感悟運(yùn)算的一致性——小數(shù)和分?jǐn)?shù)除法
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一庆尘、為什么要讓學(xué)生感悟運(yùn)算的一致性剃诅？
二、如何打通分?jǐn)?shù)與小數(shù)除法的運(yùn)算一致性驶忌？
? ? 感悟運(yùn)算一致性的背景：
? ? 2022版課標(biāo)強(qiáng)調(diào)“探索數(shù)運(yùn)算的一致性”综苔。新課標(biāo)在第三學(xué)段的內(nèi)容要求中明確提出：能進(jìn)行簡(jiǎn)單的小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算和混合運(yùn)算位岔，感悟運(yùn)算的一致性如筛，發(fā)展運(yùn)算能力和推理意識(shí)。史寧中教授也提到“需要注意兩個(gè)一致：乘法除法運(yùn)算一致：整數(shù)抒抬、小數(shù)杨刨、分?jǐn)?shù)運(yùn)算一致”。
? ? ? 需要關(guān)注小數(shù)除法與分?jǐn)?shù)除法的差異
? ? ? 在教材安排上擦剑，小數(shù)除法是利用轉(zhuǎn)化的思想妖胀，通過(guò)商不變的規(guī)律，將小數(shù)除法轉(zhuǎn)換為除數(shù)是整數(shù)的除法進(jìn)行計(jì)算惠勒；而分?jǐn)?shù)除法時(shí)利用除以一個(gè)不為0的數(shù)等于成這個(gè)數(shù)的倒數(shù)來(lái)進(jìn)行計(jì)算赚抡。從整數(shù)除法到小數(shù)，除法形式相似纠屋，我們可以利用將未知轉(zhuǎn)換為已知的思想涂臣，打通整數(shù)除法與小數(shù)除法的一致性。而分?jǐn)?shù)除法與小數(shù)除法的一致性，需要通過(guò)以整數(shù)除法為紐帶赁遗，理解算法與算理之間的關(guān)系署辉，再進(jìn)行一致性的梳理。
? ? ? 兩條設(shè)計(jì)路徑打通分?jǐn)?shù)與小數(shù)除法
? ? ? 〈一〉把小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)
? ? ? 要想用分?jǐn)?shù)除法的算法統(tǒng)一小數(shù)除法計(jì)算岩四，需要從教學(xué)內(nèi)容編排的順序上進(jìn)行調(diào)整哭尝。從整數(shù)除法→分?jǐn)?shù)除法→小數(shù)除法。需要將分?jǐn)?shù)除法安排在小數(shù)除法之前剖煌，同時(shí)在小數(shù)意義的學(xué)習(xí)中材鹦，補(bǔ)充從運(yùn)算的角度來(lái)認(rèn)識(shí)小數(shù)，在整數(shù)除以整數(shù)不能整除的情況下耕姊，商要產(chǎn)生小數(shù)桶唐。在分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)中，加強(qiáng)分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系的教學(xué)箩做。一欄用分?jǐn)?shù)表示整數(shù)除以整數(shù)的結(jié)果，二來(lái)滲透整數(shù)除法于成倒數(shù)的關(guān)系妥畏。例如8÷4=8×1/4=8/4=2邦邦，它滲透的代數(shù)思想是：a÷b=a×1/b。
? ? ? 在這種整體思路下醉蚁，需要關(guān)注并解決幾個(gè)問(wèn)題燃辖。首先，我們要借助具體的情境网棍，幫助學(xué)生體會(huì)整數(shù)除法于乘倒數(shù)的關(guān)系黔龟。我們知道分?jǐn)?shù)的意義是豐富的，在第一次接觸分?jǐn)?shù)時(shí)滥玷，我們對(duì)他的理解是可以作為除法的商氏身，通過(guò)與具體情境的平均分物過(guò)程建立聯(lián)系，讓學(xué)生體會(huì)分?jǐn)?shù)作為數(shù)的意義惑畴。理解分?jǐn)?shù)也可以用計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)進(jìn)行表達(dá)蛋欣。例如，我們知道把一個(gè)月餅平均分成四份每份是四分之一如贷，取其中的三份得到的就是四分之三陷虎，這就是利用分?jǐn)?shù)，作為數(shù)的意義來(lái)理解分?jǐn)?shù)杠袱，可以用計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)進(jìn)行表達(dá)尚猿。怎樣幫助學(xué)生理解除以一個(gè)不為零的數(shù)等于成這個(gè)數(shù)的倒數(shù)呢，例如8÷4可以表示把8塊糖楣富，平均分給4個(gè)人凿掂，每人得到2塊，也可以先分1塊糖纹蝴，每人分得四分之一塊缠劝，結(jié)果就是8個(gè)四分之一潮梯，也是兩塊糖。簡(jiǎn)單的算是蘊(yùn)涵著代數(shù)推理的過(guò)程惨恭。在20228新課標(biāo)例16的表述中強(qiáng)調(diào)秉馏，根據(jù)除法是乘法的逆運(yùn)算，要想知道8÷4＝（）就等價(jià)于8=（）×4脱羡。根據(jù)等式的基本性質(zhì)萝究，兩邊同時(shí)乘以四分之一，等量的等量相等锉罐，從而推理出除以一個(gè)不為0的數(shù)就等于成這個(gè)數(shù)的倒數(shù)帆竹。
