標簽： 高中數(shù)學 高考真題 解析幾何 數(shù)學思想與方法

2020年理數(shù)全國卷一題20 (12分)

已知 分別為橢圓 的左命贴、右頂點道宅， 為 的上頂點食听，. 為直線 上的動點， 與 的另一交點為 污茵， 與 的另一交點為 .
(1) 求 的方程樱报；
(2) 證明：直線 過定點。

【解答第1問】

先來解答基礎性的第1問省咨。

依題意可知： 三個點的坐標為： 代入題設條件可得：

的方程為：

【第2問分析】

解答高考數(shù)學題肃弟，有兩條基本的路線（方向）：其一，是向某些基本的模型（題型）靠攏零蓉；其二笤受，是從基本的思想和方法出發(fā)進行分析。

本題我們采用路線二來解決敌蜂，并用“自問自答”的方式來展示分析過程箩兽。

本題中有哪些對象？對象之間有何關聯(lián)章喉？

本題中汗贫，基本的對象有橢圓、直線秸脱、橢圓的弦落包。 是直線 上的動點；而 是橢圓上的定點摊唇。

如何證明一條直線過定點咐蝇？

如果一個定點的坐標始終滿足一個直線族（動直線的集合）的方程，則這個定點始終在這些變動的直線上巷查；則直線過這個定點有序。

如果方程可以寫成： ，則定點在 軸上岛请，其坐標為 .

如果方程可以寫成： 旭寿，則定點在 軸上，其坐標為 .

相對而言崇败，多數(shù)對第一種形式較為熟悉盅称；而對第二種形式就生疏一些。命題人有時就在這點上作文章后室。

從幾何角度分析微渠，能夠得出哪些結論？是否可以猜出定點的大致位置咧擂？

從對稱性的角度考慮問題逞盆。 軸是橢圓 和直線 公共的對稱軸。因此松申，對于直線 上的任一點 , 其關于 軸的對稱點 也在這條直線上云芦。

順首這條思路往下走：假如我們把 換成 俯逾，那么，直線 也就換成了 . 注意 和 是關于 軸對稱的兩條直線舅逸，它們的公共點必定在 軸上桌肴。

因此，本題中的定點一定在 軸上琉历。這是一個重要的階段性結論坠七。可以幫助我們簡化后面的計算旗笔。

從代數(shù)的角度分析彪置，可以得出哪些結論？哪些量是已知的蝇恶？哪些量是未知拳魁？哪些量是變化的？變化的量之間存在什么關聯(lián)撮弧？

本題中潘懊，橢圓的方程已知（第1問的結論）；點 是已知的定點贿衍； 是動點授舟；

直線 是已知的定直線； 則是動直線贸辈。

注意： 這幾個點都在橢圓上释树。所以，本題中可以找出多條橢圓的弦：

橢圓的弦是高中解析幾何的重要研究對象裙椭。它具有以下性質：

橢圓的弦的性質：橢圓的弦的斜率與其中點的坐標存在一個簡潔的聯(lián)系。對于以原點為對稱中心的橢圓署浩，可以用公式表達如下： 或者：

上式中揉燃， 為弦 的中點； 代表原點筋栋。

這個性質炊汤，并不是定理，但是使用平方差法（又稱點差法）可以迅速地推導得出弊攘，可以稱為常用結論抢腐。在高考中，這個常用結論出現(xiàn)了多次襟交。合理地猜想：這個性質對于解決眼前的問題也能發(fā)揮作用迈倍。

由于 （也就是 ） 是橢圓的弦，根據(jù)弦的斜率就可以求出弦的中點捣域。

同理啼染，根據(jù)直線 的斜率宴合，可以求出點 的坐標。

注意： 都是橢圓上的點迹鹅，過這四點的弦有多條卦洽。這些弦的中點坐標存在聯(lián)系。

是橢圓的長軸斜棚，其中點為原點 . 對于另外的幾個中點可命名如下：記 中點為 , 記 中點為 , 記 中點為 ; 幾個中點的坐標存在以下關系：

因此阀蒂，如果有了 兩點的坐標，就可以方便地求出點 的坐標弟蚀。

如果算出點 的坐標蚤霞，就可以求出直線 的斜率，并寫出這條直線的點斜式方程粗梭。

如果求出直線 的方程争便，就可以所過定點的坐標，從而完成證明断医。

那么滞乙，直線 的斜率是多少呢？回答是：取決于動點 的坐標鉴嗤。這個坐標比較簡單斩启，只有一個變量，可以設為

借用函數(shù)及映射的符號醉锅，以上關系可以總結如下：

理清以上關系之后兔簇，解答此題的路徑（具體步驟）也就明確了：

1）引入?yún)?shù) 以表達動點 的坐標；

2）求直線 的斜率硬耍；

3）求中點 的坐標垄琐；

4）計算中點 的坐標；

5）計算直線 的斜率经柴；

6）寫出直線 的點斜式方程狸窘；

7）求出定點坐標；

【解答第2問】

因為橢圓 的方程為： 坯认，若點 在該橢圓上翻擒，

則：

設點 坐標為： , 則直線 的斜率分別為：

1）當 ， 則點 分別與點 重合牛哺，直線 與 軸重合陋气。

2）當 :

兩直線的方程為：

記 中點為 , 記 中點為 , 記 中點為 ; 則有：

代入直線方程可求出兩個中點的坐標：

由于 中點為原點，而 中點分別為：, 所以：

同理可得：

方程為：

方程可化為： ;

綜上所述引润，對 , 直線 一定經(jīng)過定點 . 證明完畢巩趁。

【微操指南】

作為高考壓軸題，除了考查大的思路淳附，命題人還會安排一些小的關卡和障礙晶渠，考驗考生的綜合實力凰荚。

本題的特點在于：點 的坐標較為復雜，會令一部分望而生畏褒脯，就此止步便瑟。

對這個關卡，可以用以下思路破解番川。

點斜式方程的標準形式如下：

在前面的分析中到涂，我們從對稱性角度已經(jīng)得出結論：定點在 軸上，其坐標形式為

所以颁督，我們采用點斜式方程的以下變形：

代入前面的計算結果可得：

以上推導過程有一定復雜度践啄。勝利完成類似任務的關鍵在于：經(jīng)過開頭的分析，我們已經(jīng)知道定點在 軸上沉御，所以我們相信：看起來十分復雜的分母和復雜的分子一定可以約分屿讽，最后化簡為一個簡單的形式。

這種“方向感”需要在平時培養(yǎng)吠裆。假如缺乏方向感伐谈，一味地強調熟練，是難以完成任務的试疙。

【提煉與提高】
2017年理科數(shù)學全國卷一題20也是“定點問題”诵棵，但兩題的解法是有區(qū)別的。請注意比較祝旷。