對(duì)于普通人项玛，即使他們不愿接受嚴(yán)肅靜穆的數(shù)學(xué)體系，僅僅依靠一些數(shù)學(xué)常識(shí)耳奕，也足以培養(yǎng)抽象的思維方法。
模型
科學(xué)和數(shù)學(xué)的結(jié)合能讓我們預(yù)測(cè)事物的發(fā)展趨勢(shì)诬像。通常來說屋群，科學(xué)理論并不是直接應(yīng)用在現(xiàn)實(shí)世界中，而是應(yīng)用在數(shù)學(xué)模型上坏挠。模型是所要研究的那部分世界的一種虛構(gòu)的芍躏，簡(jiǎn)化的版本。對(duì)于一種給定的物理情形降狠，有多種方法將其模型化对竣。我們通常需要結(jié)合切近的經(jīng)驗(yàn)與深入的理論考量來決定，哪種模型更有可能向我們透露世界的本真榜配。在設(shè)計(jì)模型的時(shí)候否纬，我們會(huì)忽視所考察的現(xiàn)象中盡可能多的信息，從中僅僅抽象出那些對(duì)理解其行為必不可少的特征蛋褥。
數(shù)與抽象
數(shù)的概念與算術(shù)運(yùn)算緊密相連临燃。一個(gè)數(shù)系由數(shù)字和算術(shù)規(guī)則共同構(gòu)成。數(shù)字可以看作是計(jì)數(shù)符號(hào)烙心。對(duì)于數(shù)膜廊，抽象的觀點(diǎn)很重要，只要數(shù)系邏輯自洽弃理，那么數(shù)系就是合理的溃论。在數(shù)的歷史上屎蜓，我們憑借抽象的思維添加零痘昌，分?jǐn)?shù)，負(fù)數(shù)，無理數(shù)辆苔，復(fù)數(shù)等等來擴(kuò)充數(shù)系算灸。盡管人們可能不太能接受新的數(shù)的出現(xiàn)，但在實(shí)踐中驻啤，關(guān)于數(shù)和其他數(shù)學(xué)對(duì)象菲驴，數(shù)學(xué)家的感受并不重要，重要的只是它們所遵守的規(guī)則骑冗。數(shù)學(xué)史證明赊瞬，一種的數(shù)學(xué)構(gòu)造若是充分自然的，則基本上必能作為模型找到它的用途贼涩。抽象方法可以使我們將熟悉的概念擴(kuò)展到不熟悉的地方巧涧，并賦予新的意義。對(duì)于數(shù)學(xué)初學(xué)者來說遥倦，試圖具體地理解數(shù)會(huì)讓你感到困惑谤绳，但當(dāng)你應(yīng)用抽象方法學(xué)習(xí)使用規(guī)則時(shí)，概念的神秘性就消失了袒哥。
證明
數(shù)學(xué)家很少會(huì)對(duì)“似乎”這樣的用語感到滿意缩筛。他們需要的是證明，也就是能夠掃清一條論斷中所有疑點(diǎn)的論證堡称。反證法瞎抛，通過推出矛盾來證明。數(shù)學(xué)歸納法粮呢，證明無窮序列婿失。數(shù)學(xué)論證中的每一步都可以分解成更小的，小的步奏可以進(jìn)一步分解啄寡。但這樣的過程最終是終止的豪硅。最詳細(xì)的論證是，以普遍接受的公理開始挺物，僅通過最基本的邏輯原則一步步推進(jìn)懒浮，最終得到想要的結(jié)論。但其實(shí)识藤，沒有哪個(gè)數(shù)學(xué)家愿意費(fèi)時(shí)間這么干砚著。一般來說，數(shù)學(xué)論文由專業(yè)的人員審核痴昧，閱讀稽穆。因此，數(shù)學(xué)家們的證明過程赶撰，在不影響理解的情況下舌镶，可以省略一些熟悉的細(xì)節(jié)柱彻。
對(duì)于公理系統(tǒng)，重要的不是其真實(shí)性餐胀，而是自洽性和有用性哟楷。數(shù)學(xué)證明實(shí)際上是通過特定前提，得到特定的結(jié)論否灾。這些前提假設(shè)是否正確則是無相關(guān)的哲學(xué)問題卖擅。數(shù)學(xué)證明留下來的一個(gè)重要教訓(xùn)是，如果不去小心地證明你所說的話墨技，那你就有說錯(cuò)的危險(xiǎn)惩阶。但如果我們用一個(gè)積極的角度來看，如果確實(shí)努力去證明一個(gè)陳述扣汪，那你將能以全然不同而且更有意思的方式理解它窿凤。此外俗壹，在較高等的數(shù)學(xué)中兄墅，其中有一些定理看上去非常顯然匠抗，簡(jiǎn)直無須證明。但實(shí)際上紊遵，只有你能證明這些定理账千，它們才是顯然的。
極限和無窮
