? --對(duì)數(shù)學(xué)思維智慧的闡釋(解構(gòu)與解讀)
? 本文先前首發(fā)在許興華老師的微信公眾號(hào)，作了一些修訂后重發(fā)在簡(jiǎn)書。
文章內(nèi)容如下：
? “知變化之道者,其知神之所為乎?”? --《周易?系辭上》
? “易，窮則變，變則通缰儿，通則久。是以自天佑之散址，吉無不利”乖阵。--《周易?系辭下》
? ”道之委也宣赔，虛化神，神化氣瞪浸，氣化形儒将，形生而萬物所以塞也。道之用也对蒲，形化氣钩蚊，氣化神，神化虛蹈矮，虛明而萬物所以通也砰逻。”? --《譚子化書》
? ”夫兵形象水泛鸟，水之形蝠咆，避高而趨下；兵之形谈况，避實(shí)而擊虛勺美；水因地而制流，兵因敵而制勝碑韵。故兵無常勢(shì)赡茸，水無常形，能因敵變化而制勝者祝闻，謂之神占卧。”? --《孫子兵法·虛實(shí)篇》
? “對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題联喘，改變它的形式华蜒，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西豁遭，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則”叭喜。”不斷地變換你的問題"蓖谢。"解題的過程就是不斷地變更問題的過程捂蕴，如果不變更問題，我們幾乎就沒有任何進(jìn)展闪幽∩侗妫”《㈦纾”我們必須一再地變化它,重新敘述它,變換它,直到最后成功地找到有用的東西為止”溉知。 -- 數(shù)學(xué)家波利亞
“取勢(shì)、明道、定法级乍、優(yōu)術(shù)舌劳、成器”
“善弈者謀勢(shì)，不善弈者謀子卡者。識(shí)勢(shì)者生蒿囤，順勢(shì)者為，乘勢(shì)者贏崇决，造勢(shì)者智材诽。”
正文
? ? 動(dòng)則生變恒傻，辯證法的運(yùn)動(dòng)發(fā)展觀脸侥，運(yùn)動(dòng)變化是絕對(duì)的普遍的，世事無常盈厘，變動(dòng)不居睁枕。不僅僅是物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)變化，思維活動(dòng)也是運(yùn)動(dòng)變化沸手，數(shù)學(xué)解題的每一步本質(zhì)上也都是變化外遇。思維是統(tǒng)帥是靈魂，數(shù)學(xué)解題的每一步變化(紙面上的)都是由(數(shù)學(xué))思維的運(yùn)動(dòng)變化(大腦中的)而驅(qū)動(dòng)主導(dǎo)的契吉。
? 事事洞明皆學(xué)問跳仿，道隱無名，都隱藏有道理捐晶，數(shù)學(xué)思維的運(yùn)行變化更是有大道菲语。那數(shù)學(xué)思維運(yùn)動(dòng)變化的大道是什么？也就是本質(zhì)規(guī)律是什么惑灵？
數(shù)學(xué)思維運(yùn)動(dòng)變化的三個(gè)方面(維度)與四個(gè)層次
三個(gè)方面
? 運(yùn)動(dòng)變化包括心山上、行、物三方面英支。
? 心就是思維主體(主觀)的心意識(shí)佩憾；行就是外界可見的外顯的行動(dòng)，行為操作干花、加工處理妄帘；物就是客體，就是我們需要變化改變的客觀事物(對(duì)象)和問題把敢。心物一元，心與物辯證統(tǒng)一谅辣，相互聯(lián)系/相互轉(zhuǎn)化/相互影響修赞，主觀與客觀辯證統(tǒng)一，風(fēng)動(dòng)幡動(dòng)，歸根結(jié)底是心動(dòng)柏副，正所謂”人人自有定盤針勾邦，萬化根源總在心”。
? 萬化由心割择，宇宙在手眷篇，從思維主體(人)出發(fā)，由內(nèi)(主體)到外(客體)荔泳，驅(qū)動(dòng)變化：從心動(dòng)到行動(dòng)(心動(dòng)驅(qū)動(dòng)&決定行動(dòng))蕉饼，再到事物的變化或?qū)κ挛镌谡J(rèn)識(shí)、反映玛歌、刻畫方面的變化昧港。
? ”夫萬事萬物之理，不外于吾心支子。夫?qū)W貴得之于心创肥。” 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育值朋，思維為王為主叹侄，也就是應(yīng)該以思維為中心，真正做到給學(xué)生傳授思維心法昨登，讓學(xué)生領(lǐng)悟思維心法趾代，而我們幾十年的數(shù)學(xué)教育無論怎么改革，實(shí)際上一直以數(shù)學(xué)知識(shí)為中心篙骡，即便學(xué)校稽坤、各種數(shù)學(xué)思維培訓(xùn)、數(shù)學(xué)思維書籍喊著鍛煉學(xué)生思維能力的旗號(hào)糯俗，掛羊頭賣狗肉尿褪，打左燈向右轉(zhuǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)思維的鍛煉熏陶傳授有名無實(shí)得湘，實(shí)際做的不到位杖玲。
? 1.心動(dòng)，起心動(dòng)念就是心的變化淘正，就是思維的運(yùn)動(dòng)變化：作為靈性智慧生靈摆马，心第一才是真正正確的，心外無物鸿吆，心能轉(zhuǎn)物囤采，心生萬物，心生萬法惩淳。心動(dòng)蕉毯，(主體的)心意識(shí)(思維)的變化乓搬，思維念頭的生滅，具體就是思維目標(biāo)(對(duì)象)代虾、思維方向进肯、思維視角、思維起點(diǎn)棉磨、思維形式江掩、思維內(nèi)容、思維品質(zhì)(思維廣度乘瓤、思維深度环形、嚴(yán)謹(jǐn)性、靈活性馅扣、批判性斟赚、創(chuàng)造性、系統(tǒng)性)差油、思維過程的變化拗军。運(yùn)用之妙，存乎一心蓄喇，風(fēng)動(dòng)幡動(dòng)发侵，歸根結(jié)底是心動(dòng)，這才是本質(zhì)才是關(guān)鍵妆偏，不在于是否存在風(fēng)和幡動(dòng)(現(xiàn)象)刃鳄，不在于是否存在幡(物)，如果知道虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)(VR)就明白風(fēng)钱骂、幡叔锐、幡動(dòng)都是可以虛擬出來的幻覺幻象，遑論特異手段见秽。感官感知的不一定為實(shí)愉烙，眼見不一定為實(shí)。另外緣起性空解取，風(fēng)動(dòng)幡動(dòng)都是因緣暫時(shí)和合而產(chǎn)生步责，不是恒常的。心解放自由禀苦，升華悟道融匯貫通蔓肯，心結(jié)打開了，才能心生萬法振乏，靈動(dòng)自然蔗包。
? 心法就是思維的規(guī)律，運(yùn)心自如之道慧邮，“變化大法”運(yùn)用之妙调限，存乎一心：窮則思變邻储，知機(jī)善變，避重就輕旧噪，順應(yīng)同化。變中求機(jī)脓匿，隨機(jī)應(yīng)變淘钟，按需而變，順勢(shì)而為陪毡。
? 2.行動(dòng)米母，解題行動(dòng)在操作處理上的變化：做什么/變什么、怎么做/變化手段是什么毡琉。例如要對(duì)代數(shù)式進(jìn)行怎樣的變形铁瞒，要變代數(shù)式的哪一部分。
? 3.物動(dòng)桅滋，事物的變化：心與行的變動(dòng)慧耍，最終體現(xiàn)在(客體)事物&數(shù)學(xué)問題的變化(變更)上面，對(duì)事物認(rèn)識(shí)的升華上丐谋。
? 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)解題中芍碧，"心動(dòng)"，大腦內(nèi)在的思維活動(dòng)号俐，它是相對(duì)無形的泌豆，屬陰，而行動(dòng)和物動(dòng)是外在的變化吏饿，一般是可見的踪危，屬陽。 ”陰先動(dòng)猪落，陽后隨”贞远，就是要先動(dòng)腦，先思考许布，用心動(dòng)驅(qū)動(dòng)和指揮行動(dòng)兴革，而不是先貿(mào)然行動(dòng)和物動(dòng)。
? 如氣功修煉中的三調(diào)(調(diào)形蜜唾、調(diào)息杂曲、調(diào)心)，數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中與此類似袁余，也有三調(diào)擎勘，也就是從三大方面進(jìn)行變化調(diào)節(jié):
? 1）調(diào)形/變形，調(diào)節(jié)/改變問題外在的形式颖榜。
? 2）調(diào)結(jié)構(gòu)/模式棚饵，調(diào)節(jié)問題的(內(nèi)在)結(jié)構(gòu),包括調(diào)節(jié)各種順序煤裙。
? 3）調(diào)心，對(duì)心意識(shí)/思維進(jìn)行調(diào)節(jié)/調(diào)控噪漾。主要是調(diào)控思維形式硼砰、思維內(nèi)容、思維方向欣硼、思維起點(diǎn)题翰、思維視角/思想觀點(diǎn)/眼光、思維品質(zhì)等诈胜。
? ? 思維方法偏重調(diào)控思維形式豹障，例如應(yīng)用聯(lián)想思維，那思維的形式就變成聯(lián)想思維由此及彼的形式焦匈，而應(yīng)用類比思維血公，就變成類比的形式。
? ? 而思想方法偏重思維內(nèi)容的調(diào)節(jié)缓熟，例如運(yùn)用方程思想累魔，那大腦的思維內(nèi)容就變成方程相關(guān)的內(nèi)容，運(yùn)用其他的思想方法/思想觀點(diǎn)够滑，思維內(nèi)容就相應(yīng)地變?yōu)樵撍枷敕椒▽?duì)應(yīng)的內(nèi)容薛夜。道在日用，例如我們?cè)谌粘Ｉ钪邪媸觯瑢?duì)同一個(gè)事物梯澜，改變(變化)你內(nèi)心看待這個(gè)事物的觀點(diǎn)，對(duì)這個(gè)事物的看法可能馬上就不一樣了渴析，有可能是峰回路轉(zhuǎn)晚伙，180度的改變，與此類似俭茧，在數(shù)學(xué)思維中咆疗，改變你的思想觀點(diǎn)/思想方法，新的解題思路母债、解題突破口午磁、解題方法可能就在向你招手，就容易被發(fā)現(xiàn)毡们，就容易想到它們迅皇，就容易有所創(chuàng)新。
