【初中數(shù)學(xué)】一題多思路 1801 一道幾何證明題

作者介紹：
大爽老師本今，以前做過高中數(shù)學(xué)線上一對一輔導(dǎo)老師
現(xiàn)在賦閑在家昧穿，與大家分享一些初高中數(shù)學(xué)的知識揍障，方法與思路瑟慈。

適用階段： 初二下學(xué)期，學(xué)完平行四邊形见转。

題目

如圖水醋， 在\triangle ABC, \triangle ADE 中旗笔， \angle BCA = \angle DEA = 90 ^\circ, \\ A,C,E 在一條直線上，且BC=DE拄踪，連接BD蝇恶， \\ M，N分別為AB惶桐， CE的中點撮弧，連接MN。\\ 求證： AD= 2MN

q1_1.png

思路分析

這個題有多種思路姚糊，非常靈活贿衍。
這里做一下如何想到這些思路的分析。

要證明AD= 2MN救恨，
那么有兩種大方向

  • 把MN放大成兩倍贸辈，證明放大兩倍后的和AD相等
  • 把AD縮小成一半，證明縮小一半后的和MN相等

結(jié)合題目肠槽，出現(xiàn)兩次中點擎淤。
遇到中點奢啥，聯(lián)想到中位線以及中線。

那么到這里嘴拢，輔助線應(yīng)該就好思考了桩盲。

三種思路

  1. 把MN作為中位線（對應(yīng)的邊為其兩倍）
  2. 找到AD對應(yīng)的中位線（該中位線為AD的一半）
  3. 畫AD邊上的中線（直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半）

具體如下圖所示

q1_6.jpg

下來逐一證明

思路一

q1_3.png

\begin{aligned} & 延長AE至F，使EF=AC \\ & \because N為CE中點炊汤，\therefore NC = NE \\ & \therefore AC + CN = EF + NE, 即AN=NF \\ & \because M為AB中點，N為AF中點弊攘， \\ & \therefore MN為 \triangle ABF中位線, MN = \frac 1 2 BF \\ & AC + CE = EF + CE, 即 AE = CF \\ & \begin{cases} AE = CF \\ \angle DEA = \angle BCF \\ DE = BC \\ \end{cases} \\ & \therefore \triangle ADE \cong \triangle FBC \\ & \therefore AD = BF = 2MN \end{aligned}

思路二

q1_4.jpg

\begin{aligned} & 取BD中點G抢腐，連接MG，MC \\ & M為AB中點襟交，MG為\triangle ABD 中位線迈倍， MG = \frac 1 2 AD \\ & \because \angle BCA = \angle DEA = 90 ^\circ, \therefore BC \parallel DE \\ & 又BC= DE， \therefore BCED 是平行四邊形 \\ & \therefore BD \parallel CE , \angle CBD = \angle BCA = 90 ^ \circ \\ & G捣域， N分別為BD啼染， CE中點, \because BD = CE, \therefore BG = CN \\ & \because \angle ACB = 90 ^ \circ, CM為斜邊AB的中線, \therefore CM = \frac 1 2 AB = MB \\ & \angle MCB = \angle MBC, 又\angle BCE = \angle CBD, \therefore \angle MCN = \angle MBG \\ & \begin{cases} MC = MB \\ \angle MCN = \angle MBG \quad \Rightarrow \quad \therefore \triangle MCN = \triangle MBG \\ CN = BG \end{cases} \\ & MN = MG = \frac 1 2 AD, 即AD = 2 MN \end{aligned}

思路三

q1_5.jpg

\begin{aligned} & 取AD中點O，連接MO焕梅，OE \\ & M為AB中點迹鹅，\therefore MO 為\triangle ABD 中位線 \\ & MO = \frac 1 2 BD, MO \parallel BD \\ & \because \angle BCA = \angle DEA = 90 ^\circ, \therefore BC \parallel DE \\ & \because BC = DE, \therefore BCED為平行四邊形 \\ & BD = CE, BD \parallel CE \\ & N為CE中點，\therefore NE = \frac 1 2 CE = \frac 1 2 BD = MO \\ & \because MO \parallel BD, NE \parallel BD, \therefore MO \parallel NE \\ & \therefore MOEN 為平行四邊形 ,\therefore MN = OE \\ & \angle AED = 90 ^\circ , EO 為斜邊AD中線 \\ & \therefore AD = 2 OE = 2 MN \\ \end{aligned}

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