《費(fèi)馬大定理》
業(yè)余數(shù)學(xué)之王大筆一揮粥惧，讓人類(lèi)最有智慧的頭腦忙碌了358年。
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專(zhuān)業(yè)解讀人
韓正之匆绣。上海交通大學(xué)教授驻右、博士生導(dǎo)師、研究生院原常務(wù)副院長(zhǎng)崎淳。
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費(fèi)馬大定理說(shuō)的是什么堪夭？
數(shù)學(xué)家們?yōu)榱私忾_(kāi)這個(gè)謎題,都經(jīng)歷了什么？
為什么一個(gè)困惑智者358年的謎題拣凹，到20世紀(jì)末才解開(kāi)森爽？
書(shū)中金句
數(shù)學(xué)是由未知海洋中的一個(gè)個(gè)知識(shí)孤島組成的。
尋求費(fèi)馬大定理的證明牽動(dòng)了這個(gè)星球上最有才智的人們咐鹤，巨額的賞格拗秘，自殺性的絕望，黎明時(shí)的決斗祈惶。
到20世紀(jì)初，這個(gè)問(wèn)題依然在數(shù)論家的心目中占有特殊的地位扮匠，不過(guò)他們對(duì)待費(fèi)馬大定理就像化學(xué)家對(duì)待煉金術(shù)一樣捧请，兩者都是來(lái)自過(guò)去年代的荒謬和富有浪漫色彩的夢(mèng)。
精華筆記
一棒搜、費(fèi)馬與數(shù)學(xué)
費(fèi)馬的本職工作是大法官,不過(guò)把業(yè)余時(shí)間都用在鉆研數(shù)學(xué)上了疹蛉，所以被稱(chēng)為“業(yè)余數(shù)學(xué)之王”。
費(fèi)馬在數(shù)論領(lǐng)域成就頗豐力麸，他的主要課本是古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖寫(xiě)的《算術(shù)》可款。費(fèi)馬將自己推出的新結(jié)論寫(xiě)在這本書(shū)的空白處。不過(guò)克蚂，費(fèi)馬留在這本書(shū)旁邊的常常只是結(jié)論闺鲸，即使有證明也是含糊不清的。
費(fèi)馬去世后埃叭，他的兒子將父親遺作出版摸恍，尤其是對(duì)那本記載著費(fèi)馬眾多發(fā)現(xiàn)的《算術(shù)》整理出版。這本書(shū)共包括費(fèi)馬評(píng)注48個(gè)，其中第二個(gè)評(píng)注立镶，就是我們所說(shuō)的“費(fèi)馬大定理”壁袄。
費(fèi)馬的第二個(gè)評(píng)注，是寫(xiě)在畢達(dá)哥拉斯定理旁邊的媚媒。畢達(dá)哥拉斯定理也就是勾股定理嗜逻，直角三角形的兩條直角邊的平方的和等于斜邊的平方＄哉伲可以表達(dá)成? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
費(fèi)馬將畢達(dá)哥拉斯方程中的指數(shù)2改成3栈顷，試圖找它的解，沒(méi)有成功恼琼，改成4也無(wú)解妨蛹。于是在原書(shū)的問(wèn)題旁邊，費(fèi)馬寫(xiě)下了下面結(jié)論：
不可能將一個(gè)立方數(shù)寫(xiě)成兩個(gè)立方數(shù)之和晴竞；或者將一個(gè)4次冪寫(xiě)成兩個(gè)4次冪之和蛙卤；或者，總的說(shuō)來(lái)噩死，不可能將一個(gè)高于2次的冪寫(xiě)成兩個(gè)同樣次冪的和颤难。
最后一句話就是費(fèi)馬大定理。在這個(gè)注釋的旁邊已维，費(fèi)馬還加有一句充滿(mǎn)挑逗性的話：
我有一個(gè)對(duì)這個(gè)命題十分美妙的證明行嗤，這里空白太小，寫(xiě)不下垛耳。
費(fèi)馬提出的其他結(jié)論都陸續(xù)被后人證明栅屏，只有這個(gè)定理一拖到了1994年，因此也被稱(chēng)做“費(fèi)馬的最后定理”堂鲜，英文就是這樣寫(xiě)的：Fermat’s Last Theorem栈雳。
二、費(fèi)馬大定理證明進(jìn)展
第一個(gè)在費(fèi)馬大定理中取得進(jìn)展的科學(xué)家是歐拉缔莲。他從費(fèi)馬的遺作中發(fā)現(xiàn)哥纫，費(fèi)馬在那本帶評(píng)注的《算術(shù)》的另一個(gè)地方，隱約地證明了指數(shù)等于4的時(shí)候費(fèi)馬大定理是成立的痴奏。他用費(fèi)馬的無(wú)窮遞減法得到了指數(shù)等于3時(shí)的費(fèi)馬大定理的證明蛀骇。然而歐拉沒(méi)有能夠?qū)?duì)于4和3的證明推廣到一般情況。