? ? 三調(diào)中重在調(diào)心衙熔，以德(思維的品德素養(yǎng))為本登颓。
? 注：這里不從心理學(xué)上區(qū)分心意識(shí)與思維的區(qū)別，而是把它們看成相同红氯。
四個(gè)層次
? 我們要精通變化框咙，領(lǐng)悟掌握變化之道法術(shù)器咕痛，道、法喇嘱、術(shù)茉贡、器是4個(gè)層次。
? 1.變化之道：形而上者謂之道者铜。萬化由心块仆，大化無方，唯變所適王暗，隨機(jī)應(yīng)變，辯證變通庄敛，靈動(dòng)自然俗壹。思維運(yùn)動(dòng)變化之道(運(yùn)動(dòng)變化模式)契合道德經(jīng)“反者道之動(dòng)，弱者道之用”與太極的循環(huán)往復(fù)藻烤、進(jìn)退互化绷雏、以柔克剛(柔弱勝剛強(qiáng))、圓融無礙之道怖亭。
? 2.變化之法：變化時(shí)遵循的蘊(yùn)含的法則涎显、原則、規(guī)律兴猩、過程期吓、模式、高觀點(diǎn)倾芝。變化的心法(思維心法)讨勤，易經(jīng)三易:變易、簡(jiǎn)易晨另、不易(變中有不變)潭千，還包括：
? ? a)思維策略。例如進(jìn)退互化等策略借尿，而熟知的“正難則反”策略是進(jìn)退互化的一種具體策略刨晴。
? ? b)數(shù)學(xué)意識(shí)。數(shù)學(xué)意識(shí)的層次高于數(shù)學(xué)思想路翻，數(shù)學(xué)意識(shí)是低層次數(shù)學(xué)思想的升華狈癞，例如方程意識(shí)是方程思想的升華。相對(duì)數(shù)學(xué)思想而言茂契，數(shù)學(xué)意識(shí)具有自覺性亿驾、選擇傾向性、潛藏性账嚎、主觀性莫瞬、高階性/高層次儡蔓。
? ? 隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無聲疼邀。低層次數(shù)學(xué)思想升華變成數(shù)學(xué)意識(shí)喂江，所以數(shù)學(xué)意識(shí)的作用主要是在下意識(shí)層面潛移默化地影響你的數(shù)學(xué)思維和決策，使你自覺地/自動(dòng)地旁振、潛藏地做出某些選擇和決策获询，這就是數(shù)學(xué)意識(shí)的自覺性、選擇傾向性拐袜、潛藏性剪决。
? 按其范圍大小可以分為專有的和普適性的數(shù)學(xué)意識(shí)。
? 專有的如方程意識(shí)等轴或，它是數(shù)學(xué)領(lǐng)域特有的匈庭。
? 普適性的數(shù)學(xué)意識(shí)不限于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，主要有：目標(biāo)意識(shí)甜攀、符號(hào)意識(shí)秋泄、分析意識(shí)、簡(jiǎn)約/簡(jiǎn)化意識(shí)规阀、轉(zhuǎn)化/化歸意識(shí)恒序、抽象意識(shí)、歸納意識(shí)谁撼、推理意識(shí)歧胁、合情設(shè)想/合情想象猜想意識(shí)、模型/模式意識(shí)厉碟、結(jié)構(gòu)意識(shí)与帆、辯證意識(shí)、審美(美感)意識(shí)墨榄、矛盾意識(shí)玄糟、和諧與統(tǒng)一意識(shí)、比較意識(shí)袄秩、分類意識(shí)阵翎、整體意識(shí)、分解與組合意識(shí)之剧、聯(lián)系(關(guān)聯(lián)郭卫、聯(lián)結(jié)、關(guān)系)意識(shí)背稼、運(yùn)動(dòng)變化意識(shí)贰军、模式識(shí)別意識(shí)、觀察意識(shí)、見微知著意識(shí)词疼、創(chuàng)新意識(shí)等俯树。
? 碰到有些難度的數(shù)學(xué)問題，為什么容易出現(xiàn)思維障礙贰盗？例如為什么”想到不”這個(gè)數(shù)學(xué)解法许饿，或想不到這一點(diǎn)？或不知道如何想舵盈、不知道想什么陋率。在掌握相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的情況下，很可能是沒有領(lǐng)悟到足夠通透系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維方法論秽晚。例如沒有掌握一些相關(guān)的數(shù)學(xué)思想和意識(shí)瓦糟，就好比一個(gè)日常生活中缺乏居安思危意識(shí)的人，他在平常的生活中是不容易想到可能會(huì)突發(fā)一些危險(xiǎn)情況的赴蝇，而一個(gè)缺乏方程思想方程意識(shí)的學(xué)生菩浙，他是不容易想到用方程的知識(shí)來解題的，雖然他掌握了方程知識(shí)扯再。而一個(gè)有方程意識(shí)的人，會(huì)比較自然地自覺地想到運(yùn)用方程來解題址遇，不需要提示熄阻。
? ? ? c)思維原則。如化繁為簡(jiǎn)原則/簡(jiǎn)化原則倔约、辯證思考原則秃殉、信息用足用好用活原則、多想少算原則浸剩、系統(tǒng)性思考原則等钾军。
? ? ? d)元認(rèn)知。對(duì)思維活動(dòng)的監(jiān)控與調(diào)節(jié)绢要。
? 3.變化之術(shù)：以術(shù)輔道吏恭，變化之術(shù)主要是數(shù)學(xué)思維方法論中的各種數(shù)學(xué)思維方法與數(shù)學(xué)思想。思維方法主要指引思維形式上怎么變(怎么想)重罪，而思想方法主要指引思維內(nèi)容上怎么變(想什么樱哼，要做什么)，最終引導(dǎo)我們產(chǎn)生“變化”方案：變化的步驟順序剿配、變化的方向與意圖(變化的需求搅幅，想要變成什么，隨需而變)呼胚、變化的目標(biāo)對(duì)象(變哪些對(duì)象茄唐，改變事物的哪一部分)、變化的時(shí)機(jī)蝇更、變化遵循的模式與進(jìn)行變化的具體行動(dòng)操作(變化的手段)沪编、變化的成本代價(jià)與需要的資源呼盆。
? 以上統(tǒng)下，以道御術(shù)漾抬，變化之道與變化之法對(duì)變化之術(shù)有誘發(fā)宿亡、產(chǎn)生、引導(dǎo)纳令、護(hù)持挽荠、調(diào)控的作用，對(duì)思維形式平绩、思維內(nèi)容圈匆、思維方向、思維視角捏雌、思維起點(diǎn)跃赚、思維特性品質(zhì)的變化切換起到直接的誘發(fā)、引導(dǎo)性湿、調(diào)控作用纬傲。
? 4.變化之器：形而下者謂之器，器就是器物肤频、工具叹括。變化之器就是幫助我們進(jìn)行具體的行動(dòng)操作(變化、改造)的工具宵荒，也就是變化的手段汁雷。變化之器在數(shù)學(xué)中就是各種數(shù)學(xué)知識(shí)，包括數(shù)學(xué)概念报咳、定理侠讯、數(shù)學(xué)方法，例如配方暑刃、因式分解厢漩、平方、開方岩臣、加減乘除袁翁、分類、分組婿脸、組合粱胜、分拆、割補(bǔ)狐树。動(dòng)作動(dòng)詞思維加發(fā)散思維焙压，多想想動(dòng)作、動(dòng)詞，多問問自己還能怎樣變化涯曲。道在日用野哭，多想想日常生活中的各種具體的行動(dòng)操作及其概念，把它們遷移到其他領(lǐng)域的問題解決中幻件，例如數(shù)學(xué)解題中拨黔。
? ? 變化之道、法绰沥、術(shù)對(duì)變化之器也就是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)具有激活篱蝇、組織、編排徽曲、篩選零截、解釋、創(chuàng)造等作用秃臣。
? ? 整個(gè)數(shù)學(xué)思維方法論其實(shí)是研究變化的技術(shù)與藝術(shù)涧衙，研究數(shù)學(xué)中的變化之道法術(shù)。數(shù)學(xué)思維方法論包括各種思維方法和各種思想方法奥此、思想意識(shí)弧哎、思維策略、原則稚虎、元認(rèn)知撤嫩、高觀點(diǎn)。在實(shí)踐運(yùn)用中祥绞，它們的主要作用就是在一定程度上幫助我們消除思維障礙(不知道怎么想非洲，不知道想什么鸭限，想不到蜕径，等等都屬于思維障礙)，可以把它們看成一套思維話術(shù)&自我思維引導(dǎo)術(shù)败京，用來啟發(fā)指導(dǎo)我們心(心意識(shí))與行(行動(dòng)兜喻、解題操作)上的變化，它們能夠循循善誘地讓我們比較容易地赡麦、比較自然地朴皆、自覺地想到如何變化，想到變化方案泛粹。碰到思維障礙時(shí)遂铡，通過思維發(fā)散、反思晶姊、辯證扒接、監(jiān)控、調(diào)節(jié)，反問自己：“變什么钾怔？怎么變(變化的手段是什么)碱呼？”還能怎么變？”
? ? 前面講的”數(shù)學(xué)思維運(yùn)動(dòng)變化的三個(gè)方面(維度)與四個(gè)層次”和下面的內(nèi)容都是數(shù)學(xué)思維方法論中的內(nèi)容宗侦。
通透系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維體系
? 在<對(duì)陳省身教授”不要考一百分”的辯證解讀>一文中愚臀，曾講到：
? ”思維比知識(shí)重要，思維是本是靈魂是漁矾利，是知識(shí)之母姑裂，知識(shí)是末是魚是子，這是共識(shí)梦皮。不知母炭分，焉知子？所以要多研究思維學(xué)剑肯，多研究學(xué)科思維方法論捧毛，多研究思想方法。
