第五章場問題脉顿，選做了課后5.1題
由場中已知的邊界位置電勢來確定其它各處的電勢，之后進(jìn)一步求電場強(qiáng)度莉恼。
解題分析
觀察下圖，已知小正方形區(qū)域?yàn)橐坏葎蒹w區(qū)域速那，且電勢為1类垫；大正方形外框亦為一等勢邊界，電勢為0琅坡。則由系統(tǒng)整體的對稱性，設(shè)置各選定位置處的電勢初始參考值
如下圖残家，將小正方形和大正方形之間的距離等分為三份（分界線由虛線標(biāo)出）榆俺，并將電勢差等分，設(shè)置各虛線處的具體參考值（已標(biāo)識于虛線處）：
一坞淮，9×9矩陣
設(shè)置一個9×9的矩陣茴晋，記錄下初始值，之后進(jìn)行迭代更新回窘。迭代時應(yīng)注意到小正方形區(qū)域和大正方形邊框處的電勢不應(yīng)變化诺擅。
上圖即為場區(qū)域一些格點(diǎn)處的初始電勢設(shè)定值。
Mathematica代碼：
While[Abs[u1 - (u[[2, 1]] + u[[2, 3]] + u[[1, 2]] + u[[3, 2]])/4] >= 10^-4,
For[i = 2, i <= 8, i++,
For[j = 2, j <= 8, j++,
If[i >= 4 && i <= 6 && j >= 4 && j <= 6, Null, u[[i, j]] = (u[[i, j - 1]] + u[[i, j + 1]] + u[[i - 1, j]] + u[[i + 1, j]])/4]]]; u1 = u[[2, 2]]]啡直；
MatrixForm[u]
設(shè)定的迭代終止條件為矩陣元素（2,2）在迭代前后值之差小于10^-4烁涌，得到迭代結(jié)果矩陣為（截圖效果AV畫質(zhì)苍碟。。撮执。）：
按矩陣元素值的大小對應(yīng)顏色深淺微峰，畫出顏色表示圖（外周一圈純白表示著0）：
二，17×17矩陣
由上圖可直觀的看出迭代達(dá)到穩(wěn)定時勢場的大致分布抒钱，但像素點(diǎn)還有待增多蜓肆，增多后效果會很好。我試著寫任意步長細(xì)分區(qū)域的程序谋币，而且把初始矩陣的設(shè)定也有編程解決了仗扬，于是這個問題在任意細(xì)分下的情況也可以解決，首先蕾额，設(shè)置初始矩陣為17×17早芭，矩陣初始值自動設(shè)定程序?yàn)椋?/p>
Mathematica代碼：
step = .166667;
For[i = 1, i <= 17, i++,
For[j = 1, j <= 17, j++,
If[(i == 2 || i == 16) && (j >= 2 && j <= 16) || (j == 2 || j == 16) && (i >= 2 && i <= 16), u[[i, j]] = step*1];
If[(i == 3 || i == 15) && (j >= 3 && j <= 15) || (j == 3 || j == 15) && (i >= 3 && i <= 15), u[[i, j]] = step*2];
If[(i == 4 || i == 14) && (j >= 4 && j <= 14) || (j == 4 || j == 14) && (i >= 4 && i <= 14), u[[i, j]] = step*3];
If[(i == 5 || i == 13) && (j >= 5 && j <= 13) || (j == 5 || j == 13) && (i >= 5 && i <= 13), u[[i, j]] = step*4];
If[(i == 6 || i == 12) && (j >= 6 && j <= 12) || (j == 6 || j == 12) && (i >= 6 && i <= 12), u[[i, j]] = step*5];
If[(i == 7 || i == 11) && (j >= 7 && j <= 11) || (j == 7 || j == 11) && (i >= 7 && i <= 11), u[[i, j]] = 1];
