有一個(gè)問題一直困擾著我铜邮，接受過嚴(yán)格數(shù)學(xué)訓(xùn)練的人仪召，會(huì)有什么不同？是什么樣的認(rèn)識(shí)讓他們與眾不同松蒜？現(xiàn)在扔茅，我大概有些了解了，是無窮秸苗，是牽涉三大數(shù)學(xué)危機(jī)的無限與可得召娜。
第一次數(shù)學(xué)危機(jī)起于公元前，討論的問題是惊楼，什么是數(shù)玖瘸，根號(hào)2是一個(gè)數(shù)嗎？如果數(shù)狹義地表示自然數(shù)1檀咙、2雅倒、3，及其比例1/3弧可、2/3蔑匣，那么根號(hào)2不是一個(gè)數(shù)。我們無法找到一個(gè)點(diǎn)棕诵，用自然數(shù)或者它們的比例裁良，來表示根號(hào)2。利用自然數(shù)的奇偶性校套，很容易證明這一點(diǎn)价脾。從先知的視角看，構(gòu)成有理數(shù)的自然數(shù)和自然比笛匙，只是數(shù)的一部分侨把。如果數(shù)指的是無理數(shù)或者實(shí)數(shù)，那么根號(hào)2就是一個(gè)數(shù)了膳算。這一次危機(jī)讓人們開始重新考慮，數(shù)的定義弛作。
古人之所以把根號(hào)2這樣的數(shù)叫做無理數(shù)涕蜂，是因?yàn)樗遣豢捎?jì)算的，無法和有理數(shù)一樣映琳，用基本的加減乘除演算下去机隙。他們感到不可理解蜘拉。直到19世紀(jì)下半葉，康托爾創(chuàng)立了集合論有鹿，發(fā)明了無窮可數(shù)序列這一技巧旭旭，一切才開始變得清晰起來。
最基本的無窮可數(shù)序列是自然數(shù)葱跋，其次是奇偶數(shù)持寄。如下面表示，
A: 1, 2, 3, 4, ...
B: 2, 4, 6, 8, ...
C: 1, 3, 5, 7, ...
所有無窮可數(shù)序列都可以這樣排列下去娱俺，并且和基本的自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)上稍味，就像數(shù)數(shù)一樣。由此引發(fā)了第一個(gè)無窮“悖論”荠卷，序列B模庐、C和序列A 具有相同的大小∮鸵耍可是掂碱，自然數(shù)是包括了奇偶數(shù)的。在有限情況下慎冤，10以內(nèi)的自然數(shù)明顯多于10以內(nèi)的偶數(shù)疼燥。但是在無限情況下，通過排列比對(duì)粪薛，無窮大以內(nèi)的自然數(shù)卻是等同于無窮大以內(nèi)的偶數(shù)悴了。這個(gè)反直覺的結(jié)論有多種可能性，也許是結(jié)論錯(cuò)了违寿，也許是大腦天生就不適應(yīng)無窮的存在湃交。之后，花了一代人的時(shí)間藤巢，人們才完全接受了它搞莺，把自然數(shù)的存在，作為無窮公理掂咒。
無窮可數(shù)序列的核心是自然數(shù)和一一對(duì)應(yīng)才沧。如果再加上收斂性，那么它就變成了無窮可數(shù)的收斂序列绍刮。這種極限收斂性温圆，是在第二次數(shù)學(xué)危機(jī)中，為解決微積分的無窮小問題而產(chǎn)生的孩革。它本質(zhì)是數(shù)0岁歉。
A: 1, 2, 3, 4, ...
O: 0, 0, 0, 0, ...
D: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...
序列A的末端是無窮大，序列O的末端是0膝蜈，序列D的末端是無窮小锅移。序列D是最簡(jiǎn)單的收斂序列熔掺，它收斂到0。如果在平面坐標(biāo)圖上畫出來非剃，序列D是無限逼近序列O的置逻。由于這種內(nèi)在聯(lián)系，微積分有時(shí)也叫無窮小分析备绽。
到現(xiàn)在券坞，無理數(shù)的大門已經(jīng)踏進(jìn)了，因?yàn)闊o理數(shù)就是一條無窮可數(shù)的收斂序列疯坤。比如根號(hào)2报慕，
A: 1, 2, 3, 4, ...
E: 3/2, 17/12, 577/408, 665857/470832, ...
F: 9/4, 289/144, 332929/166464, 443365544449/221682772224, ...
G: 2, 2, 2, 2, ...
H: 1/4, 1/144, 1/166464, 1/221682772224, ...
通過比對(duì)，序列F是收斂于2的压怠，或者說序列F減去序列G眠冈，得到了一條類似于序列D的無窮小序列H，即序列F - 2 = 0菌瘫。又由于序列E的平方等于序列F蜗顽，所以序列E收斂到的極限不是其他，就是根號(hào)2雨让。
為什么序列E是收斂的雇盖？這由它的生成算法保證，
y = 1/x + x/2,
其中y是x的后繼栖忠。
其本質(zhì)上是求解方程
f(x) = x*x - 2 = 0.
讓g(x)=2*x表示f(x)的導(dǎo)數(shù)崔挖，再利用一階泰勒展開
f(y) = f(x) + g(x)*(y-x) = 0,
然后通過歸約，得到上述算法庵寞。這種算法收斂速度很快狸相，在數(shù)值分析中叫切線法，在最優(yōu)化中叫牛頓法捐川。因?yàn)樯伤惴ǖ墓街话訙p乘除基本運(yùn)算脓鹃，所以只要第一個(gè)數(shù)是有理數(shù)，所有的后繼數(shù)都是有理數(shù)古沥。這就是數(shù)學(xué)歸納原理瘸右，可數(shù)性的本義。
上面的構(gòu)造不是偶然岩齿，所有的無理數(shù)都可以表示成一條有理數(shù)序列太颤。也因此，受過嚴(yán)格數(shù)學(xué)訓(xùn)練的人盹沈，眼中的數(shù)不再是一個(gè)點(diǎn)龄章，而是一條線。這應(yīng)該就是最大的不同。
