題目如下圖1。
解法1
因比值與圓的大小無關(guān)贮聂，故不妨設(shè)AC=1,則AB=。
角ADC為直角寨辩，設(shè)DA=,DC=
,則
吓懈。
如圖2，過B點(diǎn)作BQ垂直DC延長(zhǎng)線于Q靡狞。
由角ADC=角ACB=角CQB=90度骄瓣，AC=BC，易證
CQ=DA=
耍攘，QB=DC=
,? DQ=
,
在.
DE+EB=DB? （1）
? （2）
由(1)畔勤、(2)可得：
所求最小值為蕾各，當(dāng)
時(shí)取得。
解法1雖然不難想到庆揪，但還是講一下它的來歷式曲，是怎么想到的，關(guān)鍵的思維之道有哪些？
? 1）模式識(shí)別吝羞。觀察圖形兰伤，見微知著(局部到整體，到系統(tǒng)钧排，小中見大敦腔，要有升格意識(shí))，見有思無恨溜。觀察圖形符衔，發(fā)現(xiàn)角ACB附近的幾何結(jié)構(gòu)與K形圖(一線三等角、三垂直)模型存在部分類似糟袁。也就是看到“角ACB判族、角ADC為90度”，這是看到的"微项戴、小形帮、部分"或"局部"，從這些蛛絲馬跡見微知著聯(lián)想到K形圖模型周叮，這個(gè)模型就是“著”(大辩撑、整體、系統(tǒng))则吟。也可看出”見微知著”是”模型思想”的先導(dǎo)或藥引子槐臀，它可以把思考者的思緒導(dǎo)向?qū)?yīng)的數(shù)學(xué)模型，當(dāng)然它不僅僅只是”模型思想”的先導(dǎo)氓仲，它作為底層認(rèn)知邏輯水慨，也可作其他思維方法、思想方法的先導(dǎo)敬扛，例如軌跡思想晰洒、集合思想、構(gòu)造思想等啥箭。
? 此題中的K形圖不完整谍珊，把它與K形圖模型比較一下就知道存在差異，還缺一個(gè)直角急侥。自然而然想到完形補(bǔ)美：存在差異就消除差異砌滞，差啥就補(bǔ)啥，就配湊啥坏怪，就微調(diào)啥贝润。故見微知著地完形構(gòu)造：作直角BQC，補(bǔ)齊三個(gè)直角铝宵，產(chǎn)生完整的K形圖實(shí)例打掘。
? 我們知道”觀察华畏、比較、分類尊蚁、關(guān)聯(lián)(聯(lián)結(jié))”是我們常用的基礎(chǔ)的認(rèn)知方法亡笑，而“見微知著，小中見大横朋，窺一斑而見全豹仑乌，見有思無，有中生無叶撒，無中生有绝骚，有無相生”是認(rèn)知的底層邏輯之一。這些底層認(rèn)知邏輯在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中得到廣泛運(yùn)用祠够，在幾何压汪、代數(shù)等解題中的運(yùn)用隨處可見。
? 人類通常很難對(duì)事物古瓤、本質(zhì)都一覽無余止剖，都是在獲得部分信息的基礎(chǔ)上，小(部分落君、局部)中見大(整體穿香、系統(tǒng))，試圖推導(dǎo)出整體绎速，從表象與膚淺走向本質(zhì)與深刻皮获。例如在幾何解題中，看到相等的兩條線段交于一點(diǎn)(共一個(gè)端點(diǎn))纹冤，我們會(huì)見微知著洒宝，相似聯(lián)想到幾何中的旋轉(zhuǎn)變換，因?yàn)椤毕嗟鹊膬蓷l線段交于一點(diǎn)”這個(gè)微這個(gè)蛛絲馬跡與幾何旋轉(zhuǎn)變換的一部分性質(zhì)是相同的或類似的：繞某一點(diǎn)(旋轉(zhuǎn)中心)旋轉(zhuǎn)時(shí)萌京，以該旋轉(zhuǎn)中心為端點(diǎn)的線段旋轉(zhuǎn)后保持不變(相等)雁歌，所以可以聯(lián)想到”著”(旋轉(zhuǎn)變換)。