什么是仿射變換刁标？
仿射變換定義為一個(gè)線性變換加上平移變換。即：
%20%3D%20f(%5Cvec%20v)%20%2B%20%5Cvec%20b)
仿射變換的矩陣表示
![g(\vec v) = [x, y, z] \cdot \begin{bmatrix} f(\vec i) \\ f(\vec j) \\ f(\vec k) \end{bmatrix} + \vec b](https://math.jianshu.com/math?formula=g(%5Cvec%20v)%20%3D%20%5Bx%2C%20y%2C%20z%5D%20%5Ccdot%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20f(%5Cvec%20i)%20%5C%5C%20f(%5Cvec%20j)%20%5C%5C%20f(%5Cvec%20k)%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%2B%20%5Cvec%20b)
這里址晕，我們要對(duì)向量)
轉(zhuǎn)換為齊次坐標(biāo))
膀懈，同樣變換后的%20%3D%20(x'%2C%20y'%2C%20z'%2C%20w))
也是齊次坐標(biāo)。從而有：
![\begin{align*} g(\vec v) &= [x, y, z, w] \cdot \begin{bmatrix} f(\vec i) & 0 \\ f(\vec j) & 0 \\ f(\vec k) & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + [x, y, z, w] \cdot \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \vec b & 1 \end{bmatrix} \\ &= [x, y, z, w] \cdot \begin{bmatrix} f(\vec i) & 0 \\ f(\vec j) & 0 \\ f(\vec k) & 0 \\ \vec b & 1 \end{bmatrix} \end{align*}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cbegin%7Balign*%7D%20g(%5Cvec%20v)%20%26%3D%20%5Bx%2C%20y%2C%20z%2C%20w%5D%20%5Ccdot%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20f(%5Cvec%20i)%20%26%200%20%5C%5C%20f(%5Cvec%20j)%20%26%200%20%5C%5C%20f(%5Cvec%20k)%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%200%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%2B%20%5Bx%2C%20y%2C%20z%2C%20w%5D%20%5Ccdot%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%200%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%200%20%5C%5C%200%20%26%200%20%5C%5C%20%5Cvec%20b%20%26%201%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Bx%2C%20y%2C%20z%2C%20w%5D%20%5Ccdot%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20f(%5Cvec%20i)%20%26%200%20%5C%5C%20f(%5Cvec%20j)%20%26%200%20%5C%5C%20f(%5Cvec%20k)%20%26%200%20%5C%5C%20%5Cvec%20b%20%26%201%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%5Cend%7Balign*%7D)
對(duì)于向量而言谨垃，
分量為0启搂，因?yàn)槠揭茖?duì)向量不起作用，對(duì)于點(diǎn)而言刘陶，分量為1胳赌。
坐標(biāo)系變換
在實(shí)際運(yùn)用中經(jīng)常遇到一個(gè)向量或者一個(gè)點(diǎn)在不同坐標(biāo)系下的坐標(biāo)表示。先來看看向量的情形：
對(duì)于向量
易核，它在坐標(biāo)系
下的坐標(biāo)為)
匈织，求在坐標(biāo)系
下的坐標(biāo))
。
實(shí)際上牡直，無論坐標(biāo)系如何變化缀匕，向量自身是不變的，那么我們有：
寫成矩陣形式：
![[x',y',z'] = [x,y,z] \cdot \begin{bmatrix} \vec i_A \\ \vec j_A \\ \vec k_A \end{bmatrix}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Bx'%2Cy'%2Cz'%5D%20%3D%20%5Bx%2Cy%2Cz%5D%20%5Ccdot%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Cvec%20i_A%20%5C%5C%20%5Cvec%20j_A%20%5C%5C%20%5Cvec%20k_A%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
其中碰逸，
是坐標(biāo)系的基向量在坐標(biāo)系的表示饵史。類似地满钟，反過來也可以得到：
![[x,y,z] = [x',y',z'] \cdot \begin{bmatrix} \vec i_B \\ \vec j_B \\ \vec k_B \end{bmatrix}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Bx%2Cy%2Cz%5D%20%3D%20%5Bx'%2Cy'%2Cz'%5D%20%5Ccdot%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Cvec%20i_B%20%5C%5C%20%5Cvec%20j_B%20%5C%5C%20%5Cvec%20k_B%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
其中，
是坐標(biāo)系的基向量在坐標(biāo)系的表示。這里吭露，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：坐標(biāo)系的基向量在坐標(biāo)系的矩陣表示乘以坐標(biāo)系的基向量在坐標(biāo)系的矩陣表示得到的是單位矩陣吠撮。即：
我們可以用三角函數(shù)的方法去證明它。
然后我們來看看點(diǎn)的情形讲竿。對(duì)于點(diǎn)
泥兰，它在坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為，求在坐標(biāo)系下的坐標(biāo)题禀。容易知道結(jié)果是類似的：
其中
為坐標(biāo)系的原點(diǎn)坐標(biāo)鞋诗。寫成矩陣形式：
![[x',y',z', 1] = [x,y,z, 1] \cdot \begin{bmatrix} \vec i_A & 0 \\ \vec j_A & 0 \\ \vec k_A & 0 \\ \vec o_A & 1 \end{bmatrix}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Bx'%2Cy'%2Cz'%2C%201%5D%20%3D%20%5Bx%2Cy%2Cz%2C%201%5D%20%5Ccdot%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Cvec%20i_A%20%26%200%20%5C%5C%20%5Cvec%20j_A%20%26%200%20%5C%5C%20%5Cvec%20k_A%20%26%200%20%5C%5C%20%5Cvec%20o_A%20%26%201%20%5Cend%7Bbmatrix%7D)
其中，
是坐標(biāo)系的基向量和原點(diǎn)在坐標(biāo)系的表示。