? ? 我們的初高中數(shù)學(xué)教育幾十年來一直存在致命的問題让网，就是一直喊著鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的口號(hào)呀忧，實(shí)際上卻心有余而力不足，打左燈向右轉(zhuǎn)溃睹，一直以數(shù)學(xué)知識(shí)為中心而账，而不是真正以數(shù)學(xué)思維為中心，舍本逐末因篇，買櫝還珠泞辐，掛羊頭賣狗肉。其他學(xué)科也類似竞滓，都是以學(xué)科知識(shí)為主咐吼，灌輸學(xué)科知識(shí)，缺少真正到位的學(xué)科思維熏陶鍛煉商佑，學(xué)科思維鍛煉落地效果是極其不理想的锯茄，連差強(qiáng)人意都算不上。
? ? 本人在IT軟件開發(fā)領(lǐng)域茶没，從業(yè)余人士的視角談?wù)勆鲜鰡栴}的根源：
? ? 第一肌幽，人的問題，我們的數(shù)學(xué)教育界和學(xué)術(shù)界不缺名師抓半，但幾乎沒有真正的數(shù)學(xué)思維明師喂急，數(shù)學(xué)名師非數(shù)學(xué)思維明師。
? ? 做老師的笛求，自身智商和學(xué)習(xí)成績(jī)應(yīng)該都一般廊移，算不上拔尖讥蔽，初高中數(shù)學(xué)老師也不例外。我們的大學(xué)數(shù)學(xué)教授研究水平也普遍一般画机，不是數(shù)學(xué)研究強(qiáng)國(guó)冶伞，所以廣大吃瓜群眾不要過度迷信初高中數(shù)學(xué)老師與數(shù)學(xué)教授的數(shù)學(xué)思維能力，可以學(xué)習(xí)他們的書籍和文章步氏，但不能迷信這些响禽。他們?cè)跀?shù)學(xué)領(lǐng)域經(jīng)過多年的浸淫，刷題多荚醒，見識(shí)多芋类，看書學(xué)習(xí)多，掌握了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)界阁，具有較豐富的解題經(jīng)驗(yàn)侯繁，但“無它，唯手熟爾”泡躯，刷題刷出了感覺贮竟，手熟而已，解題手熟和發(fā)表的一些文章書籍能忽悠和誤導(dǎo)不懂?dāng)?shù)學(xué)思維的廣大家長(zhǎng)和學(xué)生较剃，掩蓋了老師教授們數(shù)學(xué)思維能力一般的真相咕别。在數(shù)學(xué)思維方面，無論是學(xué)校和培訓(xùn)機(jī)構(gòu)写穴，幾乎沒有領(lǐng)悟通透系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維之道的數(shù)學(xué)老師數(shù)學(xué)教授惰拱，幾乎都是有術(shù)無道。以其昏昏啊送，使人昭昭偿短，指望他們給學(xué)生傳授思維之道，讓學(xué)生思維開竅馋没，非常渺茫昔逗。他們對(duì)數(shù)學(xué)思維之道的傳授心有余而力不足，雖然很多打著鍛煉數(shù)學(xué)思維的旗號(hào)披泪，但在實(shí)際執(zhí)行上纤子，只能是給學(xué)生灌輸數(shù)學(xué)知識(shí)搬瑰，結(jié)合題海戰(zhàn)術(shù)來提高考試成績(jī)款票，從而掩蓋在課堂上缺乏數(shù)學(xué)思維的真相。
? 數(shù)學(xué)思維方法論領(lǐng)域還有較多發(fā)展創(chuàng)新空間泽论，還有較多數(shù)學(xué)思想尚待提煉挖掘艾少，還有內(nèi)涵需要更深入地理解和更透徹地闡述。而國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)教育界&學(xué)術(shù)界在數(shù)學(xué)思維方法論研究方面習(xí)慣拾人牙慧翼悴，缺乏創(chuàng)新能力缚够，幾乎都是止步于數(shù)學(xué)家波利亞的解題理論與思想幔妨，對(duì)他的東西做些闡釋與應(yīng)用，而自身缺乏真正的創(chuàng)新開拓谍椅，思想僵化误堡，固步自封。幾十年過去了雏吭，我們連個(gè)像樣些的數(shù)學(xué)思維方法論體系框架都沒有锁施，遑論足夠通透系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維方法論。
? 雖然上面這些話有些人不愛聽杖们，絕大多數(shù)吃瓜家長(zhǎng)和學(xué)生不知道數(shù)學(xué)教育真正的問題悉抵，但這是實(shí)話和真相。
? 這也是本人在簡(jiǎn)書和頭條上寫數(shù)學(xué)思維系列文章的原因摘完，試圖闡述足夠通透系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維方法論姥饰。
? 這個(gè)系列文章，簡(jiǎn)書文章前言(http://www.reibang.com/p/2aeb7084113d )標(biāo)題為”自從一讀本系列孝治，始覺從前錯(cuò)用心”列粪，就是說我們幾十年來接受的都是錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)教育，主要是灌輸數(shù)學(xué)知識(shí)谈飒，以知識(shí)為中心而不是以思維為中心篱竭。通過灌輸知識(shí)，海量刷題步绸，看較多數(shù)學(xué)參考書籍掺逼，即便有些學(xué)生掌握豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)和解題技巧，短期應(yīng)付數(shù)學(xué)考試和數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)不錯(cuò)瓤介，但普遍沒有得到真正到位的數(shù)學(xué)思維熏陶訓(xùn)練吕喘，長(zhǎng)遠(yuǎn)看來是買櫝還珠，貽害無窮刑桑，誤人子弟氯质，我們是數(shù)學(xué)競(jìng)賽強(qiáng)國(guó)但不是數(shù)學(xué)研究強(qiáng)國(guó)，就是長(zhǎng)遠(yuǎn)結(jié)果的體現(xiàn)祠斧。
? 第二闻察，還是人的問題，廣大吃瓜家長(zhǎng)和學(xué)生不明上面的真相琢锋，不知道數(shù)學(xué)教育皇帝新裝辕漂，目光短淺，飲鴆止渴追求短期利益：能升學(xué)吴超，能考上理想的大學(xué)钉嘹，能競(jìng)賽獲獎(jiǎng)能保送。在沒有到位的思維熏陶訓(xùn)練的情況下鲸阻，學(xué)校和培訓(xùn)機(jī)構(gòu)采取的補(bǔ)救補(bǔ)拙的措施就是：嚴(yán)格的時(shí)間管理跋涣，抓緊時(shí)間缨睡，對(duì)學(xué)生進(jìn)行海量刷題、大量培訓(xùn)和看書學(xué)習(xí)陈辱，事倍功半奖年，從而獲得家長(zhǎng)學(xué)生需要的短期利益，學(xué)校沛贪、老師拾并、培訓(xùn)機(jī)構(gòu)也名利雙收。
? 在一定程度上鹏浅，這其實(shí)是忽悠不明白數(shù)學(xué)教育沒有思維真相的吃瓜家長(zhǎng)和學(xué)生嗅义。對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，還要花費(fèi)不菲的家庭財(cái)力去進(jìn)行校內(nèi)校外培訓(xùn)隐砸，犧牲綜合學(xué)科之碗，但即便獲獎(jiǎng)，長(zhǎng)遠(yuǎn)看有多大效果季希？缺乏到位的思維方法思想方法熏陶的教育褪那，拼命灌輸知識(shí)進(jìn)行喂養(yǎng)，有術(shù)無道式塌，雕蟲小技不是大道博敬，靠海量刷題培養(yǎng)出來的學(xué)生，思想底蘊(yùn)不足峰尝，思維固化偏窝，在創(chuàng)新研究方面一般注定是后繼乏力，曇花一現(xiàn)武学，走不遠(yuǎn)的祭往，我們不是數(shù)學(xué)研究強(qiáng)國(guó)，數(shù)學(xué)研究水平很一般火窒，雖然國(guó)家投的研究費(fèi)用不少硼补。
? 廣大吃瓜群眾普遍不懂?dāng)?shù)學(xué)競(jìng)賽與數(shù)學(xué)研究的區(qū)別，另外我們是專業(yè)搞奧數(shù)競(jìng)賽熏矿，而其他國(guó)家是業(yè)余性質(zhì)已骇，我們的奧數(shù)成績(jī)是花費(fèi)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于其他國(guó)家選手的時(shí)間、刷題數(shù)量和金錢才取得的票编，所以我們的奧數(shù)成績(jī)好是虛假的褪储，具有欺騙性，沒有可比性栏妖。誤人子弟的數(shù)學(xué)教育通過題海戰(zhàn)術(shù)和專業(yè)系統(tǒng)的奧數(shù)培訓(xùn)乱豆，可以培養(yǎng)出數(shù)學(xué)競(jìng)賽機(jī)器奖恰，但培養(yǎng)不出數(shù)學(xué)研究大神(數(shù)學(xué)大師)吊趾，真正的數(shù)學(xué)大師不容易被誤人子弟的數(shù)學(xué)教育誤導(dǎo)宛裕，但我們本土幾十年還沒有看到這樣的數(shù)學(xué)大師。
? ? 題外話论泛。有人說揩尸，”有影響力的數(shù)學(xué)研究人員(數(shù)學(xué)大師)都是玩奧數(shù)出身”。這是偷換概念屁奏，他很可能在轉(zhuǎn)移話題忽悠廣大吃瓜群眾岩榆。照他的說法，可以說有影響力的數(shù)學(xué)大師都是靠吃飯坟瓢，因?yàn)槎家圆拍苌嬗卤摺３醯冉逃瑢?duì)數(shù)學(xué)有興趣的或數(shù)學(xué)成績(jī)比較好的人很多參加過奧數(shù)學(xué)過奧數(shù)折联，這自然包括后來成為數(shù)學(xué)大師的一些人粒褒。他可能在轉(zhuǎn)移這樣的話題：”為何我們本土玩奧數(shù)的那么多的學(xué)生，幾十年沒有一個(gè)成為數(shù)學(xué)大師?”诚镰。這樣轉(zhuǎn)移話題的人奕坟，一般都是奧數(shù)利益的獲益者，例如靠編寫奧數(shù)教材或奧數(shù)培訓(xùn)等獲取名利清笨。
