高級計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 17：面板二值選擇模型

此文內(nèi)容為《高級計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)及STATA應(yīng)用》的筆記米愿，陳強(qiáng)老師著佛吓，高等教育出版社出版梦鉴。

我只將個人會用到的知識作了筆記集绰，并對教材較難理解的部分做了進(jìn)一步闡述。為了更易于理解绿鸣，我還對教材上的一些部分（包括證明和正文）做了修改疚沐。

僅供學(xué)習(xí)參考，請勿轉(zhuǎn)載潮模，侵刪亮蛔！

17 非線性面板
- 17.1 面板二值選擇模型
- 17.2 面板二值選擇模型的 RE 估計(jì)
- 17.3 面板二值選擇模型的 FE 估計(jì)
- 17.4 二值選擇 FE 模型的估計(jì)方法：充分統(tǒng)計(jì)量

$\S \text{ 第 17 章 } \S$

$\text{非線性面板}$

17.1 面板二值選擇模型

對于面板數(shù)據(jù)，如果被解釋變量為虛擬變量擎厢，則稱為面板二值選擇模型（binary choice model for panel data）究流。對于二值選擇行為，通扯猓可以通過一個潛變量（latent variable）來概括該行為的凈收益（收益減去成本）芬探。如果凈收益大于0，則選擇做厘惦；否則選擇不做偷仿。假設(shè)凈收益為：
$y_{i t}^{*}=\boldsymbol{x}_{i i}^{\prime} \boldsymbol{\beta}+u_{i}+\varepsilon_{i t} \quad(i=1, \cdots, n ; t=1, \cdots, T) \quad (17.1)$
其中，凈收益 $y_{it}^\star$ 為不可觀測的潛變量宵蕉， $u_i$ 為個體效應(yīng)（individual effects）酝静，而解釋變量 $\boldsymbol x_{it}$ 不含常數(shù)項(xiàng)。個體的選擇規(guī)則為：
$y_{i t}=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text { 若 } y_{i t}^{*}>0 \\ 0 & \text { 若 } y_{it}^{*} \leqslant 0 \end{array}\right.$
給定 $\boldsymbol x_{it}$ 羡玛， $\boldsymbol \beta$ 别智， $u_{it}$ ，則有：
$\begin{aligned} \mathrm{P}\left(y_{i t}=1 \mid \boldsymbol{x}_{i t}, \boldsymbol{\beta}, u_{i}\right) &=\mathrm{P}\left(y_{i t}^{*}>0 \mid \boldsymbol{x}_{i t}, \boldsymbol{\beta}, u_{i}\right) \nonumber \\ \nonumber &=\mathrm{P}\left(\boldsymbol{x}_{i i}^{\prime} \boldsymbol{\beta}+u_{i}+\varepsilon_{i t}>0 \mid \boldsymbol{x}_{i t}, \boldsymbol{\beta}, u_{i}\right) \\ \nonumber &=\mathrm{P}\left(\varepsilon_{i t}>-u_{i}-\boldsymbol{x}_{i t}^{\prime} \boldsymbol{\beta} \mid \boldsymbol{x}_{i t}, \boldsymbol{\beta}, u_{i}\right) \\ \nonumber &=\mathrm{P}\left(\varepsilon_{i t}<u_{i}+\boldsymbol{x}_{i t}^{\prime} \boldsymbol{\beta} \mid \boldsymbol{x}_{i t}, \boldsymbol{\beta}, u_{i}\right) \\ \nonumber &=F\left(u_{i}+\boldsymbol{x}_{i t}^{\prime} \boldsymbol{\beta}\right) \nonumber \end{aligned}$
其中稼稿， $F(\cdot)$ 為誤差項(xiàng) $\varepsilon_{it}$ 的累積分布函數(shù)（cdf）薄榛，并假設(shè) $\varepsilon_{it}$ 的密度函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱。如果 $\varepsilon_{it}\sim N(0,1)$ 則為 Probit 模型：
$\mathrm{P}\left(y_{i t}=1 \mid \boldsymbol{x}_{i t}, \boldsymbol{\beta}, u_{i}\right)=\Phi\left(u_{i}+\boldsymbol{x}_{i i}^{\prime} \boldsymbol{\beta}\right)$
如果 $\varepsilon_{it}$ 服從邏輯分布让歼，則為 Logit 模型：
$\mathrm{P}\left(y_{i t}=1 \mid \boldsymbol{x}_{i t}, \boldsymbol{\beta}, u_{i}\right)=\Lambda\left(u_{i}+\boldsymbol{x}_{i t}^{\prime} \boldsymbol{\beta}\right)=\frac{\mathrm{e}^{u_{i}+x_{i j}^{\prime} \boldsymbol{\beta}}}{1+\mathrm{e}^{u_{i}+x_{i i}^{\prime} \boldsymbol{\beta}}}$
面板二值選擇模型主要估計(jì)方法包括：