當(dāng)然只要是對(duì)應(yīng)線段都相等知残，與是否過旋轉(zhuǎn)中心無關(guān)靠瞎，所以有時(shí)看到兩條線段相等或要證明它們相等，即便這兩條線段沒有公共端點(diǎn)求妹，有時(shí)也可“見微知著”聯(lián)想到旋轉(zhuǎn)變換或證三角形全等乏盐。再比如，當(dāng)看到兩條線段相等制恍，兩個(gè)角相等(這兩條相等線段分別是兩個(gè)角的一條邊)丑勤，我們往往見微知著想到全等三角形模型，之后再根據(jù)全等的三個(gè)條件吧趣，還缺少一個(gè)全等條件，這個(gè)缺少的條件是隱藏的，故作輔助線創(chuàng)造出缺少的這個(gè)條件强挫，化隱為顯岔霸，完形補(bǔ)美。構(gòu)造三角形相似模型也是類似的俯渤。
再比如呆细，軌跡思想啟發(fā)你的思維從單個(gè)動(dòng)點(diǎn)想到動(dòng)點(diǎn)的軌跡(動(dòng)點(diǎn)集合形成的幾何結(jié)構(gòu))，而不要只盯著單個(gè)動(dòng)點(diǎn)八匠，軌跡思想和集合思想都有“見微知著”作為其底層邏輯絮爷。
? 見微知著作為底層認(rèn)知邏輯在代數(shù)問題中的應(yīng)用就不舉例了。
? ”見有思無梨树，有中生無坑夯，無中生有，有無相生”抡四。這些其實(shí)就是創(chuàng)新與探索發(fā)現(xiàn)的能力柜蜈。可以從見微知著的角度來作下解釋指巡∈缏模看到各種現(xiàn)象觸發(fā)人們思考現(xiàn)象背后隱藏的本質(zhì)與規(guī)律，萬事萬物負(fù)陰抱陽藻雪，都有陰與陽/有與無的兩面∶卦耄現(xiàn)象是”有”，屬陽勉耀，一般是可見的指煎，明顯的，而大道無形瑰排，本質(zhì)和規(guī)律是”無”贯要，屬陰⊥肿。”無”不是沒有崇渗，不是不存在，而是因?yàn)樗鼈兪请[藏的京郑、被掩蓋的宅广、善變的、無形的些举、幽暗的跟狱，不容易看到，不容易被發(fā)現(xiàn)户魏，需要有思維智慧和慧眼來發(fā)現(xiàn)它們驶臊，如幾何題中的輔助線挪挤、問題中潛藏的數(shù)學(xué)模式，物理中的磁場(chǎng)和暗物質(zhì)关翎，雖然肉眼看不見扛门，但存在，需要有慧眼纵寝，需要思維智慧猜想想象出它們的存在或發(fā)現(xiàn)它們的存在论寨，并通過實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證。
? ? 在海上航行看到露出海面上的冰山爽茴，露出海上的冰山是”有”葬凳，見微知著想到&知道在海面下還隱藏著不可見的冰山。海面下的這些不容易看見的冰山是”無”室奏，而通過海上的冰山想到海面下關(guān)聯(lián)的冰山火焰，我思故我在，想到之后就是”有”了窍奋，這就是”見有思無荐健，有中生無”。
? ? 從具體事物琳袄、具體方法和實(shí)踐中提煉出思想方法也是“有中生無”江场，相對(duì)而言思想方法是“無”，具體方法是“有”窖逗。相對(duì)而言址否，具有哲學(xué)性質(zhì)的數(shù)學(xué)思想方法是“無”，而形而下的碎紊、數(shù)學(xué)特有的思想方法是“有”佑附。
? ? ”無中生有”的例子也有很多，例如心意識(shí)仗考，大腦中的思維活動(dòng)是無形的(相對(duì)而言)音同，但通過思維活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)發(fā)明很多科學(xué)理論和新事物秃嗜，這就是無中生有权均，可見“無”的威力更大，它是“有”之母锅锨，有生于無叽赊。我們?cè)跀?shù)學(xué)解題中，從行動(dòng)到行動(dòng)必搞，運(yùn)用各種思維方法必指、思維策略和思想方法產(chǎn)生解題思路、解題突破口恕洲、解題操作以及解題方法塔橡，這也是無中生有梅割。
