2.牛頓迭代二階梯度法求多元非線性函數(shù)的極小值秒啦，以及Hessian矩陣

牛頓迭代求最小值有點區(qū)別于求牛頓迭代求根
先復(fù)習(xí)一下

牛頓迭代求根

是如下表達(dá)式

$f'(a)\approx \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

因為是求根傀履，那么函數(shù) $f(x)$ 和 $x$ 軸相交的地方就是解所在的位置缆巧，所以一般要稍作變形以構(gòu)造 $f(x)=0$

于是 $f'(a)\approx \frac{0-f(a)}{x-a}$

$x \approx a-\frac{f(a)}{f'(a)}$

因為是依次迭代布持，所以這里的 $a$ 是初值
后續(xù)迭代通式就是
$x_{n+1} \approx x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

那么

牛頓迭代求極小值，又是咋回事呢

顧名思義陕悬，求最小值题暖，也就是說要找的不是和 $x$ 軸的交點，求 $f(x)$ 最小值我們一般想到的就是求其導(dǎo)數(shù)為 $0$ 的點
牛頓迭代求最小首先使用的是對函數(shù)的泰勒二階展開對原函數(shù)進(jìn)行擬合
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2$
比如下圖綠色的是原函數(shù)，橙色代表的是對 $f(x)$ 的二階泰勒擬合
求上式求導(dǎo)可得
$f'(x)=f'(x_0)+f''(x_0)(x-x_0)$ 胧卤，

image.png

令導(dǎo)數(shù)為零唯绍，
則 $f'(x_0)+f''(x_0)(x-x_0)=0$
可知函數(shù)在 $x=x_0$ 處取得極小值
稍作變形
$x=x_0-\frac{f'(x_0)}{f''(x_0)}$
通式為
$x_{n+1}=x_n-\frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}$
可見它和牛頓迭代求根非常相似，不同之處在于枝誊，這里每次迭代是原函數(shù)的一階導(dǎo)除以二階導(dǎo)

牛頓迭代求非線性多元函數(shù)的極小值

根據(jù)前面牛頓迭代求根高維表達(dá)的推導(dǎo)况芒，我們依照葫蘆畫瓢來進(jìn)行極小值的高維表達(dá)式推導(dǎo)
首先是一維情況

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2$

簡單點，我們擴(kuò)展到二維叶撒，這里涉及的是二元函數(shù)的泰勒展開式绝骚，于是有
$f(x,y)=f(x_0,y_0)$

$+\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}(y-y_0)$

$+\frac{1}{2!}\frac{\partial ^2 f(x_0,y_0)}{\partial x^2}(x-x_0)^2+\frac{1}{2!}\frac{\partial^2 f(x_0,y_0)}{\partial y^2}(y-y_0)^2$
$+\frac{1}{2!}\frac{\partial ^2f(x_0,y_0)}{\partial x\partial y}(x-x_0)(y-y_0)+\frac{1}{2!}\frac{\partial ^2f(x_0,y_0)}{\partial y\partial x}(x-x_0)(y-y_0)$
----------------------------------- $(1)$
這里相比牛頓迭代求根多了二階全微分項
我們寫成矩陣的形式，于是有
$f(x,y)=f(x_0,y_0)+\begin{bmatrix}\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}&\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x-x_0\\y-y_0\end{bmatrix}$