? ? 肯定不能反對(duì)數(shù)學(xué)教育月杉，不反對(duì)奧數(shù)，反對(duì)的是以數(shù)學(xué)知識(shí)為中心抠艾，玩題海戰(zhàn)術(shù)苛萎，沒有多少數(shù)學(xué)思維熏陶訓(xùn)練的數(shù)學(xué)教育和奧數(shù)。
本人設(shè)想的數(shù)學(xué)思維體系
? 在<關(guān)于構(gòu)建通透系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維體系的暢想>中給出了本人理解的數(shù)學(xué)思維體系框架與架構(gòu)检号，也就是數(shù)學(xué)思維體系這個(gè)“大廈”應(yīng)該是怎樣的首懈。一個(gè)是靜態(tài)的功能框架，一個(gè)是動(dòng)態(tài)的運(yùn)行時(shí)框架(運(yùn)行時(shí)run-time谨敛，運(yùn)行時(shí)框架就是思考數(shù)學(xué)問題時(shí)的框架究履，就是解題實(shí)戰(zhàn)時(shí)所用的思維方法論總體框架)，如下脸狸。
? 從圖3可以看出最仑，從問題域到解決方案域之間是有鴻溝的，需要我們架設(shè)”橋梁”炊甲。而架設(shè)和支撐這座”橋梁”泥彤，需要各種資源、知識(shí)卿啡、經(jīng)驗(yàn)技巧吟吝，更重要的需要思維智慧，也就是掌握領(lǐng)悟思維方法論颈娜。
? 把這個(gè)框架的具體內(nèi)容按層次逐漸豐富難度不大剑逃，例如對(duì)其中的“思維方法”和“思想方法”浙宜，可以進(jìn)一步詳細(xì)講述聯(lián)想、類比等各種思維方法以及各種數(shù)學(xué)思想方法蛹磺。一些主要內(nèi)容在本人簡(jiǎn)書和頭條中已有草稿粟瞬，豐富之后就是比較通透系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維方法論。
解題舉例
? 數(shù)學(xué)變化之術(shù)和變化之器很多萤捆，遠(yuǎn)超孫悟空的72變誉尖，可以說不計(jì)其數(shù)蜀变，例如變化之術(shù)：重構(gòu)、重組、重表達(dá)柬甥、多元表征切換决侈、語義轉(zhuǎn)譯與引申超升、轉(zhuǎn)化数苫、轉(zhuǎn)換、變換昆雀、代換辱志、變形、配湊狞膘、割補(bǔ)揩懒、組合、分解等挽封。
? 重表達(dá)就是換另一種方式把事物重新表達(dá)&重新描述&重新刻畫已球。例如解析幾何的出現(xiàn)，可以理解為運(yùn)用了"變基"思想辅愿，以點(diǎn)的位置(坐標(biāo))為基礎(chǔ)而不是以長(zhǎng)度等為基礎(chǔ)來重新對(duì)幾何對(duì)象進(jìn)行表示與描述智亮。重表達(dá)往往肇始于不同的觀點(diǎn)與眼光，不同的場(chǎng)景需求点待，不同的something阔蛉。
? ? 這里講下語義轉(zhuǎn)譯在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，轉(zhuǎn)譯就像中英文翻譯一樣癞埠，把題目的意思換一種說法或推理引申一下状原。
? ? 本人簡(jiǎn)書和頭條內(nèi)容中的解法都是原創(chuàng)，作為數(shù)學(xué)業(yè)余人士苗踪，對(duì)研究如何思維感興趣颠区，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)沒興趣，因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)不難學(xué)通铲，難在如何思維毕莱。本人業(yè)余時(shí)間不多，沒時(shí)間也沒興趣學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，沒時(shí)間看數(shù)學(xué)書和數(shù)學(xué)參考資料朋截，在簡(jiǎn)書和今日頭條上寫的數(shù)學(xué)思維方面的文章主要是自己初高中自學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)的感悟蛹稍。
? ? 通過這一節(jié)的解題學(xué)習(xí)，體會(huì)下在思維層面和解題操作層面如何變化质和。
? 第一題
? 如圖4稳摄。
解：
? ? 第一問稚字，符合要求的集合可為：｛1,2,3,5,8｝
? ? 構(gòu)造這個(gè)集合時(shí)饲宿，選擇集合元素的策略就是遞歸使用a+b=c和a+b=c+d模式中的a、b胆描、c瘫想，排除d〔玻可見這是運(yùn)用與a+b=c+d模式相反相悖的反模式国夜。
? ? 第二問，根據(jù)題目描述短绸，“興奮”就是“a+b不等于c+d”车吹。“a+b不等于c+d”醋闭，這句話從表面理解窄驹，似乎沒有什么有助于我們解題的信息，顯然這句話不是廢話证逻，不能輕易放過它乐埠，要想法利用它來解題，但要利用上這個(gè)條件信息囚企，還需要對(duì)這句話做些深加工處理丈咐，如IT系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)挖掘一樣，要深入挖掘它蘊(yùn)含的內(nèi)在深意龙宏。
? ? 研幾入微棵逊，如果換一種形式的說法(轉(zhuǎn)譯)或稍微深入推理引申一下，就是:兩個(gè)數(shù)的“和”均不相同(不相等)银酗。既然“和”均不相等歹河，就可用組合計(jì)數(shù)得到(不同)“和”的個(gè)數(shù)，由“和”的個(gè)數(shù)可以估算最大和的范圍(最小值)花吟，故得到第二問的如下證明秸歧。
? 第二問的證明有數(shù)學(xué)公式，在手機(jī)上閱讀存在問題衅澈，故改為圖片键菱，如下。
第二題
題目如圖6。
原創(chuàng)方法如圖7经备。
? “反(返)者道之動(dòng)”拭抬、“曲則全,枉則直“，這道題侵蒙，思維運(yùn)動(dòng)變化造虎，辯證思維，從具體到抽象纷闺，從特殊到一般算凿，從整體到個(gè)體，從直接到間接犁功。在抽象氓轰、一般、個(gè)體層面研究清楚之后浸卦，再從抽象返回到具體署鸡，一般到特殊，個(gè)體(上升)到整體限嫌。螺旋式循環(huán)往復(fù)靴庆，進(jìn)退互化。契合辯證法的對(duì)立統(tǒng)一怒医，相互聯(lián)系炉抒，相互轉(zhuǎn)化，否定之否定裆熙。
? ? “弱者道之用”端礼，萬物負(fù)陰抱陽，有無相生入录，不能只看到陽的(明顯的蛤奥、可視的、容易感知的僚稿、剛強(qiáng)的)一面凡桥，“有”的一面，還要看到陰的(無形的蚀同、隱藏的等難以感知的對(duì)象缅刽、本質(zhì)、規(guī)律蠢络、玄機(jī)衰猛、柔弱的)一面，“無”的一面刹孔，例如幾何輔助線就是隱藏的啡省，屬陰。以柔克剛，柔弱勝剛強(qiáng)卦睹，研幾入微畦戒，尋隱覓無，從柔弱结序、柔軟障斋、微妙、(辯證法)矛盾徐鹤、無形垃环、隱藏處入手，從特征豐富處入手凳干，尋找問題突破口進(jìn)行變化晴裹，化隱為顯被济，化解矛盾救赐，變中求機(jī)(玄機(jī))。對(duì)這道題只磷，直接對(duì)整體求和比較困難经磅，看不清整體，所以先切換思維視角钮追，以退為進(jìn)预厌，退轉(zhuǎn)到研究個(gè)體|aj-ai|及其在所有排列中出現(xiàn)的次數(shù)，對(duì)個(gè)體的相關(guān)研究相對(duì)容易些元媚。從這題先從具體退轉(zhuǎn)變化到抽象轧叽，從特殊轉(zhuǎn)到一般，因?yàn)閷?duì)這題刊棕，感覺從抽象炭晒、一般情況入手反而簡(jiǎn)潔一些。
? ? 在這道題的思維過程中甥角，對(duì)思維視角的變化再補(bǔ)充一些闡述网严，如下圖8。
? 第三題
這題改編自北大強(qiáng)基題嗤无。
求
。
解
這道題嚎卫，先直覺猜想找突破口嘉栓，就是”用弱”。再換元，構(gòu)造一元二次方程胸懈，這些都是在不停地變化担扑。
第四題
解法如下圖。
? 數(shù)學(xué)思維趣钱，需要直覺涌献，也需要感覺。首先觀察圖形首有，感覺和識(shí)別問題中的痛點(diǎn)燕垃、矛盾、不和諧井联、不美的地方卜壕。可以感覺到三角形ADE烙常、BCE形狀轴捎、位置都不便于解題，看圖蚕脏，根據(jù)圖形直觀侦副，容易從ADE想到ADC，從BCE想到ABC驼鞭，想到這些秦驯，在心理上應(yīng)該有預(yù)感或預(yù)見這樣合情變化會(huì)比較靠譜。面積相減為7挣棕，這樣相減之后译隘，得到的關(guān)系就有美感，根據(jù)三角形面積的定義最終得出線段乘積關(guān)系洛心。
? 這道題的解法固耘，涉及到幾何對(duì)象的等量代換，代數(shù)式的等量代換比較單純純粹皂甘，就是數(shù)量上的代換玻驻，而幾何對(duì)象的等量代換除了數(shù)量上的代換，還涉及幾何對(duì)象的位置移動(dòng)轉(zhuǎn)移偿枕、關(guān)系的傳遞與轉(zhuǎn)移璧瞬。從DP代換為QA，AC代換為AB渐夸，AB代換為BT可以看出嗤锉，DP轉(zhuǎn)移到QA位置，AC轉(zhuǎn)為AB墓塌，AB轉(zhuǎn)為BT瘟忱。位置轉(zhuǎn)移之后奥额，產(chǎn)生了新的幾何意義：新的幾何模型(結(jié)構(gòu))和幾何關(guān)系。
? 就像我們居家要注意風(fēng)水访诱，包括家具的位置擺放垫挨。風(fēng)水存在，辯證地看触菜，常人能理解的那一部分就是環(huán)境科學(xué)九榔，超出環(huán)境科學(xué)的那一部分也是有的，但真正懂這一部分的人極少涡相，幾乎都是忽悠吃瓜群眾哲泊。幾何題或者說數(shù)學(xué)題也有“風(fēng)水”，在幾何圖形圖形中催蝗，幾何對(duì)象的方位(位置切威、方向)及其結(jié)構(gòu)很重要，同一個(gè)角度丙号、線段先朦、圖形，放在不同的位置槽袄，就有不同的結(jié)構(gòu)和關(guān)系烙无。要注意感覺幾何問題中幾何對(duì)象結(jié)構(gòu)包括方向锋谐、位置的不和諧不理想之處或痛點(diǎn)遍尺，再進(jìn)行結(jié)構(gòu)調(diào)整改造，包括轉(zhuǎn)移移動(dòng)改變幾何對(duì)象的方向涮拗、位置(方位)乾戏，調(diào)整位置的手段較多，例如各種幾何變換(平移三热、旋轉(zhuǎn)鼓择、對(duì)稱、...)就漾，平行(移動(dòng)轉(zhuǎn)移角的位置)呐能、構(gòu)造全等、造相似抑堡、造相等關(guān)系摆出、…。