法國(guó)的索菲?熱爾曼是一個(gè)對(duì)費(fèi)馬大定理做出重要貢獻(xiàn)的女性读拆。熱爾曼定義了一類(lèi)質(zhì)數(shù)擅憔，后人稱(chēng)為熱爾曼質(zhì)數(shù)。具體是：如果p和2p+1都是質(zhì)數(shù)建椰，那么這個(gè)p就是熱爾曼質(zhì)數(shù)雕欺。熱爾曼證明了一個(gè)結(jié)論，如果費(fèi)馬大定理中的n是一個(gè)熱爾曼質(zhì)數(shù)，那么方程的解(x,y,z)中至少有一個(gè)數(shù)是n的倍數(shù)屠列。她說(shuō)啦逆，這個(gè)結(jié)論使得費(fèi)馬方程“大概”沒(méi)有解。
熱爾曼對(duì)費(fèi)馬大定理的證明沒(méi)有進(jìn)一步的貢獻(xiàn)笛洛，但是狄利克雷和拉梅用熱爾曼的方法分別證明了夏志，指數(shù)是5和7時(shí)費(fèi)馬大定理成立。
在階段性勝利之后苛让，法國(guó)科學(xué)院為推進(jìn)費(fèi)馬大定理的證明設(shè)置了3000法郎的豐厚獎(jiǎng)金沟蔑。拉梅和另一位杰出的數(shù)學(xué)家柯西，倆人競(jìng)爭(zhēng)開(kāi)了狱杰。然而瘦材，德國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺柦o科學(xué)院寄了一封信，庫(kù)默爾指出拉梅和柯西的證明基礎(chǔ)都是錯(cuò)誤的仿畸。庫(kù)默爾的信件對(duì)當(dāng)時(shí)所有在研究費(fèi)馬大定理的人來(lái)說(shuō)都是巨大的打擊食棕，這些人都與拉梅和柯西一樣像是蒸發(fā)了。
1908年6月错沽，德國(guó)實(shí)業(yè)家保羅?沃爾夫斯凱爾簿晓，也是一位數(shù)學(xué)愛(ài)好者。他因?yàn)楸恍膼?ài)的姑娘拒絕而想到自殺千埃。距離設(shè)定的自殺時(shí)間還有幾小時(shí)憔儿，于是他找出庫(kù)默爾的文章讀起來(lái)。讀著讀著放可，沃爾夫斯凱爾突然發(fā)現(xiàn)庫(kù)默爾實(shí)際上做了一個(gè)假設(shè)谒臼，但是卻沒(méi)有說(shuō)明假設(shè)的合理性。沃爾夫斯凱爾一步一步地沿著庫(kù)默爾的思路重新證明耀里，希望找出庫(kù)默爾的錯(cuò)誤屋休，并建立正確的結(jié)論。
不知不覺(jué)地天亮了备韧，他錯(cuò)過(guò)了自己設(shè)定的自殺時(shí)間，但是證明了庫(kù)默爾的這點(diǎn)小漏洞是可以彌補(bǔ)的痪枫。沃爾夫斯凱爾為自己的這一結(jié)論感到十分得意织堂，生命的美好又呈現(xiàn)在面前，他撕碎了給朋友們的訣別信奶陈，并決定要設(shè)置獎(jiǎng)金推進(jìn)費(fèi)馬大定理的證明易阳。所以，后人又稱(chēng)費(fèi)馬大定理為救命大定理吃粒。
獎(jiǎng)金并沒(méi)有助力費(fèi)馬大定理的進(jìn)展潦俺，數(shù)學(xué)家們提供的往往都是負(fù)面的消息。
三、安德魯·懷爾斯
我們的主角事示，揭開(kāi)費(fèi)馬大定理謎底的人終于要登場(chǎng)了早像。安德魯·懷爾斯，1973年肖爵，他畢業(yè)于牛津大學(xué)默頓學(xué)院卢鹦，獲數(shù)學(xué)學(xué)士學(xué)位。隨后開(kāi)始了他在劍橋大學(xué)克萊爾學(xué)院的研究生學(xué)習(xí)生涯劝堪，導(dǎo)師是澳大利亞人約翰?科茨教授冀自。
科茨教授為懷爾斯制定了“橢圓曲線”的研究方向。懷爾斯研究的問(wèn)題是秒啦，橢圓方程有沒(méi)有整數(shù)解熬粗，和有多少組整數(shù)解。乍一看余境，除了整數(shù)這一點(diǎn)外驻呐，橢圓曲線問(wèn)題與費(fèi)馬大定理沒(méi)有什么關(guān)系。
戰(zhàn)后的日本經(jīng)濟(jì)慢慢復(fù)蘇葛超，1950年代中期暴氏，日本出了兩個(gè)杰出的年輕數(shù)學(xué)家：谷山和志村。他們?cè)诖髮W(xué)里相遇绣张，兩人研究了一種古怪的數(shù)學(xué)對(duì)象答渔，稱(chēng)為模形式，這是19世紀(jì)提出的一個(gè)新概念侥涵。它是與加減乘除并存的一種運(yùn)算形式沼撕，具有平移、旋轉(zhuǎn)芜飘、中心對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)务豺。