形式化的數(shù)學(xué)證明思想暗膜，即從少數(shù)幾條公理出發(fā)演繹推導(dǎo)出許多復(fù)雜的定理匀奏，可以追溯到歐幾里德。歐幾里得只用了五條公理就建立了幾何學(xué)的主要體系学搜，然而直到了二十世紀(jì)娃善，人們才認(rèn)識(shí)到這樣的思想可以應(yīng)用到整個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)。其困難在于無窮的概念瑞佩。
對(duì)于無窮小數(shù)聚磺，如何進(jìn)行運(yùn)算？加法和乘法都遇到了不少困難炬丸，必須加以修正瘫寝，來契合數(shù)字系統(tǒng)。在這里稠炬，數(shù)學(xué)家認(rèn)為0.99999……等于1焕阿。對(duì)于類似的無窮小數(shù)，解釋為：有一種規(guī)則首启，對(duì)于任意n暮屡，它能夠切實(shí)地給出x的前n位數(shù)字。一個(gè)無窮小數(shù)是一列有限小數(shù)的極限毅桃。
維度
高等數(shù)學(xué)的大部分內(nèi)容高于三維褒纲。人們會(huì)感到奇怪愁溜，因?yàn)槲覀冎車鷽]有高于三維的東西。對(duì)于高維數(shù)學(xué)外厂，最好用抽象角度來理解，只要思考的數(shù)學(xué)概念和體系是自洽的代承。通過笛卡爾坐標(biāo)系的啟示汁蝶，我們用坐標(biāo)語言來描述高維幾何，并且可以合情合理將點(diǎn)面線體等概念擴(kuò)展到高維论悴。盡管高維空間很難圖像化掖棉，通過訓(xùn)練，我們依然可以想象高維幾何的圖像膀估。高維幾何在經(jīng)濟(jì)學(xué)中很重要幔亥，我們可以把各種信息看作維度，通過分析察纯，給出可行的空間區(qū)域帕棉。
幾何
《幾何原本》是最具影響的數(shù)學(xué)書，其公理化的思想可以讓歐幾里得比肩現(xiàn)代數(shù)學(xué)家饼记。歐幾里得只用了五條公理建造了全部的幾何學(xué)香伴，深深塑造了人們看待幾何學(xué)的觀點(diǎn)。歐幾里得證明了三角形內(nèi)角和是180度具则。在那個(gè)時(shí)候即纲，很多人懷疑這個(gè)結(jié)論，甚至動(dòng)手測(cè)量山峰的夾角博肋。但其實(shí)低斋，歐幾里得的論證是對(duì)的，懷疑其結(jié)論的正確性匪凡，其實(shí)是懷疑公理的正確性膊畴。三角形內(nèi)角和的結(jié)論依賴平行公理。平行公理比較復(fù)雜病游，涉及無窮的概念巴比。人們嘗試用其他四個(gè)公理證明這個(gè)公理，但其間都包含復(fù)雜的隱含假設(shè)礁遵。
將隱含假設(shè)明確表達(dá)出來的一個(gè)好辦法是轻绞，是在不同的情形下檢查同樣的論證。在雙曲幾何下佣耐，其他四個(gè)公理成立政勃，而平行公理不在成立。這告訴我們平行公理無法被其他四個(gè)公理證明兼砖。此外奸远，我們已經(jīng)了解我們所在時(shí)空是彎曲的既棺，在這個(gè)時(shí)候，雙曲幾何可能是更加符合的空間數(shù)學(xué)模型懒叛。
估計(jì)和近似
大多數(shù)認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門精確的學(xué)科丸冕，其實(shí)，估計(jì)和近似在數(shù)學(xué)中處處都是薛窥。近似不是隨意的胖烛，明確什么才算是較好的近似很重要。素?cái)?shù)定理是一個(gè)好的近似的定理诅迷。首先對(duì)素?cái)?shù)設(shè)計(jì)一種概率模型佩番，接著，假設(shè)素?cái)?shù)是隨機(jī)產(chǎn)生的罢杉，然后求證有哪些論斷是正確的趟畏，最后說明模型足夠顯示，能夠保證你的猜測(cè)近似準(zhǔn)確滩租。
番外
很多人認(rèn)為數(shù)學(xué)是依賴天賦的事情赋秀。天才是個(gè)糟糕的詞匯，大家認(rèn)為天才可以輕易做好別人很難做到的事情律想。然而沃琅，天才并不總是成功的數(shù)學(xué)家。很多數(shù)學(xué)家確實(shí)功績(jī)斐然蜘欲，但并不是無法解釋益眉。很多時(shí)候他們靠的是非凡的勇氣，堅(jiān)定和耐心姥份，對(duì)他人完成的艱難工作的廣泛了解郭脂，在正確時(shí)間專攻正確領(lǐng)域的運(yùn)氣和杰出的戰(zhàn)略性眼光。數(shù)學(xué)并不與天賦矛盾澈歉，但并不總是伴隨著天賦展鸡。