If[(i == 8 || i == 10) && (j >= 8 && j <= 10) || (j == 8 || j == 10) && (i >= 8 && i <= 10), u[[i, j]] = 1];
If[i == 9 && j == 9, u[[i, j]] = 1]]]
因?yàn)閰^(qū)域被分成了更多小區(qū)域，所以判斷穩(wěn)定的條件由之前的10^-4改變?yōu)?0^-5凡简，得穩(wěn)定的17×17矩陣為（請忽略畫質(zhì)逼友。。秤涩≈钠颍可點(diǎn)擊原圖查看，會清晰一些）：
彩圖為：
中心小正方形為1勢能區(qū)域筐眷，最外面一圈為0勢能黎烈，顏色由紅向藍(lán)過度，勢能值由1向0減小匀谣，此圖已經(jīng)比較細(xì)膩了照棋，顯示效果也比較好。顏色相同的條帶可近似看作是等勢線武翎。
三烈炭，33×33矩陣
為了更好的顯示效果，做了個33×33矩陣宝恶，運(yùn)行結(jié)果矩陣很大符隙，迭代運(yùn)算的截止精度也向小數(shù)點(diǎn)后又推進(jìn)了一位，達(dá)到了10^-6垫毙，最終結(jié)果矩陣大到無法完全截屏（下圖只截取了一部分）：
但彩圖的效果很好：
從上圖已經(jīng)可以看出很好的顯示效果了霹疫，直觀又上眼。其“等勢線”也更加精細(xì)综芥，場的分布已經(jīng)比較了然丽蝎，是一個很好的效果。
我在編程過程中發(fā)現(xiàn)在理解了教材的算法和原理后膀藐，用Mathematica處理這個問題很容易屠阻，于是順便把下題也解決了红省，與上題不同，此題的初始電勢值設(shè)置要從頭再來栏笆，且+1與-1之間也不是上題中的小正方形區(qū)域：
在上題的代碼基礎(chǔ)上类腮，修改一下限制條件，有：
Mathematica代碼：
While[Abs[u1 - (u[[2, 1]] + u[[2, 3]] + u[[1, 2]] + u[[3, 2]])/4] >= 10^-4, For[i = 2, i <= 8, i++, For[j = 2, j <= 8, j++, If[i >= 4 && i <= 6 && (j == 4 || j == 6), Null, u[[i, j]] = (u[[i, j - 1]] + u[[i, j + 1]] + u[[i - 1, j]] + u[[i + 1, j]])/4]]]; u1 = u[[2, 2]]]
MatrixForm[u]
運(yùn)行結(jié)果矩陣為：
由該矩陣我們能發(fā)現(xiàn)勢場分布與之前一題在左部分矩陣元上的區(qū)別蛉加，此題左半部分勢場雖然有與上一題相似的地方（位于勢值1和勢值0之間）蚜枢，但是由于勢值1區(qū)域由小正方形平板縮小為一個線分布，且右半部分增加了勢值為-1的線分布针饥，對勢值有了明顯影響厂抽。
轉(zhuǎn)換為顏色圖，效果更直觀（藍(lán)色越深丁眼，值越小筷凤，白色為0勢值，顏色越偏向黃則勢值越大）：
因?yàn)檫@個題目初始矩陣的設(shè)置比較麻煩苞七，故只做了9×9的矩陣藐守，但原理是類似的。
結(jié)論
由課本的拉普拉斯等式出發(fā)蹂风，做分析得出數(shù)值解法卢厂，取得了一定效果，穩(wěn)定矩陣的存在表明了方法的可靠性惠啄，矩陣轉(zhuǎn)換為彩圖顯示令結(jié)果更加明顯而直觀慎恒，將區(qū)域細(xì)分為更多取樣點(diǎn)，初始矩陣越大時撵渡，最終結(jié)果越精細(xì)融柬，越了然直觀。不得不說趋距，課本的分析介紹的這種數(shù)值方法很好很有用粒氧，取樣點(diǎn)密度高了之后會有更好的結(jié)果。
說明
這次我沒用Python节腐，改用的Mathematica靠欢。我現(xiàn)在對那玩意有點(diǎn)陰影，有時候出問題找不到源頭铜跑。。骡澈。但既然是計算物理而不是計算Python锅纺，用什么工具就不重要了，結(jié)果出來了就行肋殴。