一個(gè)橢圓方程，一個(gè)模形式嗦明，看上去似乎是兩個(gè)相隔遙遠(yuǎn)的孤島笼沥。1955年，在東京舉行的一次國(guó)際性數(shù)學(xué)界的會(huì)議上娶牌，谷山提出：橢圓方程和模形式之間可能存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系奔浅。這個(gè)問(wèn)題后來(lái)就稱(chēng)為谷山-志村猜想。
谷山-志村猜想成為很多研究成果的基礎(chǔ)诗良，那些論文說(shuō)汹桦，如果谷山-志村猜想成立，那么我們就可以證明這樣那樣的結(jié)論鉴裹。其中有一個(gè)推斷是弗賴(lài)提出的舞骆，他將費(fèi)馬方程和橢圓方程聯(lián)系在一起了钥弯。弗賴(lài)說(shuō)，如果谷山-志村猜想是對(duì)的督禽，那么費(fèi)馬大定理就是對(duì)的脆霎。
在橢圓方程領(lǐng)域小有名氣的懷爾斯躍躍欲試了，那是1986年夏赂蠢，他已經(jīng)有資格在美國(guó)普林斯頓做研究了绪穆。懷爾斯決定做獨(dú)行大俠，他將自己封閉起來(lái)虱岂，不與別人討論玖院，也不想讓別人知道他在挑戰(zhàn)費(fèi)馬大定理。一來(lái)他是害怕不能最終解決費(fèi)馬大定理的證明而被貽笑大方第岖，二來(lái)怕別人利用他的成果捷足先登难菌。
懷爾斯花了18個(gè)月熟悉了這些年在橢圓方程和模形式的全部進(jìn)展，他決定采用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明蔑滓。一開(kāi)始郊酒，他的證明還是很順利的。直到1991年键袱，最后一步證明受阻燎窘。他碰到了導(dǎo)師科茨教授，無(wú)意中聽(tīng)到一種科利瓦金方法蹄咖。懷爾斯花了幾個(gè)月熟悉這種方法褐健，可惜他不熟悉其中的代數(shù)知識(shí)，萬(wàn)不得已澜汤，他只得向他的同事凱茲尋求幫助蚜迅。
1993年5月，在凱茲的幫助下俊抵，懷爾斯終于完成了最后證明谁不，他挑選6月在劍橋舉行的學(xué)術(shù)會(huì)議上宣布他的證明。懷爾斯宣布了自己已經(jīng)成功證明了費(fèi)馬大定理徽诲，劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)研究所的所長(zhǎng)甚至事先準(zhǔn)備好了香檳刹帕。當(dāng)懷爾斯說(shuō)到“我想我就在這里結(jié)束”時(shí)，會(huì)場(chǎng)爆發(fā)經(jīng)久不息的掌聲谎替。
好事注定是多磨的轩拨。按照沃爾夫凱斯?fàn)栠z囑的規(guī)定，懷爾斯的論文必須在雜志上發(fā)表院喜，并經(jīng)過(guò)兩個(gè)月無(wú)人質(zhì)疑才算正式證明了費(fèi)馬大定理，然后發(fā)獎(jiǎng)晕翠。會(huì)議之后懷爾斯將論文遞交給《數(shù)學(xué)發(fā)明》喷舀，編輯梅休爾選了六位審稿人砍濒。審稿人不斷地將發(fā)現(xiàn)的疑問(wèn)與懷爾斯討論，這樣延續(xù)了3個(gè)月硫麻。
8月間爸邢，審稿人發(fā)現(xiàn)了一個(gè)“稍微復(fù)雜一點(diǎn)”的錯(cuò)誤，而對(duì)這個(gè)錯(cuò)誤懷爾斯沒(méi)有立即做出回應(yīng)拿愧。到12月杠河，論文還沒(méi)有發(fā)表，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)沒(méi)有了信心浇辜，報(bào)刊的記者更是大做文章券敌，認(rèn)為這又是一次烏龍。
1994年9月19日柳洋，懷爾斯決定對(duì)自己的證明做最后一次審查待诅。他突然發(fā)現(xiàn)，一個(gè)長(zhǎng)期被自己遺棄的工具熊镣，就是他的導(dǎo)師提及的科利瓦金方法可以用來(lái)解決這個(gè)錯(cuò)誤卑雁。驚喜若狂，懷爾斯立即寫(xiě)下了證明绪囱。他回憶說(shuō)测蹲，第二天早晨我又仔細(xì)檢查一遍，到11點(diǎn)我完全放下心來(lái)了鬼吵。
論文發(fā)表在1995年5月的《數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)》上扣甲，長(zhǎng)達(dá)130頁(yè)。這次真的沒(méi)有問(wèn)題了而柑。
策劃編輯 | 陳艷
音頻編輯 | 陳子夫
播音 | 張煜
