雞兔同籠

一舔箭、考情分析

雞兔同籠問題在最近幾年的國家公務(wù)員考試中已經(jīng)不多見了，但是偶爾還會(huì)出現(xiàn)蚊逢。在各省的公務(wù)員考試中层扶，這類問題出現(xiàn)的頻率還是比較高±雍桑縱觀這幾年的考題镜会，雞兔同籠問題難度越來越大，考生需要熟練掌握其解題方法终抽。

二戳表、問題概述

“雞兔同籠”是我國古代的一類有名的算術(shù)題桶至，最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中。閑話插一句匾旭，《孫子算經(jīng)》大約是公元四镣屹、五世紀(jì)寫的，離現(xiàn)在已經(jīng)有一千多年的歷史了价涝，這本書是我國有名的《算經(jīng)十書》里面的一本女蜈，大家有興趣可以去看一下。

話題轉(zhuǎn)回來色瘩，《孫子算經(jīng)》里面有這么一道題：“今有雉兔同籠伪窖，上有三十五頭，下有九十四足居兆，問雉兔各幾何覆山？”轉(zhuǎn)化成為現(xiàn)在的話來說就是：“現(xiàn)在把一群雞和一群兔子關(guān)到一起，有個(gè)人去數(shù)一下史辙，從上面數(shù)汹买，發(fā)現(xiàn)一共有35個(gè)頭，從下面數(shù)聊倔，發(fā)現(xiàn)有94條腿，問有多少只雞生巡，多少只兔子耙蔑？”

下面我們來介紹兩種方法來解決這個(gè)問題。

三孤荣、解題方法

（一）假設(shè)法

首先我們用一種常規(guī)的方法來做做這道題甸陌。我們知道，一只雞有2條腿盐股，一只兔子有4條腿钱豁，現(xiàn)在一共有35只動(dòng)物，卻有94條腿疯汁，說明雞和兔都是存在的牲尺。我們假設(shè)所有的動(dòng)物都是雞，那么35個(gè)動(dòng)物就應(yīng)該有70條腿幌蚊，這樣就少了24條腿谤碳，對(duì)吧？大家可以想一想溢豆，這24條腿是從何而來的蜒简？原因就出在我們的假設(shè)中，我們把所有的動(dòng)物都看成是雞漩仙，而實(shí)際上每一只兔子是比雞多了2條腿搓茬，這24條腿應(yīng)該就是因?yàn)槲覀儼?2只兔子看成了雞犹赖，也就是說應(yīng)該有12只兔子，那雞就應(yīng)該有35-12=23只卷仑。

我們總結(jié)一下上面的推導(dǎo)過程峻村，可以知道“設(shè)雞求兔”的公式為：

兔頭數(shù)=（總足數(shù)-2×總頭數(shù)）÷（4-2）

雞頭數(shù)=總頭數(shù)-兔頭數(shù)

我們還可以通過假設(shè)全部動(dòng)物是兔子來求。如果所有的動(dòng)物都是兔子系枪，那么就應(yīng)該有4×35=140條腿雀哨，比已知多了46條腿，我們也可以很明顯看出私爷，這46條腿就是我們把雞算成了兔子的結(jié)果雾棺，每一只雞多算了2條腿，所以衬浑，雞的數(shù)量應(yīng)該是46÷2=23只捌浩，兔子的數(shù)量為35-23=12只。兩種方法得出來的結(jié)果完全一樣工秩。

我們同樣總結(jié)一下尸饺，“設(shè)兔求雞”的公式為：

雞頭數(shù)=（4×總頭數(shù)-總足數(shù)）÷（4-2）

兔頭數(shù)=總頭數(shù)-雞頭數(shù)

大家注意一下這兩組公式，很重要的結(jié)論就出來了：

我們?nèi)绻笸玫臄?shù)量助币，就要把所有的動(dòng)物假設(shè)為雞來求浪听；如果要求雞的數(shù)量，那就把所有的動(dòng)物假設(shè)是兔子眉菱。也就是說迹栓，在雞兔同籠問題中，如果我們要求其中一種東西時(shí)俭缓，就把所有的東西都當(dāng)成是另一種東西克伊，這樣就能求出它的數(shù)量了。

