根據(jù)判別式的符號討論含參一元二次不等式的解

類型二根據(jù)判別式的符號分類

使用情景：一般一元二次不等式類型

解題步驟：

第一步首先求出不等式所對應(yīng)方程的判別式惠毁；

第二步討論判別式大于0妇拯、小于0或等于0所對應(yīng)的不等式的解集；

第三步得出結(jié)論.

【例】設(shè)集合 $A=\{x|x^2＋3k^2 \geqslant 2k(2x－1)\}$ 马昨， $B=\{x|x^2－(2x－1)k＋k^2 \geqslant 0\}$ 把曼，且 $A \subseteq B$ 胡岔，試求 $k$ 的取值范圍．

【解】 $A=\{x|[x-(3k-1)][x-(k+1)]\geqslant\}$ ，比較 $3k-1,k+1$ 的大小

因為 $(3k-1)-(k+1)=2(k-1)$

(1)當(dāng) $k＞1$ 時歹袁， $3k－1＞k＋1$ 坷衍， $A=\{x|x \geqslant 3k－1$ 或 $x \leqslant k+1 \}$ .

(2)當(dāng) $k=1$ 時， $x \in R$ .

(3)當(dāng) $k＜1$ 時条舔， $3k－1＜k＋1$ 枫耳， $A=\{x|x \geqslant k+1$ 或 $x \leqslant 3k-1 \}$ .

B中的不等式不能分解因式，故考慮判斷式 $\Delta=4k^2-4(k^2+k)=-4k$ 孟抗，

(1)當(dāng) $k=1$ 時迁杨， $\Delta < 0$ ， $x \in R$

(2)當(dāng) $k＞1$ 時凄硼， $\Delta < 0$ 铅协， $x \in R$

(3)當(dāng) $k＞1$ 時， $\Delta >0$ 摊沉， $x \leqslant k-\sqrt{-k}$ 或 $x \leqslant k+\sqrt{-k}$

故：當(dāng) $k\geqslant 0$ 時狐史，由 $B=R$ ，顯然有 $A \subseteq B$ ,

當(dāng) $k<0$ 時坯钦，為使 $A \subseteq B$ 预皇，

需要 $\begin{cases}3k-1 \leqslant k-\sqrt{-k} \\ k+1 \geqslant k+\sqrt{-k}\end{cases}\Rightarrow k \geqslant -1$

于是 $k\geqslant-1$ 時侈玄， $A \subseteq B$ .

綜上所述婉刀， $k$ 的取值范圍是： $k \geqslant 0$ 或 $-1 \leqslant k <0$ .

【總結(jié)】解含參的一元二次不等式，可先分解因式序仙，再討論求解突颊，若不易分解，也可對 $\Delta$ 進行分類潘悼，或利用二次函數(shù)圖像求解.對于二次項系數(shù)不含參數(shù)且不能因式分解時律秃，則需對判別式 $\Delta$ 的符號分類.

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