Schwartz? 多重指標

Schwartz 多重指標

多重指標是由法國著名數(shù)學(xué)家 Laurent Schwartz 引入的, 這是一個非常方便的記號系統(tǒng)。

多重指標是數(shù)學(xué)中一種方便的表示法,它將指標中的單個整數(shù)推廣為多個整數(shù),它可以簡化多元微積分偏微分方程分布理論中的計算萧落,也便于操作冪級數(shù)


[TOC]


定義運算

一個n -維多重指標是一個由整數(shù)構(gòu)成的向量
\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)
設(shè) \alpha,\beta 為多重指標劳殖,我們定義
\alpha+\beta:=(\alpha_1\pm \beta_1,\alpha_2 \pm \beta_2,\dots,\alpha_n\pm \beta_n)\\ \alpha \leq \beta, \alpha_i \leq \beta_i, \forall i \in \{1,2,\dots,n\}\\ |\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+\dots+\alpha_n\\ \alpha !=\alpha_1!\alpha_2!\dots \alpha_n! \\

\binom{\alpha}{\beta}=\frac{\alpha!}{(\alpha-\beta)!\beta!}=\binom{\alpha_1}{\beta_1}\binom{\alpha_2}{\beta_2}\cdots \binom{\alpha_n}{\beta_n}

x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\\ x^{\alpha}=x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}\\ \part^{\alpha}=\part_1^{\alpha_1}\part_2^{\alpha_2} \cdots \part_n^{\alpha_n}\\ \part_i^{j}=\frac{\part_i}{\part x_{i}^{j}}

應(yīng)用范圍

多元微積分

多重指標可以將單變元微積分的許多結(jié)果直接推廣到多變元铐尚。以下是幾個例子:

多元冪級數(shù):有兩個以上變元的冪級數(shù)通常寫成
\sum_{\alpha}a_{\alpha}x^{\alpha}, x=(x_1,x_2,\cdots,x_n) \in \mathbb{R}^n
多項展開

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萊布尼茨公式

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泰勒展開式

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其實這不外是定義,多元指標在此提供了簡練的表示法哆姻。

對于存在夠高階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)宣增,我們也有帶余項的泰勒展開式:

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偏微分算子

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偏微分算子

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分部積分

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支集

光滑函數(shù)

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此公式用以定義分布弱導(dǎo)數(shù)。 [1]

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