? ? ? 其次，通過(guò)代數(shù)推理脓规，理解分?jǐn)?shù)除法的算理
? ? ? 在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)栽连，除法之前，已經(jīng)具備的背景知識(shí)侨舆，要整數(shù)除法的知識(shí)基礎(chǔ)和分?jǐn)?shù)意義分?jǐn)?shù)乘法基礎(chǔ)秒紧。鼓勵(lì)學(xué)生把位置轉(zhuǎn)化成已知。挨下，也就是說(shuō)熔恢，讓學(xué)生遷移上面提到的整數(shù)除法可以看成乘除數(shù)的倒數(shù)，從而把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)乘法臭笆，但這些需要借助前面的研究經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行推理叙淌。逆運(yùn)算是整個(gè)推理驗(yàn)證關(guān)鍵的第一步，讓學(xué)生自然地聯(lián)想到逆運(yùn)算也是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)愁铺，所以需要我們?cè)诔B(tài)課中對(duì)逆運(yùn)算加以關(guān)注鹰霍，比如在低年級(jí)的一圖三式、想加算減茵乱、乘法口訣求商衅谷、逆運(yùn)算的驗(yàn)算中，進(jìn)行逆運(yùn)算意識(shí)的滲透似将。這于2022版新課標(biāo)在第一學(xué)段的學(xué)業(yè)要求中提到的知道減法是加法的逆運(yùn)算获黔、除法是乘法的逆運(yùn)算相一致。具體怎么做呢在验？必要時(shí)我們可以把分?jǐn)?shù)除法放在一個(gè)具體的有趣的情境之中玷氏，激發(fā)學(xué)生們的求知欲，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)腋舌，可以從除以分?jǐn)?shù)開(kāi)始盏触，推理解決分?jǐn)?shù)，除法的一般算法及成倒數(shù)，也可以鼓勵(lì)學(xué)生解決分?jǐn)?shù)赞辩，除以整數(shù)的問(wèn)題雌芽，借助平均分在認(rèn)識(shí)和理解，也就是平均分成幾份就是成幾分之一辨嗽，然后再利用代數(shù)推理進(jìn)行推導(dǎo)世落，讓學(xué)生體會(huì)推理過(guò)程。
? ? ? 最后同化小數(shù)除法糟需，獲得通法
? ? 通過(guò)前面分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法的代數(shù)推理屉佳。我們可以將小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)除法，從而實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)洲押、小數(shù)除法運(yùn)算一致性武花。比如我們求兩個(gè)小數(shù)相除時(shí)，可以將小數(shù)先轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)杈帐，再利用分?jǐn)?shù)乘一個(gè)不為0的數(shù)等于乘以它的倒數(shù)來(lái)進(jìn)行計(jì)算体箕。
? ? 〈二〉將小數(shù)除法和分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法
? ? ? 在這種整體是樓下需要關(guān)注三個(gè)問(wèn)題：一是如何遷移單位細(xì)分的經(jīng)驗(yàn)，解決除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法挑童？二師能否驗(yàn)證商不變累铅，規(guī)律的正確性？三是如何幫助學(xué)生將分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法炮沐，感悟運(yùn)算的一致性争群？