混合回歸
隨機(jī)效應(yīng)估計(jì)
固定效應(yīng)估計(jì)

在方程 $(17.1)$ 中敞恋，如果 $u_1=\cdots=u_n$ ，即沒有個體效應(yīng)是越，則為混合回歸（pooled probit or pooled logit），可將此面板數(shù)據(jù)作為橫截面數(shù)據(jù)處理（參考《高級計(jì)量16》）碌上，此時倚评，只需要使用截面數(shù)據(jù)的相關(guān) Stata 命令即可進(jìn)行混合回歸。然而馏予，由于同一個體不同時期的擾動項(xiàng)可能存在自相關(guān)天梧，故應(yīng)使用以面板為聚類的聚類穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤（cluster-robust standard error）。

17.2 面板二值選擇模型的 RE 估計(jì)

更一般地霞丧，我們允許個體效應(yīng)存在呢岗，即不同的個體擁有不同的 $u_i$ 。如果 $u_i$ 與所有解釋變量 $\boldsymbol x_{it}$ 均不相關(guān)，則稱為隨機(jī)效應(yīng)模型（Random Effect Model, RE, 見《高級計(jì)量16》）后豫；否則為固定效應(yīng)模型（Fixed Effect Model, FE）悉尾。

首先考慮 RE 模型。對于線性面板的 RE 模型挫酿，一般使用廣義最小二乘法（GLS）進(jìn)行估計(jì)构眯。但非線性面板不便使用GLS，故轉(zhuǎn)而使用最大似然估計(jì)（MLE）早龟。假設(shè) $u_i\sim N(0,\sigma_u^2)$ 惫霸，記密度函數(shù)為 $g(u_i)$ 。以 Logit 模型為例葱弟，給定 $u_i$ 壹店，則個體 $i$ 的條件分布為（參考《高級計(jì)量14》）：
$f\left(y_{i 1}, y_{i 2}, \cdots, y_{i T} \mid \boldsymbol{x}_{i t}, \boldsymbol{\beta}, u_{i}\right)=\prod_{i=1}^{r}\left[\Lambda\left(u_{i}+\boldsymbol{x}_{i t}^{\prime} \boldsymbol{\beta}\right)\right]^{y_{i}}\left[1-\Lambda\left(u_{i}+\boldsymbol{x}_{i t}^{\prime} \boldsymbol{\beta}\right)\right]^{1-\gamma_{i}}$
然而，上式的 $u_i$ 不可觀測芝加，為此硅卢，記 $(y_{i1},\cdots,y_{in},u_i)$ 的聯(lián)合密度為 $f(y_{i1},\cdots,y_{in},u_i)$ ，并進(jìn)行如下分解：
$f\left(y_{i 1}, y_{i 2}, \cdots, y_{i r}, u_{i}\right)=f\left(y_{i 1}, y_{i 2}, \cdots, y_{i r} \mid u_{i}\right) \cdot g\left(u_{i}\right)$
在 $(y_{i1},\cdots,y_{in},u_i)$ 的聯(lián)合密度重妖混，將 $u_i$ 積分去掉暖混，即可得到 $(y_{i1},\cdots,y_{in})$ 的邊緣密度：
$\begin{aligned} f\left(y_{i 1}, y_{i 2}, \cdots, y_{i T}\right) &=\int_{-\infty}^{+\infty} f\left(y_{i 1}, y_{i 2}, \cdots, y_{i r}, u_{i}\right) \mathrmap5eiaj u_{i} \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} f\left(y_{i 1}, y_{i 2}, \cdots, y_{i r} \mid u_{i}\right) \cdot g\left(u_{i}\right) \mathrmsl9njxk u_{i} \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\left\{\prod_{i=1}^{r}\left[\Lambda\left(u_{i}+\boldsymbol{x}_{i i}^{\prime} \boldsymbol{\beta}\right)\right]^{y_{i}}\left[1-\Lambda\left(u_{i}+\boldsymbol{x}_{i i}^{\prime} \boldsymbol{\beta}\right)\right]^{1-\gamma_{i}}\right\} \cdot g\left(u_{i}\right) \mathrm2k2ebl6 u_{i} \end{aligned}$
上面的積分沒有解析解，可以通過數(shù)值求解的方法求解碰纬，這里就不再敘述了暖庄。

