在介紹梯度稠曼，旋度形病，與散度這些東西之前，我們首先引入一個東西：nabla算符
（也叫做向量微分算子），其中
窒朋。
這個東西到底有什么用呢搀罢，繼續(xù)向下看，你就會明白我把這個東西放在最前面的用意侥猩。梯度：在介紹梯度之前榔至，就不得不說方向向量的事情。首先假設(shè)我們都是紙片人欺劳，在爬一座紙片山
顯然我們向上爬的時(shí)候唧取，每一處地方，山的陡峭程度是不同的划提。我們直觀的感受就是爬山的時(shí)候費(fèi)不費(fèi)力枫弟。在二維中，這個陡峭程度我們把它叫做導(dǎo)數(shù)鹏往，導(dǎo)數(shù)可以表示函數(shù)曲線上的切線斜率淡诗。除了切線的斜率，導(dǎo)數(shù)還表示函數(shù)在該點(diǎn)的變化率伊履。
回到現(xiàn)實(shí)韩容，我們開始爬這座三維的山，不同于二維之中唐瀑，我們只能上下爬山群凶，在三維之中，當(dāng)我們站在一個點(diǎn)的時(shí)候哄辣，我們可以向四周隨意行動（注意安全）请梢。這也就意味著在這一點(diǎn)有著無數(shù)的方向，這么多方向力穗，我們?nèi)绾尾拍馨阉麄儽硎境鰜砟匾慊。窟@時(shí)我們有了一個好辦法，就像在一個坐標(biāo)系中的向量可以用x当窗，y軸上的單位向量表示一樣形真，我們可以建立空間直角坐標(biāo)系，把山放進(jìn)坐標(biāo)系之中超全，假設(shè)山坡可以表示為
咆霜，和之前的思想類似，我們同樣可以把不同方向的斜率用x嘶朱，y方向上的變化表示蛾坯。而y方向的斜率可以對y偏微分得到.，x方向的斜率可以對x偏微分得到疏遏。這里我們直接給出這個結(jié)論：
設(shè)
脉课。我們可以把之前這個式子寫成兩個向量點(diǎn)積的形式救军，
，
一點(diǎn)處的方向?qū)?shù)有很多倘零，但是如果我們要找一個最大唱遭，那么
。
這時(shí)候當(dāng)A和I重合時(shí)呈驶，方向?qū)?shù)最大拷泽，也就意味著這時(shí)，在這一點(diǎn)袖瞻，山是最陡峭的司致。這時(shí)我們把A命名為梯度，記作
聋迎，
這樣脂矫，我們就知道了梯度的意義，從字面來看霉晕，這兩個字還是比較符合它的實(shí)際意義的庭再。下次你再爬山的時(shí)候，也許你可以建立山的函數(shù)牺堰，求出自己所在位置的梯度拄轻，從而規(guī)劃一條最短的路哦。
通量與散度：之前萌焰，我們用房頂為曲面的房子講了進(jìn)入房子里面的雨水的量哺眯，也就是
谷浅，現(xiàn)在我們可以給這個東西取一個名字了扒俯，數(shù)學(xué)家們一拍腦袋，有了這個東西我們就把它叫做通量一疯。顯然撼玄，通量描述的是進(jìn)入房子的整體的水的量，而整體是部分的加和墩邀。就像之前我們用過的長方體氣球掌猛，從水龍頭中進(jìn)來的水等于從氣球周圍流出的水，這樣我們便得到了高斯公式：
現(xiàn)在眉睹，用閉區(qū)域的體積V除上式兩端荔茬，得
左端表示單位時(shí)間內(nèi)單位體積產(chǎn)生的水的平均值，顯然在這個氣球里邊一定會有一個點(diǎn)單位時(shí)間內(nèi)單位體積產(chǎn)生的水等于這個平均值竹海，我們讓這個點(diǎn)取為M（x慕蔚，y，z）斋配，那么左邊的式子可以表示為：
我們把這個區(qū)域不斷地接近M點(diǎn)孔飒，也就是對上邊的式子取極限得到：
我們把上式左端叫做場v在M點(diǎn)的通量密度或散度灌闺，記作
即
設(shè)V=（P,Q,R）,把散度寫成向量點(diǎn)乘的形式，
顯然我們又一次看到了
這個東西坏瞄。
散度的幾何意義：
散度散度桂对，從名字上來看這個，這個量是用來描述“散開的程度”鸠匀，但是根據(jù)我們之前的分析蕉斜，散度這個量表示的是無窮小曲面處的通量。散度的大小直接與在這一個小曲面是否有通量有關(guān)狮崩。想像一個朝四面八方噴水的水水龍頭蛛勉。在這個水龍頭上套一個橡皮圈。