（二）方程法

也許有同學(xué)覺得剛才的假設(shè)法很復(fù)雜华坦，想起來總是在繞圈子愿吹，那么我現(xiàn)在來介紹另外一種簡(jiǎn)單明了的方法——方程法。還是上面那道題惜姐，我們?cè)賮碜屑?xì)看一下犁跪，題目要求的是雞和兔子的數(shù)量，那我們簡(jiǎn)單的把雞的數(shù)量寫成雞载弄，兔的數(shù)量寫成兔耘拇，也就是說雞+兔=35。現(xiàn)在再來看腿的情況宇攻，雞有2條腿惫叛，兔有4條腿，那么來算腿的數(shù)量逞刷，就有2雞+4兔=94嘉涌。我們現(xiàn)在把兩個(gè)方程放到一起：雞+兔=35妻熊，2雞+4兔=94，這個(gè)方程很容易能夠解出來仑最，大家可以算一下扔役，得到，雞有23只警医，兔有12只亿胸。

用方程法來解這類問題，只需要分別假設(shè)出這些東西的數(shù)量预皇，然后很容易就能列出二元一次方程組來求解侈玄。

四、題型精講

我們現(xiàn)在來看看雞兔同籠問題中骋魑拢考的幾種情況序仙。

（一）基礎(chǔ)題型：已知頭數(shù)和腿數(shù)，求各自的數(shù)量

這是最基礎(chǔ)的題型鲁豪，大家可以嘗試著分別用以上兩種方法來試一下潘悼。

例題1：在同一個(gè)籠子中，有若干只雞和兔爬橡，從籠子上看有40個(gè)頭治唤，從籠子下數(shù)有130只腳，那么這個(gè)籠子中裝有兔糙申、雞各多少只肝劲？

【答案詳解】方法一，利用假設(shè)法郭宝。假設(shè)全是雞或全是兔，腳的總數(shù)必然要多或少掷漱，通過腳數(shù)與實(shí)際數(shù)之差粘室，可以知道造成差的原因，于是知道應(yīng)有多少只兔或應(yīng)有多少只雞卜范。

設(shè)雞求兔：

兔：（130-2×40）÷（4-2）=25

雞：40-25=15

設(shè)兔求雞：

雞：（4×40-130）÷（4-2）=15

兔：40-15=25

方法二衔统，利用方程法。設(shè)籠子中裝有雞海雪、兔分別為x只锦爵、y只，則根據(jù)條件可得

x+y=40奥裸，2x+4y=130险掀。解得x=15，y=25湾宙。

（二）已知頭數(shù)與腿數(shù)之差樟氢，求各自的數(shù)量

這類問題會(huì)告訴你冈绊，雞和兔子一共有多少只，然后告訴你雞的總腿數(shù)比兔多多少埠啃，或者少多少死宣，然后讓你來求雞和兔子的數(shù)量。大家來看一下這道題碴开，看看應(yīng)該怎么來做毅该。

例題2：雞與兔共100只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少28潦牛，問雞與兔各幾只眶掌？

【答案詳解】方法一，假如再補(bǔ)上28÷2=14只雞罢绽，那么雞與兔腳數(shù)就相等畏线，每只兔的腳數(shù)是每只雞的腳數(shù)的2倍，則雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍良价，所以

兔：（100+14）÷（2+1）=38只寝殴，

雞：100-38=62只；

當(dāng)然也可以去掉兔28÷4=7只明垢，

兔：（100-7）÷（2+1）+7=38只蚣常，

雞：100-38=62只。

方法二痊银，任意假設(shè)一個(gè)數(shù)抵蚊。

假設(shè)有50只雞，就有兔100-50=50只溯革。此時(shí)腳數(shù)之差是4×50-2×50=100贞绳，比28多了72，就說明假設(shè)的兔數(shù)多了致稀、雞數(shù)少了冈闭。為保持總數(shù)是100，一只兔換成一只雞抖单，少了4只兔腳萎攒，多了2只雞腳，相差為6只（注意不是2）矛绘。因此要減少的兔數(shù)是：