? 在先前的《幾何結(jié)構(gòu)位置關(guān)系的和諧化分析與調(diào)整 》一文中首妖，對(duì)幾何中的“位置”(方位)”調(diào)整曾作過一些闡釋偎漫。
? 物理世界中的位置(方位)調(diào)整，是物體自身的調(diào)整有缆，例如把桌子移動(dòng)到新位置后象踊，舊位置就沒有這張桌子了温亲，而幾何對(duì)象的位置調(diào)整，是針對(duì)幾何對(duì)象的拷貝(復(fù)制杯矩、鏡像或?qū)\生栈虚、替身），是通過等量關(guān)系的傳遞來進(jìn)行的史隆。例如把AB線段移動(dòng)到新位置节芥，是在新位置創(chuàng)造了一條與AB線段長(zhǎng)度相等的新線段(這個(gè)新線段就是AB的替身，它們倆具有長(zhǎng)度相等的等量關(guān)系)或有一定長(zhǎng)度關(guān)系(例如二分之一)的新線段逆害，AB線段還在舊位置头镊。
? 學(xué)過生物和化學(xué)后，我們對(duì)“結(jié)構(gòu)決定功能和性質(zhì)”這句話有深刻的理解魄幕，應(yīng)該不會(huì)陌生相艇，“結(jié)構(gòu)決定功能和性質(zhì)”，這是調(diào)結(jié)構(gòu)變位置的底層邏輯纯陨，也就是說坛芽，我們?nèi)绻枰承┕δ芑蛐再|(zhì)，就要有對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)翼抠。沒有條件時(shí)要?jiǎng)?chuàng)造條件咙轩，條件不適宜時(shí)要改造條件、轉(zhuǎn)化條件阴颖，如果在沒有對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)的情況下活喊，按需而變，就要改造調(diào)整舊結(jié)構(gòu)產(chǎn)生與需要的功能或性質(zhì)對(duì)應(yīng)的新結(jié)構(gòu)量愧。
? 不只是在幾何問題中钾菊，位置與結(jié)構(gòu)在代數(shù)中也是需要多加關(guān)注和研究的。
第5題
? 如下圖偎肃，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1煞烫，以C為圓心，CB為半徑作四分之一圓累颂。M為弧BD上的動(dòng)點(diǎn)滞详。線段AM繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度后得到線段MN。求三角形CMN面積的最大值紊馏。
解法如下圖料饥。
? 思維過程：求三角形CMN面積的最大值，由于CM=1瘦棋，故轉(zhuǎn)化為求CM對(duì)應(yīng)高的最大值稀火。作高NP，求其最大值赌朋。但現(xiàn)實(shí)情況是NP的兩個(gè)端點(diǎn)N凰狞、P都是動(dòng)點(diǎn)篇裁，導(dǎo)致不好求最大值，如果有一個(gè)定點(diǎn)就好了(美好的理想)赡若，且NP和周邊的線段之間不存在便于我們求最大值的結(jié)構(gòu)达布，也就是NP的位置、結(jié)構(gòu)不好逾冬，不和諧黍聂。NP的兩個(gè)端點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn)，NP的位置身腻、結(jié)構(gòu)不好产还，這些都是痛點(diǎn)，都是讓人感覺不爽的(辯證法)矛盾嘀趟，理想與現(xiàn)實(shí)的矛盾(差異)脐区，已知條件與所求(結(jié)論)的矛盾。
? 正是這些痛點(diǎn)和矛盾導(dǎo)致題目有難度她按，如何轉(zhuǎn)化牛隅、化解、改造矛盾酌泰？也就是如何變化媒佣？
? 上面用矛盾分析法得到了矛盾的所在，得到了矛盾的具體內(nèi)容和特點(diǎn)：N陵刹、P都是動(dòng)點(diǎn)默伍、NP位置結(jié)構(gòu)不好。如何變化授霸？那就要進(jìn)行調(diào)整改造巡验，想法產(chǎn)生一個(gè)定點(diǎn)，想法改變NP的位置碘耳、結(jié)構(gòu)。
? 如何實(shí)現(xiàn)我們的這些想法(需求)和意圖(目標(biāo))框弛？
? 還是"用弱"：矛盾分析辛辨，特征驅(qū)動(dòng)，按需而變瑟枫，順勢(shì)而為斗搞。觀察圖形，兩個(gè)角NPM慷妙、AMN均為90度僻焚，這就是特征，根據(jù)特征相似聯(lián)想模式識(shí)別膝擂，敏銳地發(fā)現(xiàn)圖中存在一線三等角模型虑啤，這就是見微知著隙弛，小中見大，見微知著狞山，”微”是局部是征兆是蛛絲馬跡全闷，也是趨勢(shì)的縮影，”著”是整體是大趨勢(shì)萍启。這里总珠，兩個(gè)直角NPM、AMN是微勘纯，是蛛絲馬跡局服，是局部，從局部相似聯(lián)想驳遵，想到著腌逢，想到整體：一線三等角模型。大腦中心中想到整體之后超埋，但紙面上的題目中還沒有整體搏讶，和整體比較一下，紙面上還少一個(gè)直角霍殴，那就作AQ垂直于CM產(chǎn)生第三個(gè)直角AQM媒惕，完形補(bǔ)美，把整體補(bǔ)全把模型補(bǔ)全来庭，縮小與整體(此處的一線三等角模型就是整體)的差異妒蔚。
? 構(gòu)造產(chǎn)生完整的一線三等角模型后，出現(xiàn)全等或相似模式月弛，此題是全等肴盏。這就把NP調(diào)整到QM，可以理解為通過全等構(gòu)造帽衙，把NP移動(dòng)搬家到QM位置菜皂。直觀感覺，也就是眼睛一看就感覺QM位置比NP位置好厉萝，因?yàn)镼M與CM結(jié)合(組合)后產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)模型CQ中恍飘，C是定點(diǎn)(有定點(diǎn)就比較便于求最值)，Q是動(dòng)點(diǎn)谴垫，CM是定值1章母，故求QM的最大值就轉(zhuǎn)化為求CQ的最大值，而CQ的最大值容易求翩剪。角AQC為直角乳怎，QC都在以AC為直徑的圓上，圓上兩點(diǎn)距離最大為直徑前弯，故CQ最大為AC蚪缀。這些都是變化秫逝，變化之功的神妙。
? 此處提一下本人在簡(jiǎn)書文章<數(shù)學(xué)思想方法揭秘-1(續(xù))>(http://www.reibang.com/p/f41096a705f5 )中的”功能思想”椿胯。學(xué)習(xí)知識(shí)筷登，包括學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，要注意領(lǐng)會(huì)知識(shí)的作用(用處)和功能哩盲，例如全等模式有調(diào)整前方、轉(zhuǎn)移&移動(dòng)幾何對(duì)象(線段、角度)方位(位置廉油、方向)的功能惠险，柯西不等式有去根號(hào)的功能和交叉相乘(向量數(shù)量積)的功能，作平行線有角度轉(zhuǎn)移功能和比例關(guān)系構(gòu)造功能抒线，各種幾何變換也有對(duì)應(yīng)的功能班巩。而各種數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)應(yīng)的功能，數(shù)學(xué)教材和參考書是不會(huì)把這些功能講透告訴學(xué)生的嘶炭，目前要靠學(xué)生自己意識(shí)到這些功能抱慌，靠明眼人捅破窗戶紙告訴他們，因?yàn)閿?shù)學(xué)教育界沒有認(rèn)識(shí)到功能思想眨猎，先前沒有人明確提出功能思想抑进。
? 如果事先意識(shí)到全等的功能，對(duì)這道題睡陪，當(dāng)我們需要實(shí)現(xiàn)NP的位置轉(zhuǎn)移時(shí)寺渗，就能較快地想到構(gòu)造全等這個(gè)實(shí)現(xiàn)途徑：構(gòu)造AQM全等于MPN±计龋可以繞過一線三等角模型信殊，從而實(shí)現(xiàn)NP的位置轉(zhuǎn)移，等量替換汁果，轉(zhuǎn)移到QM涡拘，這也是在變化的實(shí)操層面按需而變，位置轉(zhuǎn)移就屬于運(yùn)動(dòng)變化须鼎。
? 先前的簡(jiǎn)書和頭條文章講過思維方法和思想方法在解題中的總體作用鲸伴，它們可讓我們?nèi)菀椎馗咝У亍跋氲健保苊獬霈F(xiàn)思維障礙晋控。各種思維方法例如聯(lián)想類比等，它們主要用來啟發(fā)指導(dǎo)我們的思維形式：怎么想姓赤。而數(shù)學(xué)思想方法主要啟發(fā)指導(dǎo)我們的思維內(nèi)容：想什么赡译、該做什么、怎么做(抽象層面的怎么做不铆，具體層面的怎么由數(shù)學(xué)知識(shí)來負(fù)責(zé))蝌焚、怎么變裹唆、變什么坡倔、怎么看(思維眼光)舍咖、看什么。當(dāng)然具體的思維活動(dòng)主经，一般是綜合多種思維方法和多種思想方法毕谴，思維方法和思想方法是水乳交融結(jié)合在一起的成畦。
? 有多種思維方法，也有多種思想方法涝开，如何選用它們循帐？首先從總體上區(qū)分，思維方法偏思維形式舀武，思想方法偏思維內(nèi)容拄养。再具體到每種思維方法和思想方法，它們每個(gè)都有適用的場(chǎng)景和上下文银舱，多學(xué)習(xí)揣摩它們的適用場(chǎng)景瘪匿。碰到問題時(shí)，要根據(jù)問題的類型寻馏、特征棋弥、暗示、當(dāng)前的矛盾和意圖想法選用匹配的思維方法和思想方法操软。再不濟(jì)就遍歷選用嘁锯，一個(gè)個(gè)嘗試，不行切換到下一個(gè)聂薪，或組合在一起使用家乘，或調(diào)整使用順序。
