- 概述
- 透視投影
- 正交投影
概述
計(jì)算機(jī)顯示器是一個(gè)2D平面拗踢。OpenGL渲染的3D場(chǎng)景必須以2D圖像方式投影到計(jì)算機(jī)屏幕上脚牍。GL_PROJECTION矩陣用于該投影變換。首先巢墅，它將所有定點(diǎn)數(shù)據(jù)從觀察坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到裁減坐標(biāo)诸狭。接著，這些裁減坐標(biāo)通過(guò)除以w分量的方式轉(zhuǎn)換到歸一化設(shè)備坐標(biāo)（NDC）君纫。
因此驯遇，我們需要記住一點(diǎn)：裁減變換（視錐剔除）與NDC變換都保存在GL_PROJECTION矩陣中。下述章節(jié)描述如何從6個(gè)限定參數(shù)（左蓄髓、右叉庐、下、上会喝、近平面陡叠、遠(yuǎn)平面）構(gòu)建投影矩陣。
注意肢执，視錐剔除（裁減）在裁減坐標(biāo)上執(zhí)行枉阵，并且在除以wc之前。裁減坐標(biāo)xc预茄、yc兴溜、zc會(huì)與wc做比較檢測(cè)。如果任一坐標(biāo)小于-wc或大于wc，則該頂點(diǎn)將會(huì)拋棄昵慌。
接著假夺，OpenGL重新構(gòu)建那些裁減掉的多邊形的邊。
透視投影
在透視投影中斋攀，截棱錐體（觀察坐標(biāo)）中的3D點(diǎn)會(huì)被映射到立方體（NDC）中已卷。x坐標(biāo)的范圍從[l,f]到[-1,1]，y坐標(biāo)的范圍從[b,t]到[-1,1]淳蔼，z坐標(biāo)的范圍從[n,f]到[-1,1]侧蘸。
注意，觀察坐標(biāo)為右手坐標(biāo)系鹉梨，NDC使用左手坐標(biāo)系讳癌。也就是說(shuō)，位于原點(diǎn)的照相機(jī)在觀察坐標(biāo)中看向-Z軸存皂，而在NDC中看向+Z軸晌坤。因?yàn)間lFrustum()只接收正的近平面與遠(yuǎn)平面距離值，我們需要在構(gòu)建GL_PROJECTION矩陣時(shí)對(duì)他們?nèi)》础?/p>
OpenGL中旦袋，觀察空間中的3D點(diǎn)被投影到近平面（投影平面）上骤菠。下圖展示觀察空間中的點(diǎn)(xe,ye,ze)如何投影到近平面上的點(diǎn)(xp,yp,zp)。
從視錐體的俯視圖看出疤孕，使用相似三角形比率計(jì)算方式將觀察空間的x坐標(biāo)xe被映射到xp商乎。
從視錐體的側(cè)視圖看出，yp也使用相同的方式計(jì)算出：
注意祭阀，xp與yp二者都依賴于ze鹉戚，它們與-ze成反比例。也就是說(shuō)专控，它們都被-ze除抹凳。這是構(gòu)建GL_PROJECTION矩陣的第一點(diǎn)提示。在觀察坐標(biāo)通過(guò)與GL_PROJECTION矩陣相乘變換之后踩官，裁減坐標(biāo)依舊是其次坐標(biāo)却桶。它最終通過(guò)除以裁減坐標(biāo)的w分量才變成歸一化設(shè)備坐標(biāo)（NDC）。（更詳細(xì)描述參考OpenGL變換蔗牡。）
因此颖系，我們可以將裁減坐標(biāo)的w分量設(shè)置為-ze。這樣辩越，GL_PROJECTION矩陣的第四行變?yōu)?0,0,-1,0)嘁扼。
接著，我們通過(guò)線性關(guān)系將xp與yp映射到NDC中的xn與yn：[l,r]=>[-1,1]黔攒，[b,t]=>[-1,1]趁啸。
然后,我們用上面的方程式替換xp與yp强缘。
注意，我們?yōu)橥敢暢ǎ▁c/wc, yc/wc）將每個(gè)等式相被-ze整除不傅。前面我們已經(jīng)將wc設(shè)置為-ze旅掂，大括號(hào)中的項(xiàng)為裁減坐標(biāo)中xc與yc。
從這個(gè)等式访娶，我們可以發(fā)現(xiàn)GL_PROJECTION矩陣的第一與第二行商虐。
現(xiàn)在，我們僅僅解決GL_PROJECTION矩陣的3行崖疤。由于觀察空間中的ze總是投影到近平面上的-n點(diǎn)秘车，zn的計(jì)算方法與其他坐標(biāo)的計(jì)算方法有稍許不同。不過(guò)我們需要唯一的z值來(lái)進(jìn)行裁剪與深度測(cè)試劫哼。此外叮趴，我們也會(huì)進(jìn)行逆投影（逆變換）操作。因?yàn)槿ㄉ眨覀冎纙并不依賴于x與y的值眯亦，我們借助w分量找尋zn與ze之間的關(guān)系。因此豪嚎，我們可以像這樣指定GL_PROJECTION矩陣的第三行：
在觀察空間搔驼，we等于1谈火。因此侈询，等式變?yōu)椋?/p>
為了計(jì)算系數(shù)A與B，我們使用(ze,zn)關(guān)系式(-n,-1)與(-f,1)糯耍，且將它們帶入到上述等式扔字。
為了求解A與B，重寫等式(1)：
將等式(1')帶入等式(2)温技，然后求解A：
將A帶入等式(1)中革为，求出B：
我們解出A與B。因此ze與zn的關(guān)系變?yōu)椋?/p>
最后舵鳞，我們解出GL_PROJECTION矩陣的所有元素震檩。完整的投影矩陣為：
該投影矩陣為通用截面體。如果視錐體為對(duì)稱的蜓堕，即r=-l且t=-b抛虏，則矩陣可簡(jiǎn)化為：
在開(kāi)始后面講述之前，請(qǐng)回顧ze與zn之間的關(guān)系：等式(3)套才。你會(huì)注意到它是一個(gè)有理數(shù)方程且ze與zn并非線性關(guān)系迂猴。也就是說(shuō)近平面具有非常高的精度，而遠(yuǎn)平面的精度很低背伴。如果[-n,-f]的范圍變得很大沸毁，會(huì)引起深度精度問(wèn)題（深度沖突）：遠(yuǎn)平面附近ze的小變化不會(huì)影響zn值峰髓。為了最小化深度緩存精度問(wèn)題，n與f的距離應(yīng)該盡可能小息尺。
正交投影
正交椎體與歸一化設(shè)備坐標(biāo)（NDC）
構(gòu)造正交投影的GL_PROJECTION矩陣比透視投影模式簡(jiǎn)單很多携兵。
觀察空間的xe、ye與ze分量都線性映射到NDC搂誉。我們只需將長(zhǎng)方體縮放為正方體眉孩，然后移動(dòng)它到原點(diǎn)。讓我們使用線性關(guān)系推導(dǎo)出GL_PROJECTION中的所有元素勒葱。
因?yàn)閷?duì)于正交投影并不需要w分量浪汪，GL_PROJECTION矩陣的第4行依舊為(0,0,0,1)。因此凛虽，正交投影完整的GL_PROJECTION矩陣為：
如果視錐體是對(duì)稱的（r=-l且t=-b）死遭，它可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化。
英文原文：http://www.songho.ca/opengl/gl_projectionmatrix.html