假設(shè)不同個體的觀測值相互獨(dú)立，則可以寫出整個樣本的似然函數(shù)祥楣。最大化此似然函數(shù)即得到 $\boldsymbol \beta$ 的RE Logit 估計(jì)量 开财。如果將上述方程的邏輯分布 $\Lambda (\cdot)$ 改為正態(tài)分 $\Phi(\cdot)$ ，那么就是 RE Probit 估計(jì)量误褪。由于不同個體的觀測值相互獨(dú)立责鳍，故不同個體的擾動項(xiàng)也不相關(guān)，但由于 $u_i$ 的存在兽间，同一個體不同時期的擾動項(xiàng)之間仍存在相關(guān)：
$\operatorname{Cov}\left(u_{i}+\varepsilon_{i t}, u_{i}+\varepsilon_{i s}\right)=\left\{\begin{array}{ll} \sigma_{u}^{2} & \text { 若 } t \neq s \\ \sigma_{u}^{2}+\sigma_{\varepsilon}^{2} & \text { 若 } t=s \end{array}\right.$

求 $\operatorname{Cov}\left(u_{i}+\varepsilon_{i t}, u_{i}+\varepsilon_{i s}\right)$ 历葛。
$\begin{split} \operatorname{Cov}\left(u_{i}+\varepsilon_{i t}, u_{i}+\varepsilon_{i s}\right) &= \operatorname{Cov}\left(u_{i}+\varepsilon_{i t}, u_{i}\right) + \operatorname{Cov}\left(u_{i}+\varepsilon_{i t}, \varepsilon_{i s}\right) \\ &= \operatorname{Cov}\left(u_{i}, u_{i}\right) + \underbrace{\operatorname{Cov}\left(\varepsilon_{i t}, u_{i}\right) }_{=0}+ \underbrace{\operatorname{Cov}\left(u_{i}, \varepsilon_{i s}\right)}_{=0} + \underbrace{\operatorname{Cov}\left(\varepsilon_{i t}, \varepsilon_{i s}\right)}_{取決于t=s}\\ & = \sigma_u^2 + \sigma_\varepsilon^2 \end{split}$
即為所求。

如果 $t\ne s$ 嘀略，那么自相關(guān)系數(shù)為：
$\rho \equiv \operatorname{Corr}\left(u_{i}+\varepsilon_{i t}, u_{i}+\varepsilon_{i s}\right)=\frac{\sigma_{u}^{2}}{\sigma_{u}^{2}+\sigma_{s}^{2}}$
如果 $\rho$ 越大恤溶，就表示復(fù)合擾動項(xiàng) $u_i+\varepsilon_{it}$ 中個體效應(yīng) $u_i$ 的部分比較大，不能忽視個體效應(yīng)帜羊；極端地咒程，如果 $\rho=0$ ，就表示復(fù)合擾動項(xiàng)中 $u_i \to 0$ 讼育，個體效應(yīng)接近沒有帐姻，故應(yīng)該使用混合回歸模型稠集。

17.3 面板二值選擇模型的 FE 估計(jì)