? ? 淺顯的例子藏澳，當(dāng)碰到無法統(tǒng)一處理的問題時(shí)仁锯，”無法統(tǒng)一處理”這個(gè)特征暗示我們要運(yùn)用分類思想，我們自然想到運(yùn)用分類思想翔悠，進(jìn)行分類討論业崖。
? 前面講過數(shù)學(xué)思維中的道法術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)具有激活、組織蓄愁、調(diào)控双炕、解釋、篩選撮抓、創(chuàng)新(發(fā)明發(fā)現(xiàn))作用妇斤。
? 例如這道題，如果熟悉功能思想，事先知道幾何全等的功能站超，碰到這題荸恕，應(yīng)用矛盾分析法知曉這道題中的矛盾之后，就能依靠功能思想比較自然地自覺地激活我們大腦中沉睡的幾何全等數(shù)學(xué)知識(shí)死相，啟發(fā)指導(dǎo)我們通過構(gòu)造全等三角形來轉(zhuǎn)移NP的位置融求，最終化解矛盾∷愦椋可見構(gòu)造全等不是無源之水生宛，不是突發(fā)奇想，是合情合理钮惠，有一定的邏輯性的茅糜，有時(shí)結(jié)合靈感、直覺素挽。
? 再比如蔑赘，方程思想在思想意識(shí)上啟發(fā)我們列方程，產(chǎn)生列方程的念頭(這個(gè)念頭就是思維內(nèi)容)预明，這就激活了我們大腦中沉睡的方程知識(shí)缩赛。大腦中先前沒有列方程的念頭，到有這個(gè)念頭撰糠，這就是變化酥馍，大腦的思維運(yùn)動(dòng)變化；由心到行阅酪，在紙面上或黑板上列出方程旨袒，這就是行動(dòng)操作上的變化和思維客體上的變化。
? 數(shù)學(xué)由于其本質(zhì)復(fù)雜性术辐，較多倚重靈性思維智慧和悟性砚尽，有難度是肯定的可以理解的，主要難在如何思維如何創(chuàng)新辉词，不在學(xué)習(xí)知識(shí)必孤，但缺乏通透系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維方法論，我們幾乎沒有數(shù)學(xué)思維明師啟迪熏陶學(xué)生的數(shù)學(xué)思維瑞躺，不到位的思維訓(xùn)練讓學(xué)生們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特別是數(shù)學(xué)解題難上加難敷搪，這些額外增加的難度是偶發(fā)復(fù)雜性，是人為因素人的原因?qū)е碌拇鄙冢绻兴季S方法論明師是可以在較大程度上消除減輕的赡勘，而本質(zhì)復(fù)雜性是數(shù)學(xué)固有的，難以通過人為努力來消除捞镰。由于思維訓(xùn)練不到位狮含，對(duì)思維訓(xùn)練有心無力顽悼，老師和家長(zhǎng)為了補(bǔ)救只能是靠花費(fèi)學(xué)生的較多時(shí)間搞題海戰(zhàn)術(shù)曼振，大量刷題和培訓(xùn)几迄，事倍功半，短期有些成效冰评，長(zhǎng)遠(yuǎn)看誤人子弟映胁。
? 前面講過我們的數(shù)學(xué)教育界和學(xué)術(shù)界(數(shù)學(xué)專業(yè)研究)不僅在數(shù)學(xué)知識(shí)數(shù)學(xué)理論方面創(chuàng)新能力不足，在數(shù)學(xué)思維方法論方面也缺乏開拓創(chuàng)新甲雅，思想僵化解孙，拾人牙慧，人云亦云抛人，我們?nèi)狈ψ銐蛲ㄍ赶到y(tǒng)的數(shù)學(xué)思維方法論弛姜，還有較多普適的數(shù)學(xué)思想方法等待挖掘整理提煉。
? 本人喜歡自學(xué)也提倡自學(xué)妖枚，高中數(shù)學(xué)廷臼、物理完全自學(xué)，效果很好绝页。老師上課時(shí)我就在自學(xué)荠商，不聽老師講課，也不做老師布置的高中數(shù)學(xué)作業(yè)续誉，除了數(shù)學(xué)考試莱没，所以自學(xué)并沒有花費(fèi)多少課外的時(shí)間。初中數(shù)學(xué)也較多自學(xué)酷鸦。小初高11年從沒有經(jīng)歷過數(shù)學(xué)培訓(xùn)(那時(shí)的農(nóng)村也沒培訓(xùn))饰躲，也沒有老師和其他人額外指點(diǎn)。由于自學(xué)沒花費(fèi)多少課外時(shí)間臼隔，所以在高中還有時(shí)間看較多佛道嘹裂、氣功、飛碟等和學(xué)習(xí)無關(guān)的書籍躬翁。受條件所限焦蘑，當(dāng)時(shí)能找到的數(shù)學(xué)參考書很少，含有數(shù)學(xué)思維數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)容的書更少盒发，即便有例嘱，這些內(nèi)容也不系統(tǒng)不通透，補(bǔ)救措施是在閱讀和解題中自己提煉領(lǐng)悟宁舰，不斷構(gòu)建完善自己的數(shù)學(xué)思維方法論體系拼卵，不只是數(shù)學(xué)知識(shí)體系。
? 作為數(shù)學(xué)業(yè)余人士蛮艰，以高中自學(xué)時(shí)領(lǐng)悟的數(shù)學(xué)思維方法論為主體腋腮，總結(jié)提煉出了關(guān)系思想、功能思想、有無思想即寡、賦義思想徊哑、調(diào)和思想、融合思想聪富、變基思想莺丑、中介思想等新的數(shù)學(xué)思想方法，提出了數(shù)學(xué)思維方法論體系框架墩蔓，在簡(jiǎn)書和今日頭條上發(fā)表了相關(guān)的部分內(nèi)容梢莽。
? 數(shù)學(xué)思想方法具有一定的普適性、重用性奸披，那如何提煉發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)思想方法昏名，這和語文學(xué)科中的概括提煉能力是相通的，在解題后的反思過程中把你思考數(shù)學(xué)問題時(shí)的一些有價(jià)值的想法梳理出來阵面，看看哪些是現(xiàn)有思想方法沒有涵蓋到的轻局，如果覺得它們具有一定的普適性重用性，那就可以進(jìn)一步挖掘其內(nèi)涵膜钓，對(duì)它進(jìn)行定義取名嗽交，例如X思想方法。
? 提煉數(shù)學(xué)思想方法颂斜，要注意多學(xué)科融合交叉夫壁，從眾多學(xué)科和領(lǐng)域包括日常生活、佛道經(jīng)典沃疮、哲學(xué)盒让、物理、化學(xué)司蔬、生物邑茄、兵法、心理學(xué)俊啼、認(rèn)知學(xué)肺缕、思維學(xué)、IT軟硬件領(lǐng)域授帕、建筑領(lǐng)域等吸取營(yíng)養(yǎng)同木，多學(xué)科融合就容易產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)科之間在形而上的層面有些是相通的共同的跛十。還包括語文彤路， 有些數(shù)學(xué)思想方法就體現(xiàn)在成語中，或你提煉思想方法時(shí)芥映，用幾句成語就精辟簡(jiǎn)潔地概括了思想方法的內(nèi)涵洲尊。
? 這涉及到的關(guān)鍵詞有：形而上远豺、本質(zhì)、核心坞嘀、精華躯护、抽象、升華姆吭、提煉榛做、萃取、層次内狸、普適性。
第6題
證明方法如下圖厘擂。
? 上圖中的證法昆淡，”計(jì)算思想”在這題中作為總體的主導(dǎo)思想，起到統(tǒng)攝作用刽严，把線段昂灵、角度、關(guān)系算出來舞萄，表達(dá)出來眨补。因?yàn)橛^察圖形，審題之后倒脓，發(fā)現(xiàn)&感覺這題具有鮮明的豐富的”可計(jì)算”特征撑螺，所以選用”計(jì)算思想”作為總體思想。
? 這個(gè)證法崎弃，其他思想方法：模型思想甘晤、關(guān)系思想、構(gòu)造思想饲做、方程思想為輔线婚。
? 倍長(zhǎng)中線起到轉(zhuǎn)移線段、角度位置的作用盆均，這題通過倍長(zhǎng)中線把BA轉(zhuǎn)移調(diào)整到AM位置塞弊，產(chǎn)生便于解題的幾何結(jié)構(gòu)模型和關(guān)系。模式識(shí)別泪姨，由F點(diǎn)處的星形特征游沿，模式識(shí)別，自然就聯(lián)想到賽瓦定理驴娃。
第7題
方法如下圖奏候。
? 如上圖，通過放縮唇敞，求得取值范圍為[ 2 ,5/2 )蔗草。
? 初高中乃至大學(xué)本科的數(shù)學(xué)知識(shí)不難學(xué)咒彤，不難自學(xué)。初高中的那點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)也沒啥用咒精，偏重灌輸數(shù)學(xué)知識(shí)镶柱，偏重刷題而不反思不提煉解題過程中的思維方法和思想方法是買櫝還珠，舍本逐末模叙。對(duì)每道有價(jià)值的題歇拆，需要體會(huì)&回味在探索解題方法過程中蘊(yùn)含的思維之道(思維技術(shù)與思維藝術(shù)，思維方法和思想方法)范咨，這才能達(dá)到通過解題來熏陶鍛煉數(shù)學(xué)思維的目的故觅。不如此，就象我們的初高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)模式渠啊，靠海量刷題和培訓(xùn)雖然能讓一些學(xué)生競(jìng)賽獲獎(jiǎng)输吏，但長(zhǎng)遠(yuǎn)看來這些競(jìng)賽獲獎(jiǎng)?wù)撸幢阋院笥幸恍氖聰?shù)學(xué)研究的替蛉，幾乎都泯然眾人矣贯溅，成就不大，因?yàn)槲覀兣囵B(yǎng)出來的數(shù)學(xué)研究人才沒有多少思想底蘊(yùn)躲查，有術(shù)無道它浅，綜合知識(shí)面偏窄，如果還不自知镣煮，自然注定難以走遠(yuǎn)姐霍。
