簡諧運動到混沌—研究線性與非線性情況下的運動
摘要：
本文采用Euler-Cromer法模擬線性與非線性情況下物體的運動情況，包括理想擺罗心、驅動擺以及物理擺退腥。通過對改變不同參數(shù)的研究，比較了簡諧擺竖共、驅動擺和物理擺的物理結果，尤其是在驅動力大小不同時結果的變化俺祠。
關鍵詞：單擺 驅動力 混沌效應
一公给、簡介
一般用于研究物理問題的數(shù)學方法為Euler法借帘，即簡單地用前一步的狀態(tài)通過遞推關系得到現(xiàn)在的狀態(tài)，然后再繼續(xù)作用下去淌铐，直到得到所需要的數(shù)值為止肺然。然而，當研究周期性變化的諧振模型時腿准，會發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的能量明顯不會守恒际起，反而會隨時間的增加而增加，這并不是說僅僅只是在這種情況下Euler法失效吐葱，其實在其他的情況下也會有能量不守恒的情況發(fā)生街望，只是在相對量級上來說可以忽略罷了。
因此弟跑，我們改用其他方法來研究這種情況下的模型灾前，即Euler-Cromer法，這種方法與Euler法唯一不同之處就是用現(xiàn)在時刻的角速度值代入遞推公式得到現(xiàn)在時刻的角度值窖认，這樣就發(fā)現(xiàn)問題解決了豫柬，我們可以在這種方法背景下研究本文所討論的問題了。
二扑浸、正文
1烧给、理想擺
我們選取的對象為單擺，若其振幅角度很小喝噪，很容易就得到它的微分運動方程：
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這是一個二階的常微分方程础嫡，求得它的通解為
可以發(fā)現(xiàn)，物體運動確實為周期性運動酝惧，并不發(fā)生振幅大小的變化榴鼎。
2、衰減擺
衰減擺是在考慮系統(tǒng)的摩擦之后所產(chǎn)生的運動現(xiàn)象晚唇。摩擦的來源可能來自繩子與結點的能量耗散巫财，也可能來自于空氣的阻力等等。大多數(shù)情況下哩陕，我們都認為衰減力的大小與速度成正比平项，所以就有衰減擺的微分運動方程：
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這是一個含有一次項的常微分方程，它的通解為
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各參數(shù)取值如之前悍及，改變q值闽瓢，得到運動圖像為
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從圖中看出,
q值比較小時，物體的振幅隨時間增長慢慢衰減心赶，最后為
0扣讼；
q值較大時，衰減項作用比較大缨叫，在較短的時間里就衰減到0
椭符。
3荔燎、驅動擺
我們再考慮增加驅動力之后的運動形式，通常認為驅動力的大小是與時間成正弦關系艰山，得到微分運動方程：
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驅動力可以為系統(tǒng)增加能量湖雹，保持物體能夠長時間運動下去。我們能得到它的解析解：
4曙搬、物理擺中的混沌現(xiàn)象
初始角度較大時，我們將小角度近似鸽嫂，在仍然考慮驅動力及摩擦的情況下纵装，我們有如下微分運動方程：
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這是一個非線性常微分方程，求解它的解析解是非常困難的据某，我們只能用數(shù)值計算的方法模擬物體的運動
當 Fd=0 時橡娄，物體很快衰減到靜止；當 Fd比較小時癣籽，在經(jīng)歷一小段時間的衰減之后挽唉，便會做簡諧運動；當Fd 比較大時筷狼，如圖中取 1.2時瓶籽，會有讓我們感興趣的情況發(fā)生：物體運動變得隨機而且雜亂無章了，甚至是不可預測的埂材，但是由我們之前的微分運動方程看來塑顺，它的運動方程應該是可以確定的，否則我們怎么由數(shù)值方法計算呢俏险？我們只能做一個大膽的猜想：它的行為同時是可決定的也是不可預測的严拒。
我們考慮那個微分方程解的穩(wěn)定性，盡管我們沒有將其解出來竖独，我們可以模擬兩個完全相同的擺裤唠，擺長及摩擦項完全相同，只有初始的角度稍微不同莹痢，各參數(shù)大小取值如前面的模擬條件,得到如下圖像
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我們看到 Fd較小時种蘸， theta隨著時間是穩(wěn)定而又快速減小的，到最后格二，這兩個擺的運動就會完全一樣劈彪，這也就是說這種運動是可以預測的，即使有些情況下你不知道其中一個的初始角度顶猜，你也可以通過另外一個的運動規(guī)律預測這個擺的運動規(guī)律沧奴；當 Fd 比較大時， theta隨著時間變化急劇增大长窄，并且毫無規(guī)律可言滔吠，當開始時纲菌，兩擺非常接近，但是軌跡差異馬上隨指數(shù)變化疮绷。
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Fd較小時翰舌，擺在相空間中很快就進入一個標準的橢圓軌道，最后軌道與初始條件是無關的冬骚；
Fd比較大時椅贱，相空間中的有許多不閉合軌道，盡管這個圖案不那么簡單只冻，但也不是完全隨機的庇麦。
三、結論
本文先從理想擺入手喜德，慢慢深入研究復雜情況下的擺的運動規(guī)律山橄，在拋棄小角度近似下，研究非線性條件下的擺的運動舍悯，得出簡諧與混沌之間的差別由驅動力大小決定這一結論航棱，并且在相空間中研究擺的運動規(guī)律，知道了混沌效應的確定性與不可預測性是同在的萌衬。
四饮醇、引用
1、Computational physics[2nd edition].Nicholas J.Giordano,Hisao Nakanishi.
2奄薇、Think Python.Allen B.Downey.