? ? “有中生無”與“無中生有”合起來就是"有無相生，有無思想”谱邪。有與無相互聯(lián)系炮捧，相互轉(zhuǎn)化，辯證統(tǒng)一惦银。
2）確定性分析與確定性思想。在一個(gè)確定的三角形中末誓，邊上的高把該邊分成確定的兩段扯俱。在圖2中，高AE把DB分成DE喇澡、EB兩端迅栅，這兩段的長(zhǎng)度可以通過計(jì)算推導(dǎo)，用三條邊的長(zhǎng)度來表示晴玖，也就是確定了DE读存、BE與邊長(zhǎng)DB、的函數(shù)關(guān)系让簿。從而得出DE/BE比值函數(shù)，再求出該函數(shù)的最小值秀睛。
? 確定性思想和函數(shù)思想有關(guān)聯(lián)尔当，確定性思想的層次高于函數(shù)思想。
解法2
? 思緒從解法1中退出來蹂安，切換變化思維視角椭迎，運(yùn)用新思維新思想經(jīng)過探索產(chǎn)生解法2。
? 思維思想先行田盈，多思多想畜号，也就是要有靠譜的心動(dòng)，念頭變化生滅：感覺&直覺審美+辯證法矛盾分析+簡(jiǎn)化意識(shí)+合情設(shè)想：求的最小值允瞧，但
這兩條線段長(zhǎng)度是變化的，這是不美的地方&痛點(diǎn)&妨礙解題的矛盾瓷式，也就是兩條變長(zhǎng)線段導(dǎo)致難以求出最小值替饿。
? 從矛盾消除與轉(zhuǎn)化的目的出發(fā)，結(jié)合簡(jiǎn)化/化繁為簡(jiǎn)的意識(shí)贸典，我們進(jìn)行合情設(shè)想视卢，可產(chǎn)生如下美好的想法：如果能讓一條線段長(zhǎng)度固定，也就是把其中一條線段變成定長(zhǎng)廊驼，心理上覺得可簡(jiǎn)化問題据过，就容易求出最小值惋砂。 美好的想法要有，雖然不能保證它一定正確或可行绳锅，但萬一實(shí)現(xiàn)了呢西饵！
? 合情設(shè)想還有合情推理等屬于非邏輯思維精肃，解題思路和解法的探索與發(fā)現(xiàn)以及解題突破口的發(fā)現(xiàn)找蜜，一般是非邏輯思維與邏輯思維的結(jié)合，即合情公你、辯證原朝、靈活驯嘱、發(fā)散與適當(dāng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)合，通常更倚重各種非邏輯思維喳坠，例如觀察鞠评、聯(lián)想、類比壕鹉、猜想剃幌、直覺、試驗(yàn)晾浴、試探等负乡，它們不那么嚴(yán)謹(jǐn)，但在解法探索發(fā)現(xiàn)中極其重要怠肋，只有在解法的論證求解階段敬鬓，才需要嚴(yán)格追求邏輯思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。而且鍛煉好邏輯思維本身并不難笙各，例如通過學(xué)習(xí)初高中數(shù)學(xué)和解題來培養(yǎng)學(xué)生們的邏輯思維能力就很容易钉答，如果再把它和非邏輯思維相比，那就更覺得它容易杈抢。數(shù)學(xué)思維高手的思維智慧和思維功底體現(xiàn)在對(duì)各種非邏輯思維的實(shí)踐體驗(yàn)和領(lǐng)悟提煉上数尿，體現(xiàn)在對(duì)各種數(shù)學(xué)思想方法和思維策略的領(lǐng)悟與實(shí)踐運(yùn)用上。
? 由"比值惶楼、BE右蹦、DE共端點(diǎn)E，且在同一直線上"歼捐，這是“微“或局部何陆。我們?cè)俅我娢⒅嗨坡?lián)想到平行線分線段相似模型豹储。
? ? 心動(dòng)到行動(dòng)的變現(xiàn)贷盲，由上面的一系列心動(dòng)(包括聯(lián)想到平行線模型)驅(qū)動(dòng)行動(dòng)，自然得到如下的解題行動(dòng)操作：如下圖3所示，過D作AE的平行線DF交BA延長(zhǎng)線于F點(diǎn)巩剖。铝穷，BA是定長(zhǎng)(可認(rèn)為BA是定長(zhǎng)) ，故轉(zhuǎn)化為求AF的最大值佳魔。