? “勢(shì)”往往是隱隱約約的隱藏的，當(dāng)然也有比較明顯的怎静。對(duì)這道題邮弹，要有直覺&感覺，要能感覺到蚓聘、洞察或預(yù)見到題目中的“勢(shì)”(取勢(shì))腌乡。勢(shì)就是事物中潛藏的或顯露的“力”或“力”的作用，它有大小和方向夜牡。數(shù)學(xué)題中的“勢(shì)”就是條件和結(jié)論中或顯或隱的各種特征与纽、暗示、(辯證法)矛盾塘装、呼之欲出的預(yù)勢(shì)&(未來)趨勢(shì)急迂。
? "勢(shì)“的順逆分析與直覺審美”碾龋可以感覺到有的“勢(shì)”具有和諧感僚碎，有益于解題，而有的“勢(shì)”具有違和感阴幌，妨礙解題勺阐。洞察數(shù)學(xué)題中的“勢(shì)”卷中，進(jìn)行順逆分析之后，對(duì)“順勢(shì)”渊抽，通常是順應(yīng)它蟆豫，合情合理地順勢(shì)而為&預(yù)勢(shì)而為&乘勢(shì)而為，而對(duì)“逆勢(shì)”懒闷，通常是同化它十减，合情地變勢(shì)，化解消除或轉(zhuǎn)化改造“逆勢(shì)”愤估。如果缺少勢(shì)帮辟，還需要造勢(shì)，例如幾何題作輔助線可以認(rèn)為是造勢(shì)補(bǔ)其不足(補(bǔ)原有幾何圖形的不足灵疮，也是化解逆勢(shì))织阅，再比如設(shè)想數(shù)學(xué)模式&構(gòu)造數(shù)學(xué)模式或模型也是造勢(shì)，例如初中求15度的正弦值震捣，我們根據(jù)辯證法聯(lián)系觀、整體觀&系統(tǒng)觀闹炉，數(shù)形結(jié)合蒿赢，以形助數(shù)，見微知著構(gòu)造含有15度角的直角三角形渣触，這就是造勢(shì)：一滴水只有回到大海大河中才不容易干涸羡棵，把15度角(個(gè)體，是微小的局部的對(duì)象)置于直角三角形這個(gè)大模型嗅钻、大系統(tǒng)中借勢(shì)乘勢(shì)皂冰，依托借助模型系統(tǒng)的“勢(shì)”進(jìn)行系統(tǒng)地思考，辯證法聯(lián)系觀养篓，陌生與熟悉&難與易&未知與已知相互聯(lián)系相互轉(zhuǎn)化秃流，再構(gòu)造30度角(30度是熟悉的、容易的柳弄、已知的)求出15度的正弦值舶胀。用幾何法求18度的正弦值也與此類似。
? 對(duì)這道題要有大小比較&估值碧注、排序嚣伐、數(shù)量級(jí)意識(shí)，還要有辯證法中抓主要矛盾萍丐，抓矛盾的主要方面的意識(shí)轩端，識(shí)別主要矛盾也屬于“明勢(shì)、取勢(shì)”逝变。
? 觀察題目之后基茵，可感覺可大小比較發(fā)現(xiàn)a/a+b,c/c+d這兩個(gè)數(shù)才是矛盾的主要方面奋构，它們是大數(shù)，是決定取值范圍的主要的關(guān)鍵的因素(對(duì)象)耿导，它們?cè)谌≈抵姓即箢^声怔，這就是“取勢(shì)”。取勢(shì)之后順勢(shì)而為舱呻，順應(yīng)主要因素醋火，凸顯它的地位，那就要把它往大的方向放縮箱吕，就要分離出它的”大”芥驳，就是順應(yīng)，分離出&析出它含有的大(為1)茬高，析大顯微兆旬。例如求上限時(shí)，將a/a+b變形為1-b/a+b怎栽，就是析大顯微丽猬，分離出了“大”(為1)和微末(-b/a+b)，如化學(xué)中的溶質(zhì)萃取熏瞄，也有換元法的增量代換的意味脚祟。之后結(jié)合極限思想就可大致猜測(cè)范圍上限為1+1+1/2=5/2，也嚴(yán)謹(jǐn)?shù)厍蟮昧舜松舷蕖?/p>
? 估算范圍下限强饮，特殊值法和極端思想由桌，令四個(gè)數(shù)相等，和為2邮丰。
? 另外把分子為b的兩個(gè)分式綁在一起組合在一起相減行您，分子為d的兩個(gè)分式綁在一起相減，還有a-c公因式剪廉，這就是觀察發(fā)現(xiàn)共性娃循，而共性中有美感，有簡(jiǎn)潔美統(tǒng)一美妈经。以美啟真淮野，跟著美感走，跟著感覺走吹泡，指引我們變化骤星。
第8題
方法如下圖。
? 通過這道題爆哑，要升華我們的思維觀念與意識(shí)洞难，特別是變化觀與道隱無名的觀念。辯證法就是變化法揭朝，它告訴我們要變化队贱，要靈活地辯證思維色冀，要注意矛盾的對(duì)立統(tǒng)一，相互聯(lián)系相互轉(zhuǎn)化(互聯(lián)互化)柱嫌。
? 如果學(xué)習(xí)過金剛經(jīng)和道德經(jīng)锋恬，”無我相，無人相编丘，...”和金剛經(jīng)的三段論模式："說...即非...是名..."与学、“道隱無名”。就知曉：不著相嘉抓、變化的多樣性索守、無常(多變性)、緣起性空抑片，無自性&空性卵佛。才能具有較為透徹的變化觀。
? 索隱探幽敞斋，尋隱識(shí)無截汪，有無相生，無中生有植捎，出有入無挫鸽，化隱為顯。碰到問題鸥跟，要研究洞察其內(nèi)隱模式，多想想其內(nèi)隱的哪一部分是什么盔沫，內(nèi)隱模式是怎樣的医咨，數(shù)學(xué)問題的隱身模式見本人頭條文章<數(shù)學(xué)思維之道隱無名與有無思想>。
數(shù)學(xué)思維中用弱(懷柔)與用強(qiáng)(持強(qiáng))的初步解讀
? “用弱“與“用強(qiáng)”是辯證法的一對(duì)矛盾范疇架诞，對(duì)立統(tǒng)一拟淮。理解了”有無”思想(有生于無)、形而上與形而下谴忧、思維與知識(shí)很泊，心與物，基本就明白”用弱”與”用強(qiáng)”的區(qū)別與聯(lián)系沾谓。
? 用弱：偏向形而上委造、偏向思維智慧(心意識(shí))、思想均驶、謀略手段昏兆、智巧、軟件妇穴。它們的特性一般是內(nèi)隱的爬虱、難以捉摸的隶债、微妙的、無形無定形跑筝、無相死讹、勞心的、善變的曲梗、靈性靈活的赞警、善于順應(yīng)本質(zhì)的、順勢(shì)而變(為)&無為稀并、看似柔弱柔軟仅颇、看似虛無的。
? “弱者道之用”碘举，在解決數(shù)學(xué)問題的思維活動(dòng)中忘瓦，從簡(jiǎn)單的、簡(jiǎn)潔的引颈、薄弱的耕皮、熟悉的、關(guān)鍵(核心)的蝙场、主要矛盾集中的凌停、不和諧的、特征豐富明顯的地方入手售滤，這些都是“用弱”罚拟。
? 數(shù)學(xué)思維之道最能代表思維之道，從動(dòng)態(tài)的視角來看完箩，思維之道是大腦內(nèi)的思維運(yùn)動(dòng)變化之道赐俗，它與庖丁解牛之道等諸多事理均契合“反者道之動(dòng)，弱者道之用”這個(gè)普適規(guī)律弊知，都是柔弱勝剛強(qiáng)阻逮，因勢(shì)利導(dǎo)，順應(yīng)規(guī)律秩彤，不要硬剛叔扼，這樣才能游刃有余。
? 用強(qiáng)：偏向形而下漫雷、偏向知識(shí)瓜富、行動(dòng)、蠻力珊拼、物質(zhì)食呻、工具器物、硬件。它們的特性往往是實(shí)在的仅胞、外顯有形的每辟、可視的、容易掌握理解的干旧、勞力的渠欺、固化的、有為椎眯、看似剛強(qiáng)的挠将。
? “上善若水，水善利萬物而不爭(zhēng)编整。處眾人之所惡舔稀，故幾于道”。思維智慧掌测、思維之道如水内贮，思維是內(nèi)隱的，看似無形無相汞斧，看似柔弱夜郁，但柔弱勝剛強(qiáng)，心生萬法粘勒，心生萬物竞端，各種數(shù)學(xué)知識(shí)就是思維活動(dòng)創(chuàng)造(發(fā)明發(fā)現(xiàn))出來的。
? 在前面講的數(shù)學(xué)思維運(yùn)動(dòng)變化的道法術(shù)器4個(gè)層次中庙睡，從道到法到術(shù)到器事富，逐步從偏向用弱到偏用強(qiáng)，特別是變化之器乘陪，就是各種數(shù)學(xué)知識(shí)赵颅，它們是解決數(shù)學(xué)問題的利器，強(qiáng)有力的工具暂刘。沒有掌握足夠的數(shù)學(xué)知識(shí)，即便思維能力強(qiáng)捂刺，巧婦難為無米之炊谣拣，碰到問題，往往一時(shí)也無可奈何族展。所以有時(shí)你做不出某道題而別人能做出來森缠，可能并不是你的數(shù)學(xué)思維能力比他差，而是這道題用的數(shù)學(xué)知識(shí)你沒有學(xué)過仪缸，而他學(xué)過贵涵，他的數(shù)學(xué)知識(shí)比你豐富，比你刷的題多，比你見的題型多宾茂，解題經(jīng)驗(yàn)多瓷马，這也是題海戰(zhàn)術(shù)的底層邏輯，靠這個(gè)來彌補(bǔ)思維能力弱造成解題能力弱的短板跨晴。
? “勞心者治人欧聘，勞力者治于人”，在解決數(shù)學(xué)問題的過程中端盆，思維才是核心怀骤、主人主導(dǎo)者冤馏、統(tǒng)帥指揮和智慧的靈魂感挥，思維智慧如水一樣，無孔不入尋找問題突破口(用弱)圣蝎，如水一樣柔和無定形焚鹊，善變智巧痕届，順勢(shì)而為，隨物賦形順應(yīng)問題本質(zhì)寺旺，靠它激活爷抓、統(tǒng)攝、組織阻塑、編排蓝撇、解釋、調(diào)度陈莽、創(chuàng)造（發(fā)明&發(fā)現(xiàn)）渤昌、篩選（選擇）各種數(shù)學(xué)知識(shí)來解決問題，利用數(shù)學(xué)知識(shí)走搁，把數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為解題能力独柑。一些學(xué)生掌握了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，但在解決數(shù)學(xué)問題的當(dāng)下就是想不出解題方法私植，想不起來使用哪些數(shù)學(xué)知識(shí)忌栅。眾所周知，這往往是”用弱” (思維能力)的功夫修煉不夠曲稼。思維智慧思維方法論是解題方法之母索绪，不知母，焉知子贫悄，當(dāng)然就不容易想出解題方法瑞驱。數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域缺少足夠通透系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維方法論是客觀原因。
? 用弱與用強(qiáng)和諧結(jié)合協(xié)調(diào)發(fā)展窄坦，不可偏廢唤反，思維能力生長(zhǎng)與知識(shí)體系構(gòu)建需要兼顧發(fā)展凳寺。
