三維卷積（Convolutions over volumes）
在上面筆記中你已經(jīng)知道如何對(duì)二維圖像做卷積了累澡，現(xiàn)在看看如何執(zhí)行卷積不僅僅在二維圖像上苛败，而是三維立體上。
我們從一個(gè)例子開始，假如說你不僅想檢測(cè)灰度圖像的特征级遭，也想檢測(cè)RGB彩色圖像的特征。彩色圖像如果是6×6×3渺尘，這里的3指的是三個(gè)顏色通道挫鸽，你可以把它想象成三個(gè)6×6圖像的堆疊。為了檢測(cè)圖像的邊緣或者其他的特征鸥跟，不是把它跟原來的3×3的過濾器做卷積丢郊，而是跟一個(gè)三維的過濾器，它的維度是3×3×3医咨，這樣這個(gè)過濾器也有三層枫匾，對(duì)應(yīng)紅綠、藍(lán)三個(gè)通道拟淮。
給這些起個(gè)名字（原圖像）干茉，這里的第一個(gè)6代表圖像高度，第二個(gè)6代表寬度很泊，這個(gè)3代表通道的數(shù)目角虫。同樣你的過濾器也有高，寬和通道數(shù)撑蚌，并且圖像的通道數(shù)必須和過濾器的通道數(shù)匹配上遥，所以這兩個(gè)數(shù)（紫色方框標(biāo)記的兩個(gè)數(shù)）必須相等。下個(gè)幻燈片里争涌，我們就會(huì)知道這個(gè)卷積操作是如何進(jìn)行的了粉楚，這個(gè)的輸出會(huì)是一個(gè)4×4的圖像，注意是4×4×1，最后一個(gè)數(shù)不是3了模软。
我們研究下這背后的細(xì)節(jié)伟骨，首先先換一張好看的圖片。這個(gè)是6×6×3的圖像燃异，這個(gè)是3×3×3的過濾器携狭，最后一個(gè)數(shù)字通道數(shù)必須和過濾器中的通道數(shù)相匹配。為了簡(jiǎn)化這個(gè)3×3×3過濾器的圖像回俐，我們不把它畫成3個(gè)矩陣的堆疊逛腿，而畫成這樣，一個(gè)三維的立方體仅颇。
為了計(jì)算這個(gè)卷積操作的輸出单默，你要做的就是把這個(gè)3×3×3的過濾器先放到最左上角的位置，這個(gè)3×3×3的過濾器有27個(gè)數(shù)忘瓦，27個(gè)參數(shù)就是3的立方搁廓。依次取這27個(gè)數(shù)，然后乘以相應(yīng)的紅綠藍(lán)通道中的數(shù)字耕皮。先取紅色通道的前9個(gè)數(shù)字境蜕，然后是綠色通道，然后再是藍(lán)色通道凌停，乘以左邊黃色立方體覆蓋的對(duì)應(yīng)的27個(gè)數(shù)粱年，然后把這些數(shù)都加起來，就得到了輸出的第一個(gè)數(shù)字罚拟。
如果要計(jì)算下一個(gè)輸出逼泣，你把這個(gè)立方體滑動(dòng)一個(gè)單位，再與這27個(gè)數(shù)相乘舟舒，把它們都加起來，就得到了下一個(gè)輸出嗜憔，以此類推秃励。
那么，這個(gè)能干什么呢吉捶？舉個(gè)例子夺鲜，這個(gè)過濾器是3×3×3的，如果你想檢測(cè)圖像紅色通道的邊緣呐舔，那么你可以將第一個(gè)過濾器設(shè)為
和之前一樣币励，而綠色通道全為0，
珊拼，藍(lán)色也全為0食呻。如果你把這三個(gè)堆疊在一起形成一個(gè)3×3×3的過濾器，那么這就是一個(gè)檢測(cè)垂直邊界的過濾器，但只對(duì)紅色通道有用仅胞。
或者如果你不關(guān)心垂直邊界在哪個(gè)顏色通道里每辟，那么你可以用一個(gè)這樣的過濾器，
干旧，所有三個(gè)通道都是這樣渠欺。所以通過設(shè)置第二個(gè)過濾器參數(shù)，你就有了一個(gè)邊界檢測(cè)器椎眯，3×3×3的邊界檢測(cè)器挠将，用來檢測(cè)任意顏色通道里的邊界。參數(shù)的選擇不同编整，你就可以得到不同的特征檢測(cè)器舔稀，所有的都是3×3×3的過濾器。
按照計(jì)算機(jī)視覺的慣例闹击，當(dāng)你的輸入有特定的高寬和通道數(shù)時(shí)镶蹋，你的過濾器可以有不同的高，不同的寬赏半，但是必須一樣的通道數(shù)贺归。理論上，我們的過濾器只關(guān)注紅色通道断箫，或者只關(guān)注綠色或者藍(lán)色通道也是可行的拂酣。