? FA的端點(diǎn)A為定點(diǎn)曙聂，F(xiàn)為動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)A是變化的鞠鲜，似乎不難求出FA的最大值宁脊，但實(shí)際上直接求FA的最大值有些棘手，DF與FB的夾角是變化的贤姆，難以得出D點(diǎn)在圓P的哪個(gè)位置時(shí)FA取最大值朦佩。如果按解法1求出BE、DE的函數(shù)之后求出AF的函數(shù)庐氮，倒不如直接用解法1這種偏代數(shù)計(jì)算的方法。
? 靈活變通一下宋彼，思維方向變一下弄砍。角FDB為直角，D點(diǎn)也在以FB為直徑的動(dòng)圓上输涕，D點(diǎn)是該動(dòng)圓與圓P(定圓)的公共點(diǎn)(兩圓的交點(diǎn)或切點(diǎn))音婶。
? AB為定長(zhǎng)，故可轉(zhuǎn)化為求出FB的最大值莱坎，即可求出FA的最大值衣式。
? 一滴水只有回到大海才不會(huì)枯竭，同時(shí)也可以看出我們也不是孤立的孤零零的求FB的最大值檐什，而是見微知著碴卧，用聯(lián)系的觀點(diǎn)升格問題，擴(kuò)大思維視野乃正，否定之否定住册，回歸到包含它的系統(tǒng)&整體，返回到包含它的數(shù)學(xué)模式&數(shù)學(xué)模型中瓮具，把FB置于動(dòng)圓中荧飞，置于動(dòng)圓與圓P圓O的關(guān)系(例如位置關(guān)系)中進(jìn)行思考，也就是回歸到大場(chǎng)景大系統(tǒng)中求其最大值名党。
? 但如何求FB的最大值叹阔，似乎難以有思路。
? 還是要借助數(shù)學(xué)思想的作用传睹，靠數(shù)學(xué)思想方法給力耳幢。各種思想方法都是某一種類型的思維內(nèi)容的生產(chǎn)者或思維方向思維視角的指引者，它們讓你產(chǎn)生靠譜的心動(dòng)(起心動(dòng)念蒋歌、產(chǎn)生念頭)：?jiǎn)l(fā)你產(chǎn)生某種思維內(nèi)容帅掘，切換思維方向或視角委煤。而且日久或?qū)λ鼈凅w驗(yàn)深刻會(huì)產(chǎn)生與這種思想對(duì)應(yīng)的自覺的(思想)意識(shí)，所以借助它們你就容易有各種想法修档，就容易發(fā)現(xiàn)解題突破口碧绞，提高了解決難題的可能性和效率。例如臨界思想啟發(fā)你的思維要考慮邊界情況吱窝，方程思想方程意識(shí)啟發(fā)你要注意考慮列方程讥邻，也就是在你的思維內(nèi)容中產(chǎn)生列方程的念頭(想法)，有這種念頭之后院峡，自然就激活了你去尋找等量關(guān)系兴使，自然就激活你的方程知識(shí)，否則即便你精通各種解方程的數(shù)學(xué)知識(shí)照激，很可能不會(huì)想到要列方程來解決問題发魄，那這些數(shù)學(xué)知識(shí)也就只能在你大腦中沉睡而不能利用它們來發(fā)揮解題作用。
? 對(duì)此題的第二種解法探索俩垃，這里采用運(yùn)動(dòng)變化思想和臨界思想來進(jìn)行解法探索励幼，它們可以切換和指導(dǎo)我們思維視角、思維方向和思維內(nèi)容口柳，從而發(fā)現(xiàn)隱藏的本質(zhì)和解題突破口苹粟。
? 運(yùn)動(dòng)變化思想它是辯證法運(yùn)動(dòng)變化觀的變現(xiàn)，是辯證法認(rèn)識(shí)論與方法論的統(tǒng)一跃闹。?