變化論和構(gòu)成論，變化模式與內(nèi)隱模式
? 變化彤侍，有破有立肠缨，有生有滅，生滅相續(xù)拥刻。變化論(生成怜瞒、泯滅)是基于動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，而構(gòu)成論是靜態(tài)的般哼，實(shí)踐運(yùn)用中應(yīng)該注重變化論與構(gòu)成論結(jié)合吴汪。
? 運(yùn)用變化論，多探究來龍去脈蒸眠，問問能變出什么漾橙、能生成什么(生成演化)、是由什么變化而來的(溯源)楞卡，變化模式(生成模式和泯滅模式)是怎樣的霜运？如何發(fā)現(xiàn)或預(yù)見變化模式，如何合情合理地構(gòu)想出變化模式蒋腮？
? 世事洞明皆學(xué)問淘捡，但道隱無名，萬事萬物中的道是無形的池摧，隱身的焦除，常人沒有慧眼是難以洞察的。內(nèi)隱模式前面已講過作彤，具體內(nèi)容不重復(fù)了膘魄。
補(bǔ)充閱讀
? 本文引用了到道德經(jīng)、哲學(xué)辯證法竭讳、佛經(jīng)创葡、易經(jīng)的一些內(nèi)容，閱讀本文绢慢，需要具有一定的文化底蘊(yùn)灿渴，因?yàn)闃?gòu)建通透系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維方法論需要眾多學(xué)科融合，本人在簡(jiǎn)書和今日頭條上的系列數(shù)學(xué)思維文章胰舆，基本上都具有類似的要求逻杖，有些文章還涉及到軟件設(shè)計(jì)、物理思瘟、化學(xué)、生物闻伶、思維學(xué)滨攻、心理學(xué)、認(rèn)知學(xué)、兵法光绕、刑偵女嘲、語文的一些思想和核心內(nèi)容。
? ? 閱讀者如果碰到不懂的內(nèi)容诞帐，可以自行延伸去補(bǔ)充學(xué)習(xí)相關(guān)內(nèi)容欣尼，理解后再來閱讀本文。例如本文引用了道德經(jīng)的“反者道之動(dòng)停蕉，弱者道之用”愕鼓、”道法術(shù)器”等內(nèi)容，閱讀者如果不懂其涵義慧起，網(wǎng)上搜索一下就有了菇晃。另外，可以閱讀本人的其他文章蚓挤，把這些文章融匯貫通地理解磺送。
? ? 這里為了方便讀者，推薦一些關(guān)于道德經(jīng)的解讀材料灿意，如下估灿。
? ? 1.? 老子的”反者道之動(dòng)”
? ? 2.? 解密《道德經(jīng)》
? ? 3.? 道法術(shù)器解讀1
? ? 4.? 道法術(shù)器解讀2
? ? ? 易經(jīng)的三易(簡(jiǎn)易、變易缤剧、不易)和辯證法的學(xué)習(xí)材料自己去搜索馅袁，就不推薦了。
? ? ? 把上面內(nèi)容學(xué)習(xí)理解之后鞭执，下面對(duì)本文內(nèi)容做一些淺顯的闡釋司顿。
本文內(nèi)容的淺顯闡釋
? ? ”道法術(shù)器”4個(gè)層次，”道”是最根本的本質(zhì)的規(guī)律兄纺，就如憲法一樣大溜，是最上層的根本大法。思維是運(yùn)動(dòng)變化的估脆，心猿意馬（這里對(duì)心猿意馬作中性理解钦奋，不作貶義），一會(huì)想這疙赠，一會(huì)想那付材。
? ? 數(shù)學(xué)思維運(yùn)動(dòng)變化之”道”(思維運(yùn)動(dòng)變化的本質(zhì)規(guī)律、基本模式)就是：反者道之動(dòng)圃阳，弱者道之用厌衔。
? ? ”反者道之動(dòng)”，簡(jiǎn)單理解就是繞圈子打太極捍岳，繞來繞去地運(yùn)動(dòng)變化富寿。轉(zhuǎn)圈圈繞過去再繞回來睬隶，循環(huán)往復(fù)地運(yùn)動(dòng)變化。
? ? 知曉了這個(gè)運(yùn)動(dòng)變化之道页徐，就要合道苏潜。本文第二題，我們先產(chǎn)生從具體到抽象變化的思維念頭变勇，也就是從具體變化到抽象恤左，有這個(gè)念頭之后，我們就從200變到2n搀绣，如問題的解法飞袋，從整體之和退轉(zhuǎn)到研究局部個(gè)體，也是變化豌熄，迂回繞行授嘀。把2n情況下的平均數(shù)求出來之后，最終令n=100繞回到最初的200锣险，得到所求的平均值蹄皱。
? ? 繞圈圈(運(yùn)動(dòng)變化)也要有策略有講究，否則胡亂地繞把自己繞暈就不好了芯肤。 ”弱者道之用”就是合情合理繞圈圈的策略：用弱巷折，順勢(shì)而為地繞圈圈，如水流動(dòng)繞開阻擋崖咨，順勢(shì)迂回流淌一樣锻拘。
? ? 本文第二題，從具體變化到抽象击蹲，從整體到個(gè)體署拟，都是用弱，因?yàn)閷?duì)本題歌豺，抽象情況推穷、個(gè)體情況是問題的薄弱點(diǎn)突破口，從抽象情況类咧、個(gè)體情況入手切入馒铃，容易得出本題的解題方法和平均值。
? ? 從”道”到”法“痕惋，好比從憲法這個(gè)上層的根本大法派生出下層的其他法律区宇，其他法律不能違背憲法，這就是以上統(tǒng)下值戳。從”法”到”術(shù)”到”器”议谷，好比從其他法律再派生出更具體的更細(xì)的法律條文和行為制度，這也是以上統(tǒng)下堕虹。從”道”到”法“到術(shù)”到”器”卧晓，依層以降叶洞，也好比從樹根，到樹干禀崖、樹枝、樹梢螟炫。
“向?qū)α⒚孓D(zhuǎn)化”的辯證解讀
? ? 辯證法”矛盾對(duì)立統(tǒng)一波附，相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化昼钻、向?qū)α⒚孓D(zhuǎn)化“掸屡，這里講一下本人對(duì)“向?qū)α⒚孓D(zhuǎn)化”的辯證解讀。
? ”向?qū)α⒚孓D(zhuǎn)化”然评，就是”反者道之動(dòng)”的反仅财。例如從抽象到具體或從具體到抽象，從一般到特殊碗淌，從開到關(guān)盏求，從某一狀態(tài)轉(zhuǎn)到其相反狀態(tài)。
? ? 根據(jù)轉(zhuǎn)化的(destination)目標(biāo)事物(對(duì)象)進(jìn)行分類亿眠，轉(zhuǎn)化可分為多種類型碎罚。”向?qū)α⒚孓D(zhuǎn)化”是相反轉(zhuǎn)化纳像，轉(zhuǎn)到對(duì)立的事物荆烈，但這只是其中一種轉(zhuǎn)化類型，還有不是向?qū)α⒚孓D(zhuǎn)化的竟趾，例如轉(zhuǎn)到相關(guān)憔购、相連、相應(yīng)岔帽、相近玫鸟、相似、相因山卦、相生(生克制化)鞋邑、相成的事物等。例如需要手工磨出一根繡花針账蓉，此時(shí)你會(huì)優(yōu)先找?guī)赘叽绾屠C花針最接近的鐵棒而不是找與繡花針區(qū)別較大的其他東西枚碗，從這些鐵棒之一入手作為起點(diǎn)，逐步磨出(變出)繡花針铸本，也就是我們的轉(zhuǎn)化策略轉(zhuǎn)化類型是”相近”轉(zhuǎn)化肮雨。
? ? 矛盾是推動(dòng)事物運(yùn)動(dòng)發(fā)展的內(nèi)在動(dòng)力，它具有普遍性本質(zhì)性箱玷，因此怨规，和相近轉(zhuǎn)化陌宿、相似轉(zhuǎn)化等其它轉(zhuǎn)化相比，“向?qū)α⒚孓D(zhuǎn)化”(相反轉(zhuǎn)化)具有普遍性波丰、典型性壳坪、終極性。
總結(jié)
? 本文從總體上數(shù)學(xué)思維智慧作了初步的解構(gòu)與解讀(闡述)掰烟。
? ? 萬般神通皆小術(shù)爽蝴，唯有空空是大道。初高中的那點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)其實(shí)沒啥用纫骑，也不難學(xué)蝎亚，不難自學(xué)。數(shù)學(xué)知識(shí)重要先馆，但數(shù)學(xué)思維數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)知識(shí)更重要发框，初高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，鍛煉數(shù)學(xué)思維能力煤墙，領(lǐng)悟思維的大道才是正道梅惯。
? ? ?不少人掌握了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，但數(shù)學(xué)思維能力其實(shí)很一般番捂，特別是題海戰(zhàn)術(shù)培養(yǎng)出來的人个唧。掌握豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)不是成為數(shù)學(xué)思維高手的必要條件，大學(xué)本科或高中畢業(yè)就行设预，按我們誤人子弟的數(shù)學(xué)教育來推測(cè)徙歼，數(shù)學(xué)思維明師很可能不是數(shù)學(xué)專業(yè)人士，數(shù)學(xué)思維高手不一定在數(shù)學(xué)教育界和數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)界鳖枕。
? 對(duì)物質(zhì)世界魄梯，存在物理和化學(xué)的各種變化，在思維中宾符，在思維活動(dòng)中也存在運(yùn)動(dòng)變化酿秸，特別是倚重思維智慧的數(shù)學(xué)中，更是仰仗思維的變化之功魏烫。領(lǐng)悟變化之道之精髓辣苏，精通變化之法與術(shù)，精通變化的技術(shù)與藝術(shù)哄褒，是成為數(shù)學(xué)思維高手的必由之路稀蟋。
? “大道至簡(jiǎn)，衍化至繁呐赡，道隱無名退客，以道蒞天下，其鬼不神”，領(lǐng)悟了思維運(yùn)動(dòng)變化之道就能化繁為簡(jiǎn)萌狂。面對(duì)復(fù)雜的問題档玻，首先要從心意識(shí)思維層面進(jìn)行變化，風(fēng)動(dòng)幡動(dòng)茫藏，歸根結(jié)底是心動(dòng)误趴，正所謂：萬化由心，宇宙在手务傲。
? 道悅(王國(guó)波)? 2022.10.9于廣州