（100-28）÷（4+2）=12只耍休，

兔：50-12=38只。

雞：50+12=62只货矮。

方法三羊精，方程法。

設(shè)雞有x只次屠、兔有y只，則

x+y=100，4y-2x=28做裙，解得x=62艾君，y=38。

（三）“三者同籠”問題

有時(shí)候大家覺得兩種動(dòng)物放在一起還不夠復(fù)雜，這時(shí)候他們會(huì)把三種動(dòng)物放在一起，然后讓你們來求。大家來看看下面這道題：

例題3：蜘蛛有8條腿枪汪，蜻蜓有6條腿和2對(duì)翅膀，蟬有6條腿和1對(duì)翅膀怔昨，現(xiàn)在這三種小蟲共18只雀久，有118條腿和18對(duì)翅膀，蜘蛛趁舀、蜻蜓赖捌、蟬各幾只？

A.5矮烹、5越庇、8? ?? ?? ?? ?? ?? ? B.5、5奉狈、7? ?? ?? ?? ?? ?? ???C.6卤唉、7、5? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?D.7仁期、5桑驱、6

【答案詳解】這是一道三者同籠的“雞兔同籠”問題。首先跛蛋，蜻蜓和蟬都是6條腿熬的，計(jì)算腿的數(shù)量時(shí)將它們作為一個(gè)整體考慮，假設(shè)全是6條腿的小蟲赊级，則可知蜘蛛的數(shù)量悦析。

蜘蛛有（118-6×18）÷（8-6）=5只，那么蜻蜓和蟬共有18-5=13只此衅。

再假設(shè)這13只都是蟬，則可知蜻蜓的數(shù)量亭螟。

蜻蜓有（18-1×13）÷（2-1）=5只挡鞍，蟬有13-5=8只预烙。

大家可以看出來，這類問題實(shí)際上還是把三種動(dòng)物轉(zhuǎn)化成兩種動(dòng)物來求扁掸。

雞兔同籠問題的解法一般只適用于兩類不同物體間的關(guān)系最域，而題目中涉及到三類不同的物體時(shí)，我們需要找到其中兩類物體的共同點(diǎn)锈麸，把他們看成一個(gè)整體镀脂，從而把三類物體間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩類物體間的關(guān)系忘伞。

（四）雞兔同籠問題變形

大家再來看看這幾道題，雖然沒有雞氓奈、沒有兔子翘魄，但是他們還是雞兔同籠問題。

例題4：有大小兩個(gè)瓶舀奶，大瓶可以裝水5千克暑竟，小瓶可以裝水1千克育勺，現(xiàn)在有100千克水共裝了52瓶。問大瓶和小瓶相差多少個(gè)怀大？

A．26個(gè)B．28個(gè)C．30個(gè)D．32個(gè)

【答案詳解】此題屬于“雞兔同籠”問題。利用假設(shè)法化借，假設(shè)都是裝1千克水的小瓶，則共裝水52千克铐炫，現(xiàn)在多裝了100－52=48千克（即總量的差），因?yàn)槊坎?-1=4千克（即單位量的差）就說明有一個(gè)大瓶倒信，那么大瓶共有48÷4=12個(gè)，小瓶有52－12=40個(gè)鳖悠，兩者相差40－12=28個(gè)优妙。

例題5：小明每天必須做家務(wù)，做一天可得３元錢套硼，做得特別好時(shí)每天可得５元錢，有一個(gè)月（３０天）他共得１００元，這個(gè)月他有（）天做得特別好反砌。

Ａ．２Ｂ．３Ｃ．５Ｄ．７

【答案詳解】假設(shè)每天都得3元錢萌朱，那么他一個(gè)月應(yīng)得30×3=90元，而實(shí)際得到100元嚷兔，做得特別好時(shí)每天可多得5-3=2元，則這個(gè)月有（１００-90）÷（５-３）＝５天做得特別好同衣。

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