? 運(yùn)動(dòng)變化思想屬于高層的思想嵌削，屬于具有哲學(xué)性質(zhì)的形而上的思想，所以它的層次高于很多其它的數(shù)學(xué)思想望艺，比如數(shù)形結(jié)合苛秕、轉(zhuǎn)化、變換荣茫、分類討論等這些形而下的思想方法&數(shù)學(xué)等少數(shù)學(xué)科特有的思想方法想帅，而這些形而下的&特有的思想體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化思想。當(dāng)然運(yùn)動(dòng)變化思想也不是只能高來高去啡莉，不接地氣港准，只能啟發(fā)變化意識(shí)，它也是可以如這些形而下的思想方法一樣咧欣，可以直接指導(dǎo)我們的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)浅缸，指導(dǎo)我們具體如何變(變化的手段)、變什么魄咕、變化的方向是什么衩椒。
? 數(shù)學(xué)家波利亞：“對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)毛萌，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西苟弛，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則”。
? 心動(dòng)驅(qū)動(dòng)&決定行動(dòng)阁将，解題中大腦的思維在運(yùn)動(dòng)變化膏秫，從而驅(qū)動(dòng)解題的每一步(紙上、黑板上的行動(dòng)操作)變化(解題的每一步都是變化)做盅。
? 運(yùn)動(dòng)變化思想啟發(fā)我們告訴我們要主動(dòng)化靜為動(dòng)缤削，通過考察動(dòng)態(tài)變化過程，在運(yùn)動(dòng)變化過程中窺見問題的本質(zhì)吹榴，動(dòng)中求機(jī)(玄機(jī)亭敢、本質(zhì)模式、規(guī)律)图筹，凸現(xiàn)&發(fā)現(xiàn)隱藏的解題突破口和本質(zhì)帅刀。
? ? 與代數(shù)變形類似，在幾何中也有各種幾何變換和多種變化模式远剩，教材中的幾何變換例如旋轉(zhuǎn)劝篷、平移、對(duì)稱民宿、位似等是典型的幾何變換，也是狹義的像鸡。其實(shí)從變換的功能視角來看活鹰，諸如構(gòu)造全等，構(gòu)造相似只估，作平行四邊形志群，作等腰，作平行線等也是幾何變換蛔钙，都是在變化锌云，它們可以轉(zhuǎn)移可以改變幾何對(duì)象的幾何位置和幾何結(jié)構(gòu)，可以轉(zhuǎn)移傳遞數(shù)量關(guān)系吁脱，所以要把它們看成廣義的幾何變換桑涎。學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，在自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中也要有類似這樣的一些認(rèn)知兼贡，不要僵化攻冷，不要過于嚴(yán)格地理解數(shù)學(xué)教材上的部分內(nèi)容而局限自己的認(rèn)知，從而陷入思維認(rèn)知的定勢(shì)陷阱遍希。要自己擴(kuò)充或泛化教材上的一些認(rèn)知等曼，要有自己的主觀的獨(dú)特的看法，要注意在解題中自己提煉領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，提升思維智慧禁谦，不能只學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)胁黑，特別是不能只學(xué)都是陳述型數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)參考書。
? 對(duì)這道幾何題州泊，用運(yùn)動(dòng)變化的思想結(jié)合臨界思想(邊界丧蘸、極端思想)求動(dòng)圓直徑的最大值。運(yùn)動(dòng)變化思想指導(dǎo)我們變什么拥诡？變直徑FB触趴，變化以FB為直徑的圓。就是讓直徑FB從小到大逐漸變化(遞增),考察在增大直徑的動(dòng)態(tài)變化過程中渴肉，動(dòng)圓的變化情況冗懦，特別是臨界情況，以及動(dòng)圓與其他幾何對(duì)象之間的各種態(tài)勢(shì)&趨勢(shì)變化仇祭，例如位置關(guān)系的變化披蕉。
? 如圖4，在FB增大的過程中乌奇，必須滿足的一些約束：
? 1）F點(diǎn)始終在A點(diǎn)左側(cè)或與A點(diǎn)重合没讲。動(dòng)圓圓心在AB直線上，且始終在O點(diǎn)左側(cè)或與O點(diǎn)重合礁苗。FB的最小值為AB爬凑，此時(shí)F點(diǎn)與A點(diǎn)重合，動(dòng)圓圓心與O點(diǎn)重合试伙。