$+\frac{1}{2!} \begin{bmatrix}x-x_0&y-y_0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial ^2 f(x_0,y_0)}{\partial x^2}&\frac{\partial ^2 f(x_0,y_0)}{\partial x\partial y} \\\frac{\partial ^2 f(x_0,y_0)}{\partial y\partial x}&\frac{\partial ^2 f(x_0,y_0)}{\partial y^2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x-x_0\\y-y_0\end{bmatrix}$
祠够，那么上式可以簡記為
$f(x,y)=f(x_0,y_0)+\nabla f(x_0,y_0)\begin{bmatrix}x-x_0\\y-y_0\end{bmatrix}+\frac{1}{2!} \begin{bmatrix}x-x_0&y-y_0\end{bmatrix} H(x_0,y_0) \begin{bmatrix}x-x_0\\y-y_0\end{bmatrix}$
進(jìn)一步可以記為
$f(X)=f(X^{(0)})+\nabla f(X^{(0)})^T\Delta X+\frac{1}{2!} \Delta X^T H(X^{(0)}) \Delta X$
其中
$H(X^{(0)})=\begin{bmatrix} \frac{\partial ^2 f(x_0,y_0)}{\partial x^2}&\frac{\partial ^2 f(x_0,y_0)}{\partial x\partial y} \\\frac{\partial ^2 f(x_0,y_0)}{\partial y\partial x}&\frac{\partial ^2 f(x_0,y_0)}{\partial y^2} \end{bmatrix}$ 叫做Hessian矩陣

$\nabla f(X^{(0)})$ 這種寫法叫做 $f(X)$ 函數(shù)各方向的全微分压汪，也叫梯度算子,其實本質(zhì)上也是一個雅可比矩陣，也可計為 $J(X^{(0)})$

繼續(xù)往下走古瓤，對上面的函數(shù)求各個方向的偏微分

對等式（1）求各方向的一階偏導(dǎo)可得
(注意止剖，這里有個知識點，即對于二階混偏導(dǎo)連續(xù)時候湿滓，先x后y,與先y后x滴须，這兩種方式求偏導(dǎo)的值是一樣的)于是得到下面的等式

$f_x'(x,y)=\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}+\frac{\partial ^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}(x-x_0)+\frac{\partial^2 f(x_0,y_0)}{\partial x \partial y}(y-y_0)$

$f_y'(x,y)=\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}+\frac{\partial ^2f(x_0,y_0)}{\partial x\partial y}(x-x_0)+\frac{\partial ^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}(y-y_0)$

因為是求極小值舌狗，那么此時令 $f_x'(x,y)=0叽奥，f_y'(x,y)=0$

$\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}+\frac{\partial ^2f(x_0,y_0)}{\partial x^2}(x-x_0)+\frac{\partial^2 f(x_0,y_0)}{\partial x \partial y}(y-y_0)=0$

$\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}+\frac{\partial ^2f(x_0,y_0)}{\partial x\partial y}(x-x_0)+\frac{\partial ^2f(x_0,y_0)}{\partial y^2}(y-y_0)=0$

寫成矩陣形式有
$\begin{bmatrix}\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}\\\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \frac{\partial ^2 f(x_0,y_0)}{\partial x^2}&\frac{\partial ^2 f(x_0,y_0)}{\partial x\partial y} \\\frac{\partial ^2 f(x_0,y_0)}{\partial y\partial x}&\frac{\partial ^2 f(x_0,y_0)}{\partial y^2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x-x_0\\y-y_0 \end{bmatrix}=0$

根據(jù)上面對海森矩陣的定義以及函數(shù)梯度算子的定義
這里可以直接簡寫
$J(X^{(0)})+H(X^{(0)})\Delta X =0$
$H(X^{(0)})\Delta X =-J(X^{(0)})$
$\Delta X =-H(X^{(0)})^{-1}J(X^{(0)})$

$X=X^{(0)}-H(X^{(0)})^{-1}J(X^{(0)})$

根據(jù)迭代式的定義

$X^{n+1}=X^{(n)}-H(X^{(n)})^{-1}J(X^{(n)})$

上面的推導(dǎo)過程熟練的話，其實可以直接寫成下面

即 $\frac{\partial f(X)}{\partial \Delta X}=\frac{\partial (f(X^{(0)})+J(X^{(0)})^T\Delta X+\frac{1}{2!} \Delta X^T H(X^{(0)}) \Delta X)}{\partial \Delta X}$

$=J(X^{(0)})+H(X^{(0)})\Delta X$

總結(jié)

牛頓迭代求根是令擬合的原函數(shù)函數(shù)值為零而做出的推導(dǎo)
牛頓迭代求極小值是零原函數(shù)的一階導(dǎo)為零而做出的推導(dǎo)

最后編輯于：2023.12.06 11:37:59

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