射出，負電荷射入)$
$E=\frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$

均勻帶電的圓細環(huán)( $Q,R$ )在環(huán)心O處的場強和電勢分別為()

解答： $E=0,對稱性$
$V =\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{2\pi R}d\theta=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot \frac{Q}{R}$

物理強調(diào)建模逗宜。如圖雄右，求均勻帶電的細棒在場點P處的電場和電勢，微元取為位于 $x$ 到 $x+dx$ 的一段锦溪，則微元公式中的 $dq$ 和 $r$ 分別為

解答：

如圖不脯，求均勻帶電的半圓細環(huán)在場點O處的電場和電勢府怯，經(jīng)常把微元取為位于 $\theta$ 到 $\theta+d\theta$ 的一段刻诊，則公式中的 $dq$ 為

解答： $dq=\frac{Q}{\pi R}d\theta$

如圖，均勻帶異號電的半圓細環(huán)在圓心O點的電場方向為

解答：

IMG_20190331_130003.jpg

細棒或細環(huán)帶電體求電場 $\vec{E}$ 的思路是：

(a)考慮帶電體的對稱性牺丙，分析出合場的方向则涯，記為 $\vec{e}$ ；
(b)取合適的電荷微元 $dq$ 冲簿，找到該微元到場點的距離 $r$ 粟判，
(c) 借助點電荷公式，寫出微元在場點產(chǎn)生的電場大小 $dE$ 峦剔，進而寫出 $dE$ 在合場方向 $\vec{e}$ 上的投影 $dE_{x}=dE\cdot\cos\theta$ 档礁。
(d)計算定積分。
現(xiàn)在求均勻帶電的細棒( $Q,L$ )在場點P處的電場吝沫，讓我們按照以上四個步驟研究該問題呻澜。
第一步，定性分析出該場點合場強的方向惨险，可能的結(jié)果為
(1) $\vec{e}_{x}$
(2) $\vec{e}_{y}$
第二步以中點為原點建立坐標(biāo)軸羹幸。微元取為位于 $x$ 到 $x+dx$ 的一段，則公式中的 $dq$ 和 $r$ 分別為
(3) $dq=\frac{Q}{L}\cdot dx$ 辫愉， $r=\sqrt{h^{2}+x^{2}}$
(4) $dq=\frac{Q}{L}\cdot dx$ 栅受， $r=\sqrt{h^{2}+4x^{2}}$
第三步分析該微元的場強 $dE$ ，以及 $dE$ 在合場方向 $\vec{e}$ 上的投影，可能的結(jié)果為
(5) $dE_{y}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{h}{r}$
(6) $dE_{y}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{x}{r}$
第四步屏镊，把第二步的結(jié)果代入第三步的積分表達式中依疼，計算定積分，有如下列法
(7) $\int_{-L/2}^{L/2}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{h}{r}$
(8) $\int_{0}^{L}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\frac{x}{r}$
則正確的方程組是( )

解答：（1）（3）（6）（8）

現(xiàn)在求均勻帶電的半圓細環(huán)( $Q,R$ )在環(huán)心O處的電場而芥，讓我們按照以上四個步驟研究該問題涛贯。
第一步，定性分析出該場點合場強的方向蔚出，可能的結(jié)果為

解答： $\vec{e}_{x}$

第二步弟翘，微元取為位于 $\theta$ 到 $\theta+d\theta$ 的一段圓弧，則公式中的 $dq$ 和 $r$ 分別為

解答：
$dq=\frac{Q}{\pi }d\theta$
$r=R$

第三步分析該微元的場強 $dE$ 骄酗，以及 $dE$ 在合場方向 $\vec{e}$ 上的投影稀余，可能的結(jié)果為

解答：
$dE=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{dq}{R^2}\cos \theta$

第四步，把第二步的結(jié)果代入第三步的積分表達式中趋翻，計算定積分睛琳，有如下列法

解答： $E=\int dE=\int_{0}^{\pi}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{dq}{R^2}\cos \theta$

細棒或細環(huán)帶電體求電勢 $V$ 的思路更簡單，因為電勢是標(biāo)量疊加原理踏烙。其基本思路是师骗，
(a)取合適的電荷微元 $dq$ ，找到該微元到場點的距離 $r$ 讨惩，
(b)借助點電荷公式辟癌，寫出微元在場點產(chǎn)生的電勢 $dV$ ，
(c)計算定積分荐捻。
現(xiàn)在求均勻帶電的半圓細環(huán)( $Q,R$ )在環(huán)心O處的電勢
第一步黍少，微元取為位于 $\theta$ 到 $\theta+d\theta$ 的一段圓弧。則公式中的 $dq$ 和 $r$ 分別為
(1) $dq=\frac{Q}{\pi}\cdot d\theta$ 处面， $r=R$
(2) $dq=\frac{Q}{R\pi}\cdot d\theta$ 厂置， $r=R$
第二步寫出該微元在該點的電勢 $dV$ ，可能的結(jié)果為
(3) $dV=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}$
(4) $dV=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}\cdot\sin\theta$
第三步魂角，把第二步的結(jié)果代入第三步的積分表達式中昵济，計算定積分，有如下列法
(5) $\int_{0}^{\pi}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r}$
(6) $\int_{0}^{\pi R}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{dq}{r^{2}}\cdot\sin\theta$
則正確的方程組是( )

解答：（1）（3）（5）

細棒或細環(huán)帶電體求電勢 $V$ 的思路更簡單野揪，因為電勢是標(biāo)量疊加原理访忿。現(xiàn)在求均勻帶電的細棒( $Q,L$ )在中心 $O$ 處的電勢。
第一步囱挑，微元取為位于 $x$ 到 $x+dx$ 的一段醉顽，則 $dq$ 和 $r$ 分別為

解答： $dq=\frac{Q}{L}dx$
$r=x$

第二步寫出該微元在該點的電勢 $dV$ ，

解答：
$dV=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{dq}{r}$

第三步平挑，把第二步的結(jié)果代入第三步的積分表達式中游添，計算定積分

解答： $V=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{Q}{L}dx=0$ `

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