? ? 2）無論FB為多少嘁信，以FB為直徑的動(dòng)圓始終與圓O相切于定點(diǎn)B，也就是動(dòng)圓始終在過B點(diǎn)的切線的左側(cè)疏叨。
? 3） 動(dòng)圓始終與圓P有公共點(diǎn)(相交或相切)潘靖，公共點(diǎn)為D點(diǎn)。
? FB增大過程中蚤蔓，變化態(tài)勢(shì)如圖4卦溢。由于動(dòng)圓始終在過B點(diǎn)的切線左側(cè)，相當(dāng)于在B點(diǎn)那里放了一塊垂直于FB的擋板(切線)秀又。當(dāng)FB從最小值(等于AB)開始逐漸增大時(shí)单寂，動(dòng)圓如氣球一樣只能向左、向上吐辙、向下膨脹凄贩，但始終不能超越擋板右側(cè)。所以隨著FB的逐漸增大袱讹，很容易得出用文字描述的變化態(tài)勢(shì)疲扎，即得到如下認(rèn)知：
? 1.動(dòng)圓變大昵时，動(dòng)圓圓心在AB直線上逐步向左移動(dòng)，離O點(diǎn)越來越遠(yuǎn)椒丧；
? 2.動(dòng)圓與圓P(半圓)有兩個(gè)交點(diǎn)壹甥，這兩個(gè)交點(diǎn)都是D點(diǎn)。例如當(dāng)FB為F1B時(shí)壶熏，動(dòng)圓與圓P存在兩個(gè)交點(diǎn)(公共點(diǎn))句柠。
? 3.結(jié)合圖4，幾何直觀可以得出：隨著FB的逐漸增大棒假，這兩個(gè)交點(diǎn)在圓P(半圓)上構(gòu)成的劣弧會(huì)越來越短溯职，也就是兩個(gè)交點(diǎn)越來越靠近，動(dòng)圓與圓P的位置關(guān)系有逐漸分離的趨勢(shì)帽哑。
? 大腦中進(jìn)行思維實(shí)驗(yàn)或借助圖4進(jìn)行直觀想象谜酒，可以得到如下認(rèn)知：當(dāng)FB繼續(xù)增大到某個(gè)臨界值F2B時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)會(huì)重合妻枕，變成一個(gè)點(diǎn)僻族，也就是此時(shí)動(dòng)圓與圓P相切，這就是圖形的臨界(邊界屡谐、極端)情況述么。之后FB如果繼續(xù)增大，動(dòng)圓與圓P會(huì)相離愕掏，沒有公共點(diǎn)度秘，故不能繼續(xù)增大，這也是存在性與必要性的必然要求饵撑。
? 到這一步應(yīng)該可得到這樣的頓悟：哦敷钾，相切是FB取最大值時(shí)本質(zhì)的幾何模式。發(fā)現(xiàn)FB取最大值時(shí)動(dòng)圓與圓P必相切肄梨，這個(gè)發(fā)現(xiàn)就是波利亞所說的“發(fā)現(xiàn)對(duì)解題有價(jià)值的東西”，也是玄機(jī)挠锥。
? 可見通過從幾何角度考察FB的變化過程众羡，從幾何對(duì)象的運(yùn)動(dòng)變化中動(dòng)中求機(jī)(玄機(jī))，借助幾何直觀慧眼識(shí)機(jī)蓖租，凸現(xiàn)了問題中原本隱藏的對(duì)解題極為關(guān)鍵的本質(zhì)模式和玄機(jī)粱侣。
? ? 發(fā)現(xiàn)相切這個(gè)玄機(jī)之后，下面根據(jù)這個(gè)幾何模式(相切)求出兩線段比值的最小值不存在難度了蓖宦。
? 兩圓相切時(shí)齐婴，動(dòng)圓圓心、點(diǎn)P稠茂、切點(diǎn)D三點(diǎn)共線柠偶。
? 如下圖5情妖，不妨設(shè)AC為2，則AP=PD=1诱担，AB=毡证，AO=
。設(shè)兩圓相切時(shí)動(dòng)圓圓心為Q(易知其在線段AO上)蔫仙，F(xiàn)B為a料睛。則FQ=QB=QD=
，QP=QD-PD=
摇邦，F(xiàn)A=FB-AB=
恤煞，AQ=FQ-FA=
。BE/DE最小值=AB/FA=
? 角PAQ=45度施籍，在三角形APQ中居扒，過P作AQ垂線，勾股定理列方程求出a之后法梯，即可求出所求的最小值苔货。
總結(jié)
? 對(duì)有難度的數(shù)學(xué)題，一般至少存在一個(gè)隱藏的認(rèn)知山峰(本質(zhì)立哑、玄機(jī))夜惭。在掌握相關(guān)知識(shí)的情況下，通常需要借助各種數(shù)學(xué)思維方法铛绰、思想方法和思維策略來進(jìn)行各種探索與分析判斷诈茧，化隱為顯，挖掘發(fā)現(xiàn)隱藏的認(rèn)知山峰捂掰，激活敢会、組織、編排这嚣、選擇數(shù)學(xué)知識(shí)來翻越或繞開認(rèn)知山峰鸥昏。
王國(guó)波 2023.3.25
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