顯然睦柴，橡皮圈會被水撐大诽凌，這一點(diǎn)散度就不為0，如果我們把這個橡皮圈拿出這個中心坦敌，就好像我們劃船一樣侣诵，這個橡皮圈會被水流沖走，這樣這個點(diǎn)的散度就為0了狱窘，所以說散度并不是描述“散開的程度”的一個量杜顺。
旋度：環(huán)流量、旋度與通量蘸炸、散度是比較類似的躬络。我們把單位時(shí)間內(nèi)繞著一條曲線的量叫做環(huán)流量。和之前散度的定義類似搭儒，我們都是從宏觀到微觀穷当，逐漸的把這個曲線縮小，縮小到圍繞著一個點(diǎn)附近很小的區(qū)域里的平均環(huán)流量淹禾，這樣我們就得出了在一個點(diǎn)的旋度：
馁菜，之前的散度可以寫成
的形式，而我們的旋度又和散度十分相似铃岔，而與點(diǎn)乘十分相似的是什么呢汪疮？沒錯就是叉乘，我們可以把
這個形式寫成叉乘的形式
總結(jié)：
一個矢量一般來說有3種“乘法”：
1毁习、 矢量A和一個標(biāo)量a相乘：aA
2智嚷、 矢量A和一個矢量B進(jìn)行點(diǎn)乘：A·B
3、 矢量A和一個矢量B進(jìn)行叉乘
同樣纺且，算子也有三種運(yùn)算
1盏道、 ▽算子作用在一個標(biāo)量函數(shù)z上：▽z，這個表示的是z的梯度
2隆檀、 ▽算子跟一個矢量函數(shù)E點(diǎn)乘：▽·E摇天。表示E的散度
3粹湃、 3、▽算子跟一個矢量函數(shù)E叉乘：▽×E泉坐。表示E的旋度
了解了這些之后为鳄，你就可以去看被譽(yù)為史上最美方程的的麥克斯韋方程組了。
還有一件事
對于格林公式腕让，高斯公式孤钦，stokes公式，如果學(xué)習(xí)了外微分的話纯丸，這些公式其實(shí)表示的是一個東西
在這里偏形，我僅拋磚引玉，想要學(xué)習(xí)的可以閱讀龔升老師的《微積分五講》
假設(shè)滿足
觉鼻，這兩條規(guī)則的微分乘積稱為微分的外乘積俊扭，由微分的外乘積乘上函數(shù)組成的微分形式，稱為外微分形式
為一次外微分形式
為二次外微分形式
為三次外微分形式
（A,B,C,D,P,Q,R,H）都是x坠陈，y萨惑，z的函數(shù)
對于任意兩個外微分形式
也可以定義外微分
則
外微分的外乘積滿足分配律和結(jié)合律，如果
是任意的三個外積分形式仇矾，則
對于外微分形式
庸蔼，可以定義外微分算子
對于零次外微分形式，就是普通的全微分算子
對于一次外微分形式贮匕，
姐仅，定義
，即對P,Q,R進(jìn)行外微分（全微分）刻盐，然后進(jìn)行外乘積掏膏，
對于二次外微分形式：
同樣，定義
,代入dA,dB,dC利用外乘積的性質(zhì)得到
對于三次外積分形式
格林公式：
記隙疚，
壤追，
是一次外微分形式磕道，
于是
對兩邊同時(shí)積分供屉，得到格林公式
Stokes公式：
，看作是一次外微分形式溺蕉，于是
伶丐，對兩邊同時(shí)積分得到stokes公式。
對于高斯公式
將
看作二次外微分形式疯特，
,積分得到高斯公式
先看零次外微分形式
哗魂，外微分形式為
，而f的梯度為
,梯度與零次型的外微分相對應(yīng)
同理漓雅，旋度與一次型外微分相對應(yīng)录别，散度與二次型外微分相對應(yīng)
牛頓-萊布尼茲法則建立了直線段與邊界的關(guān)系
格林公式建立了平面區(qū)域與其邊界的關(guān)系
Stokes公式建立了空間曲面與其邊界的關(guān)系
高斯公式建立了空間中區(qū)域與其邊界的關(guān)系
這四個公式其實(shí)說的都是一個內(nèi)容朽色，都是建立了圍成區(qū)域與邊界之間的關(guān)系
參考書目：
工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ) 下冊-馬知恩等主編-高等教育出版社-1998
《微積分五講》龔升
最美的公式：你也能懂的麥克斯韋方程組（微分篇）長尾科技