? ? ? 遷移計(jì)數(shù)單位細(xì)分的經(jīng)驗(yàn)回怜，解決除數(shù)是整數(shù)的情況大年。在學(xué)習(xí)小說(shuō)之前，已經(jīng)有了整數(shù)除法的經(jīng)驗(yàn)玉雾，因此翔试，我們可以把之前學(xué)習(xí)的整數(shù)除法的經(jīng)驗(yàn)，遷移到小數(shù)除法上臺(tái)复旬，教材中的安排是把小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)來(lái)解決垦缅，對(duì)于除數(shù)是整數(shù)的情況，最開(kāi)始是通過(guò)元驹碍、角壁涎、分的現(xiàn)實(shí)原型以及直觀圖來(lái)體會(huì)除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計(jì)算。當(dāng)有余數(shù)時(shí)志秃，需要將余數(shù)的技術(shù)單位進(jìn)行細(xì)分怔球，然后繼續(xù)處下去，比如97÷2浮还，商48余1竟坛。此時(shí)可以江陰分為10個(gè)0.1 ，將0.1在平均分成兩份，結(jié)果是五個(gè)0.1就是0.5担汤，所以97÷2等于48.5涎跨。實(shí)際上計(jì)數(shù)單位細(xì)分的想法與整數(shù)除法是一致的。
? ? ? 鼓勵(lì)學(xué)生在說(shuō)說(shuō)理中崭歧，驗(yàn)證商不變規(guī)律? ? ? 隅很。當(dāng)遇到除數(shù)是小數(shù)的情況是，通常的做法是利用商不變的規(guī)律驾荣，先將它轉(zhuǎn)化為除數(shù)是整數(shù)的除法來(lái)計(jì)算外构。因?yàn)閭蛔兊囊?guī)律是通過(guò)不完全歸納法得到的結(jié)論。為了加大驗(yàn)證的力度播掷，我們可以鼓勵(lì)學(xué)生借助運(yùn)算的意義审编，生活中的例子，畫圖等加以驗(yàn)證歧匈。商不變規(guī)律的推理過(guò)程如下：
除法→逆運(yùn)算→等式的基本性質(zhì)→逆運(yùn)算→等量的等量相等→商不變規(guī)律垒酬。
? ? 同化分?jǐn)?shù)除法，打破壁壘件炉，獲得通法勘究。有了小數(shù)，除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)斟冕，能夠自然而然地將分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法進(jìn)行計(jì)算口糕。因?yàn)樾?shù)除法和分?jǐn)?shù)除法在本質(zhì)上的差異性，在分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法的教學(xué)中磕蛇，我們需要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知水平景描。第一種嘗試是利用商不變的規(guī)律，將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)之后再進(jìn)行計(jì)算秀撇。這是大多數(shù)學(xué)生能夠理解的分?jǐn)?shù)超棺，除法裝化整數(shù)除法的運(yùn)算方法。還可以利用商不變的規(guī)律將除數(shù)變?yōu)?呵燕，來(lái)驗(yàn)證棠绘，除以一個(gè)不為零的數(shù)就等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。
? ? ? 202版課標(biāo)非常強(qiáng)調(diào)再扭，數(shù)學(xué)課程的整體性和一致性氧苍。小學(xué)階段屬于代數(shù)領(lǐng)域的整體性和一致性，主要就表現(xiàn)在數(shù)概念本質(zhì)的一致性和運(yùn)算本質(zhì)的一致性泛范。昨天梳理了數(shù)概念本質(zhì)的一致性让虐，今天重點(diǎn)梳理的是小數(shù)，除法和分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算一致性的探討敦跌。這中間空缺的部分是整數(shù)加法澄干、小數(shù)加法和分?jǐn)?shù)加法算理和算法之間的一致性前鹅。我理解的是它們的加減法就是相同計(jì)數(shù)單位的加或減裸弦，在教學(xué)中辐啄，要滲透計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的重要作用吵瞻。（圖解）
? ? ? 提出運(yùn)算一致性的目的是使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性和聯(lián)系，加深對(duì)算命的理解从媚，從而發(fā)展運(yùn)算能力和推理意識(shí)逞泄。運(yùn)算一致性的教學(xué)，不適合放在新授課中進(jìn)行系統(tǒng)的講解拜效，最適合放在總復(fù)習(xí)中將不同的運(yùn)算進(jìn)行勾臉喷众。最重要的是要設(shè)計(jì)出適合學(xué)生情境的活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生探索不同運(yùn)算之間的聯(lián)系紧憾。