再注意一下這個(gè)卷積立方體，一個(gè)6×6×6的輸入圖像卷積上一個(gè)3×3×3的過濾器仲义，得到一個(gè)4×4的二維輸出婶熬。
現(xiàn)在你已經(jīng)了解了如何對(duì)立方體卷積，還有最后一個(gè)概念埃撵，對(duì)建立卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)至關(guān)重要赵颅。就是，如果我們不僅僅想要檢測(cè)垂直邊緣怎么辦暂刘？如果我們同時(shí)檢測(cè)垂直邊緣和水平邊緣饺谬，還有45°傾斜的邊緣，還有70°傾斜的邊緣怎么做谣拣？換句話說募寨，如果你想同時(shí)用多個(gè)過濾器怎么辦？
這是我們上一張幻燈片的圖片森缠，我們讓這個(gè)6×6×3的圖像和這個(gè)3×3×3的過濾器卷積拔鹰，得到4×4的輸出。（第一個(gè)）這可能是一個(gè)垂直邊界檢測(cè)器或者是學(xué)習(xí)檢測(cè)其他的特征贵涵。第二個(gè)過濾器可以用橘色來表示列肢，它可以是一個(gè)水平邊緣檢測(cè)器恰画。
所以和第一個(gè)過濾器卷積，可以得到第一個(gè)4×4的輸出例书，然后卷積第二個(gè)過濾器锣尉，得到一個(gè)不同的4×4的輸出。我們做完卷積决采，然后把這兩個(gè)4×4的輸出自沧，取第一個(gè)把它放到前面，然后取第二個(gè)過濾器輸出树瞭，我把它畫在這拇厢，放到后面。所以把這兩個(gè)輸出堆疊在一起晒喷，這樣你就都得到了一個(gè)4×4×2的輸出立方體孝偎，你可以把這個(gè)立方體當(dāng)成，重新畫在這凉敲，就是一個(gè)這樣的盒子衣盾，所以這就是一個(gè)4×4×2的輸出立方體。它用6×6×3的圖像爷抓，然后卷積上這兩個(gè)不同的3×3的過濾器势决，得到兩個(gè)4×4的輸出，它們堆疊在一起蓝撇，形成一個(gè)4×4×2的立方體果复，這里的2的來源于我們用了兩個(gè)不同的過濾器。
我們總結(jié)一下維度渤昌，如果你有一個(gè)n×n×n_c（通道數(shù)）的輸入圖像虽抄，在這個(gè)例子中就是6×6×3，這里的n_c就是通道數(shù)目独柑，然后卷積上一個(gè)f×f×n_c迈窟，這個(gè)例子中是3×3×3，按照慣例忌栅，這個(gè)（前一個(gè)n_c）和這個(gè)（后一個(gè)n_c）必須數(shù)值相同菠隆。然后你就得到了（n-f+1）×（n-f+1）×n_(c^' )，這里n_(c^' )其實(shí)就是下一層的通道數(shù)狂秘，它就是你用的過濾器的個(gè)數(shù)，在我們的例子中躯肌，那就是4×4×2者春。我寫下這個(gè)假設(shè)時(shí)，用的步幅為1清女，并且沒有padding钱烟。如果你用了不同的步幅或者padding，那么這個(gè)n-f+1數(shù)值會(huì)變化，正如前面的視頻演示的那樣拴袭。
這個(gè)對(duì)立方體卷積的概念真的很有用读第，你現(xiàn)在可以用它的一小部分直接在三個(gè)通道的RGB圖像上進(jìn)行操作。更重要的是拥刻，你可以檢測(cè)兩個(gè)特征怜瞒，比如垂直和水平邊緣或者10個(gè)或者128個(gè)或者幾百個(gè)不同的特征，并且輸出的通道數(shù)會(huì)等于你要檢測(cè)的特征數(shù)般哼。
對(duì)于這里的符號(hào)吴汪，我一直用通道數(shù)（n_c）來表示最后一個(gè)維度，在文獻(xiàn)里大家也把它叫做3維立方體的深度蒸眠。這兩個(gè)術(shù)語漾橙，即通道或者深度，經(jīng)常被用在文獻(xiàn)中楞卡。但我覺得深度容易讓人混淆霜运，因?yàn)槟阃ǔＲ矔?huì)說神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的深度。所以蒋腮，在這些筆記里我會(huì)用通道這個(gè)術(shù)語來表示過濾器的第三個(gè)維度的大小淘捡。
所以你已經(jīng)知道怎么對(duì)立方體做卷積了，你已經(jīng)準(zhǔn)備好了實(shí)現(xiàn)卷積神經(jīng)其中一層了徽惋，在下個(gè)筆記里讓我們看看是怎么做的