在面板二值選擇模型中，如果個體效應(yīng) $u_i$ 與解釋變量 $\boldsymbol x_{it}$ 相關(guān)饥瓷，那么就是 FE 模型剥纷，
$\mathrm{P}\left(y_{i t}=1 \mid \boldsymbol{x}_{i t}, \boldsymbol{\beta}, u_{i}\right)=F\left(u_{i}+\boldsymbol{x}_{i t}^{\prime} \boldsymbol{\beta}\right)$
其中， $F(\cdot)$ 可以是 $\Lambda(\cdot)$ 或者 $\Phi(\cdot)$ 扛伍。此時筷畦，如果使用 RE 模型或混合回歸則得不到一致估計(jì)。

對于線性面板數(shù)據(jù)模型刺洒，參考《高級計(jì)量16》鳖宾，一般采用組內(nèi)估計(jì)量或者一階差分來消去固定效應(yīng) $u_i$ ，然后就可以正確估計(jì) $\boldsymbol \beta$ 逆航。但對于非線性面板數(shù)據(jù)而言鼎文，這些變換一般不起作用，因?yàn)闊o法建立可觀測的 $(y_{it}-\bar y_i)$ 與不可觀測的 $(y_{it}^\star-\bar y_i^\star)$ （即潛變量 $y_i^\star$ 的組內(nèi)離差）之間的對應(yīng)關(guān)系因俐。
就算使用虛擬變量法（LSDV法）拇惋，對于二值選擇的固定效應(yīng)模型，也仍然得不到一致估計(jì)（除非 * $T \to \infty$ ）抹剩，這是因?yàn)槌盘?dāng) $n\to\infty$ 時，待估計(jì)的個體效應(yīng) $\{u_i\}_{i=1}^\infty$ 的個數(shù)也隨之增加澳眷。這些 $\{u_i\}_{i=1}^\infty$ 被稱為伴生參數(shù)（incidental parameters）胡嘿。另一方面，每一個 $u_i$ 只能由個體 $i$ 的 $T$ 個觀測值來估計(jì)钳踊，而 $T$ 并不增加衷敌。對于現(xiàn)實(shí)的數(shù)據(jù)， $T$ 通常很小拓瞪，從而 $n\to\infty$ 且 $T$ 有限時缴罗， $\hat u_i$ 不會收斂。更重要的問題是祭埂，對 $u_i$ 的不一致估計(jì)還會使得 $\boldsymbol\beta$ 的估計(jì)也不一致面氓，這被稱為伴生參數(shù)問題。

在線性面板模型中蛆橡，可以通過組內(nèi)變換或差分變換解決伴生參數(shù)問題舌界，但對于固定效應(yīng)的面板 Probit 模型，目前尚無法解決此類伴生參數(shù)問題航罗。

17.4 二值選擇 FE 模型的估計(jì)方法：充分統(tǒng)計(jì)量

對于固定效應(yīng)的面板 Logit 模型禀横，可以通過尋找 $u_i$ 的充分統(tǒng)計(jì)量（sufficient statistic）屁药，然后在給定此充分統(tǒng)計(jì)量的條件下進(jìn)行條件最大似然估計(jì)（conditional MLE）粥血。

充分統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個概念柏锄。考慮總體參數(shù) $\theta$ 與統(tǒng)計(jì)量 $W$ 复亏。如果統(tǒng)計(jì)量 $W$ 包含了樣本中所有可以用來估計(jì) $\theta$ 的信息趾娃，則稱 $W$ 是參數(shù) $\theta$ 的充分統(tǒng)計(jì)量。

換言之缔御，給定 $W$ 以后抬闷，任何根據(jù)樣本計(jì)算的其他統(tǒng)計(jì)量都不可能提供關(guān)于 $\theta$ 的額外信息。

對于 Logit 模型耕突，Chamberlain（1980）提出使用
$n_i \equiv \sum_{t=1}^T y_{it}$
作為 $u_i$ 的充分統(tǒng)計(jì)量笤成，并計(jì)算在給定 $n_i$ 情況下的條件似然函數(shù)（根據(jù)充分統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)，此似然函數(shù)不再依賴于 $u_i$ ）眷茁，然后進(jìn)行條件似然最大估計(jì)炕泳。然而，對于 Probit 模型上祈，卻找不到 $u_i$ 的充分統(tǒng)計(jì)量培遵。

