2018-12-06 第十四章代數(shù)系統(tǒng)

14.1 二元運(yùn)算及其性質(zhì)

1.設(shè)S是一個(gè)非空集合房维，映射 $f:S^n\rightarrow S$ 稱為S上的一個(gè)n元運(yùn)算毁兆。

2.二元運(yùn)算：封閉的/可交換的/可結(jié)合的/冪等的

3. $\forall x,y,z\in S,x*(y·z) = (x*y)·(x * z)$ 且 $(y·z)*x = (y*x)·(z*x)$ ,則稱運(yùn)算*是關(guān)于·可分配的

4.*和·是可換運(yùn)算，且 $\forall x,y\in S,x*(y·z) = x$ 及 $x·(x * y) = x$ ，則稱運(yùn)算*和·滿足吸收律。

14.2代數(shù)系統(tǒng)的定義和特異元

1.一個(gè)非空集合S連同若干個(gè)定義在 S 上的運(yùn)算 $f_1,f_2,…,f_k$ 所組成的系統(tǒng)稱為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，記為 $<S,f_1,f_2,…,f_k>$ 津滞。

2.特異元。

3.設(shè) $<S灼伤，·>$ 是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)触徐，則

????①如果 $\exists e\in S$ 使 $\forall x\in S$ , $e\cdot x = x\cdot e = x$ ,則稱e為（代數(shù)系統(tǒng)）的幺元（或單位元）

????②如果存在 $\theta \in S$ ,使 $\forall x\in S$ $\theta · x = x · \theta = \theta$ ，則稱 $\theta$ 為系統(tǒng)的零元

????③ $a \in S$ ,如果a · a = a,則稱a是系統(tǒng)的冪等元狐赡。

4.設(shè)在代數(shù)系統(tǒng)中<S撞鹉，·>中，e是幺元，a是S中的一個(gè)元素鸟雏。如果存在 $b\in S$ 使得a·b=b·a=e享郊，則稱b是a的逆元，記為 $b = a^{-1}$ .

5.設(shè)<S孝鹊，·>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)炊琉。如果存在幺元，則幺元是唯一的又活；如果存在零元苔咪，則零元是唯一的；如果元a有逆元柳骄，且“·”可結(jié)合团赏，則逆元是唯一的。

6.設(shè)<S耐薯，·>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)舔清，則

????①當(dāng)“·”是封閉的，稱<S,·>為廣群可柿。

????②如果<S,·>是廣群鸠踪，且“·”是可結(jié)合運(yùn)算丙者，則稱<S复斥，·>是半群。

????③如果<S,·>是半群械媒，且存在幺元目锭，則稱<S,·>為含幺半群

????④如果<S,·>為含幺半群，且每個(gè)元素都有逆元纷捞，則稱<S痢虹，·>為群。

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