以最簡單的兩期模型為例進(jìn)行說明，即 $T=1$ 登刺。此時籽腕，對于個體 $i$ ，只有以下三種可能： $n_i = y_{i1}+y_{i2} = 0,1,2$ 纸俭。下面分別考慮著三種情形：

(1) $n_i=0$

$n_i=0$ 皇耗，此時必然 $y_{i1}=y_{i2}=0$ ，從而 ${\rm P}(y_{i1}=0,y_{i2}=0 | n_i=0)=1$ 掉蔬，其對數(shù)似然函數(shù)為 $ln 1=0$ 廊宪，故對整個樣本的似然函數(shù)沒有貢獻(xiàn)。

直觀來看女轿，由于此條件似然函數(shù)的取值為常數(shù)箭启，故此觀測值不包含任何可以用于估計(jì) $\boldsymbol \beta$ 的信息，因此蛉迹，在進(jìn)行條件似然估計(jì)時傅寡，是否包含這些觀測值并不影響估計(jì)結(jié)果。

事實(shí)上北救，等于損失了這些樣本的觀測值荐操。

(2) $n_i=2$

$n_i=2$ ，此時必然 $y_{i1}=y_{i2}=1$ 珍策，從而 ${\rm P}(y_{i1}=1,y_{i2}=2 | n_i=2)=1$ 托启，同理，這些觀測值并不包含任何有助于估計(jì) $\boldsymbol\beta$ 的信息攘宙，應(yīng)該忽略

(3) $n_i=1$

此時屯耸，或者 $(y_{i1}=0, y_{i2}=1)$ 或者 $(y_{i1}=1,y_{i2}=0)$ 拐迁，分別計(jì)算其條件概率為：
$\begin{array}{l} P\left(y_{i 1}=0, y_{i 2}=1 \mid n_{i}=1\right)=\frac{P\left(y_{i 1}=0, y_{i 2}=1\right)}{P\left(y_{i 1}=0, y_{i 2}=1\right)+P\left(y_{i 1}=1, y_{i 2}=0\right)} \quad (17.12)\nonumber \\ P\left(y_{i 1}=1, y_{i 2}=0 \mid n_{i}=1\right)=\frac{P\left(y_{i 1}=1, y_{i 2}=0\right)}{P\left(y_{i 1}=0, y_{i 2}=1\right)+P\left(y_{i 1}=1, y_{i 2}=0\right)} \quad (17.13)\nonumber \end{array}$
假設(shè)給定 $u_i$ 和 $\boldsymbol x_{it}$ 的條件下， $y_{i1}$ 和 $y_{i2}$ 相互獨(dú)立疗绣，則：
$\begin{array}{l} P\left(y_{i 1}=0, y_{i 2}=1\right)=\frac{1}{1+e^{u_{i}+x_{i 1}^{\prime}\boldsymbol\beta}} \cdot \frac{e^{u_{i}+x_{i 2}^{\prime} \boldsymbol\beta}}{1+e^{u_{i}+x_{i 2}^{\prime}\boldsymbol\beta}} \quad (17.14)\nonumber\\ P\left(y_{i 1}=1, y_{i 2}=0\right)=\frac{e^{u_{i}+x_{i 1}^{\prime} \boldsymbol\beta}}{1+e^{u_{i}+x_{i 1}^{\prime} \boldsymbol\beta}} \cdot \frac{1}{1+e^{u_{i}+x_{i2}^{\prime}\boldsymbol\beta}}\quad (17.15)\nonumber \end{array}$
將表達(dá)式 $(17.14)$ 和 $(17.15)$ 代入 $(17.12)$ 中线召，可得：
$\begin{aligned} \mathrm{P}\left(y_{i 1}=0, y_{i 2}=1 \mid n_{i}=1\right) &=\frac{\mathrm{e}^{u_{i}+x_{i} \beta}}{\mathrm{e}^{u_{i}+x_{i 1} \beta}+\mathrm{e}^{u_i+x_{i} \beta}} \nonumber \\ &=\frac{\mathrm{e}^{x_{i2}^\prime \beta}}{\mathrm{e}^{x_{i 1} ^\prime\beta}+\mathrm{e}^{x_{i2}^\prime \beta}}=\frac{\mathrm{e}^{\left(x_{i2}-x_{i 1}\right)^\prime \cdot \beta}}{1+\mathrm{e}^{\left(x_{i 2}-x_{i 1}\right)^{\prime} \beta}}=\Lambda\left[\left(x_{i 2}-x_{i 1}\right)^{\prime} \beta\right] \quad (17.16) \nonumber \end{aligned}$
注意到， $u_i$ 在分子分母都有 $e^{u_i}$ 項(xiàng)多矮，于是被消除了缓淹。同理，將 $(17.14)$ 和 $(17.15)$ 代入 $(17.13)$ 可得：
$\mathrm{P}\left(y_{i 1}=1, y_{i 2}=0 \mid n_{i}=1\right)=\Lambda\left[-\left(\boldsymbol{x}_{i 2}-\boldsymbol{x}_{i 1}\right)^{\prime} \boldsymbol{\beta}\right]=1-\Lambda\left[\left(\boldsymbol{x}_{i 2}-\boldsymbol{x}_{i 1}\right)^{\prime} \boldsymbol{\beta}\right] \quad (17.17)$
如果定義虛擬變量：如果 $(y_{i1}=0, y_{i2}=1)$ 則 $d_i=1$ 否則 $d_i=0$ 塔逃，那么就可以把 $(17.16)$ 和 $(17.17)$ 寫在一起讯壶，并將個體 $i$ 的條件對數(shù)似然函數(shù)寫為：
$\ln L_{i}(\boldsymbol{\beta})=\left\{d_{i} \ln \Lambda\left[\left(\boldsymbol{x}_{i2}-\boldsymbol{x}_{i 1}\right)^{\prime} \boldsymbol{\beta}\right]+\left(1-d_{i}\right) \ln \{ 1-\Lambda\left[\left(\boldsymbol{x}_{i 2}-\boldsymbol{x}_{i 1}\right)^{\prime} \boldsymbol{\beta}\right\}\right\} \cdot \boldsymbol 1\left(n_{i}=1\right) \quad (17.18)$
其中 $\boldsymbol 1(\cdot)$ 為示性函數(shù)，表示僅考慮 $n_i=1$ 的觀測值湾盗。上式對 $i$ 加總鹏溯，即可得到整個樣本條件對數(shù)似然函數(shù)。

從 $(17.18)$ 我們發(fā)現(xiàn)：

給定 $n_i$ 的條件似然函數(shù)不再依賴于 $u_i$
此條件似然函數(shù)仍為 Logit 模型淹仑，只是解釋變量變?yōu)? $\boldsymbol x_{i2} - \boldsymbol x_{i1}$
不隨時間變化的變量將無法識別其系數(shù)丙挽，因?yàn)槠? $x_{i2} - x_{i1} =0$
固定效應(yīng)似然函數(shù)并不包含積分，不需要進(jìn)行積分計(jì)算

更一般地匀借，對于 $T>2$ 颜阐，可以計(jì)算給定 $n_i=1,n_i=2,\cdots,$ 或 $n_i=T-1$ 的條件似然函數(shù)。固定效應(yīng)模型的缺點(diǎn)是吓肋，將損失所有 $n_i=0$ 或 $n_i=T$ 的觀測值凳怨，導(dǎo)致樣本容量減少；并且由于 $u_i$ 消去了是鬼，也無法估計(jì)個體效應(yīng) $u_i$ 肤舞，也無法預(yù)測 $y_i$ 發(fā)生的概率或解釋變量對 $y_i$ 的邊際效應(yīng)。解決的方法是假設(shè) $u_i=0$

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情欲美人皮
我被黑心中介騙來泰國打工，沒想到剛下飛機(jī)就差點(diǎn)兒被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留袁稽，地道東北人勿璃。一個月前我還...
沈念sama閱讀 48,308評論 3贊 372
代替公主和親
正文我出身青樓，卻偏偏與公主長得像推汽，于是被迫代替她去往敵國和親补疑。傳聞我的和親對象是個殘疾皇子，可洞房花燭夜當(dāng)晚...
茶點(diǎn)故事閱讀 45,037評論 2贊 355

高級計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué) 17：面板二值選擇模型