自學(xué)OpenGL（九）-數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

前言

計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中大量使用了數(shù)學(xué)原理沼本，尤其是矩陣和矩陣代數(shù)卖氨。雖然我們傾向于認(rèn)為3D圖像學(xué)編程是現(xiàn)代的技術(shù)領(lǐng)域之一坞淮，但是它用到的很多技術(shù)實(shí)際上可以追溯到上百年前当纱。其中一些甚至是文藝復(fù)興時(shí)期的偉大哲學(xué)家們就已經(jīng)理解并記錄的鳍置。

3D 圖形學(xué)中幾乎每個(gè)方面揍愁、每種效果--移動(dòng)、縮放晨横、透視紋理咒程、光照鸠天、陰影等等，都是在很大程度是以數(shù)學(xué)方式實(shí)現(xiàn)帐姻。

這里稠集，我們假定大家都具備基礎(chǔ)的矩陣運(yùn)算知識(shí)奶段。如果在閱讀過(guò)程中發(fā)現(xiàn)不理解的地方，自行去學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)巍杈，個(gè)人推薦去嗶哩嗶哩搜索宋浩老師，筆者在大學(xué)沒(méi)有開(kāi)數(shù)學(xué)課扛伍，所有數(shù)學(xué)理論知識(shí)筷畦，包括線(xiàn)性代數(shù)、微積分都是在宋浩老師那里學(xué)的刺洒”畋觯看視頻的同時(shí)再配合使用微信讀書(shū)去搜索相關(guān)教材，把習(xí)題做一遍逆航，效果翻倍鼎文。

3D坐標(biāo)

3D 中間通常用3個(gè)坐標(biāo)軸X、Y和Z來(lái)表示因俐。這3個(gè)軸可以以?xún)煞N方式來(lái)布置：左手或者右手

知道圖形編程化境使用的坐標(biāo)系是很重要的拇惋。例如，OpenGL中的坐標(biāo)系大體是右手坐標(biāo)系抹剩，而其他3D系統(tǒng)的坐標(biāo)系則有可能是左手的撑帖。在本博客中，如果沒(méi)有特別說(shuō)明澳眷，我們默認(rèn)是右手坐標(biāo)系胡嘿。

點(diǎn)

3D中間中的點(diǎn)可以通過(guò)使用形如（2，8钳踊，-3）的符號(hào)衷敌，列出X、Y拓瞪、Z的值來(lái)表示缴罗。不過(guò)如果用齊次坐標(biāo)來(lái)表示點(diǎn)會(huì)更有用。n維空間中點(diǎn)的坐標(biāo)用n+1個(gè)分量來(lái)表示祭埂。三維空間中的齊次坐標(biāo)有4個(gè)值瞒爬，前三個(gè)值表示X、Y沟堡、Z侧但、，第四個(gè)W總是非零值 航罗，通常情況為1禀横，因此，我們會(huì)將之前的點(diǎn)表示為（2粥血，8柏锄，-3酿箭，1）。正如我們稍后將要看到的趾娃，齊次坐標(biāo)會(huì)是我們的圖形學(xué)計(jì)算更加的高效缭嫡。

用來(lái)存儲(chǔ)齊次3D坐標(biāo)的GLSL數(shù)據(jù)類(lèi)型是vec4。GLM庫(kù)包含適用在C++/OpenGL應(yīng)用中創(chuàng)建3元和4元的點(diǎn)抬闷，分別叫做vec3和vec4.

關(guān)于齊次坐標(biāo)不太熟悉的同學(xué)可以看這里：https://zhuanlan.zhihu.com/p/258437902

矩陣

矩陣是矩形值陣列妇蛀，它的元素通常使用下表訪(fǎng)問(wèn)。第一個(gè)下標(biāo)行號(hào)笤成，第二個(gè)下表為列號(hào)评架，下標(biāo)從0開(kāi)始。我們?cè)?D徒刑計(jì)算中要用到的矩陣大多數(shù)大小為4X4

A00 A01 A02 A03
A10 A11 A12 A13
A20 A21 A22 A23
A30 A31 A32 A33

GLSL 語(yǔ)言中的mat4數(shù)據(jù)類(lèi)型用來(lái)儲(chǔ)存4X4的矩陣炕泳。同樣纵诞，GLM中有mat4類(lèi)泳衣是梨花并存儲(chǔ)4X4矩陣。

單位矩陣用一條對(duì)角線(xiàn)的值為1培遵，其余值全為0:

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

轉(zhuǎn)置

GLM 庫(kù)和GLSL庫(kù)都有轉(zhuǎn)置函數(shù)浙芙，分別是glm::transpose(mat4)和 transpose(mat4)

加法

加法非常簡(jiǎn)單，就是逐分量相加：

FileSharing.png

點(diǎn)與矩陣相乘

點(diǎn)左乘一個(gè)矩陣得到一個(gè)新的點(diǎn)

圖片 2.png

矩陣相乘

這里我們拿一個(gè)4X4的矩陣相乘舉個(gè)例子：

圖片 3.png

矩陣相乘也稱(chēng)為矩陣合并籽腕，這塊知識(shí)完全遵循線(xiàn)性代數(shù)里面的矩陣運(yùn)算規(guī)則茁裙，如果線(xiàn)性代數(shù)這方面知識(shí)的同學(xué)，建議先去學(xué)習(xí)一下線(xiàn)性代數(shù)节仿。

變換矩陣

在圖形學(xué)中晤锥，矩陣通常用來(lái)進(jìn)行物體的變換，所以我們一般稱(chēng)之為變換矩陣廊宪。變換矩陣的重要特征之一就是他們都是4X4矩陣矾瘾。這是因?yàn)槲覀儧Q定使用齊次坐標(biāo)系，否則箭启，變換舉證可能會(huì)有不同的維度并且無(wú)法相乘壕翩。正如我們所見(jiàn)，確保變換矩陣大小想相同并不只是為了方便傅寡，同時(shí)讓他們可以任意組合放妈，進(jìn)行預(yù)先計(jì)算變換矩陣以提高性能。

平移矩陣

平移矩陣用于將物體從一位置到另一個(gè)位置荐操，矩陣表示為：

圖片 4.png

GLM 中有一些函數(shù)適用于構(gòu)建與點(diǎn)相乘的平移矩陣：

1. glm::translate(x, y, z)構(gòu)建的平移矩陣芜抒；
2. mat4 X vec4

縮放矩陣

縮放矩陣用于改變物體的大小或者將點(diǎn)想遠(yuǎn)點(diǎn)反方向移動(dòng)。因此托启，縮放物體涉及縮放它的點(diǎn)的集合宅倒，縮放矩陣變換表示為：

圖片 5.png

GLM 中有一些函數(shù)適用于構(gòu)建與點(diǎn)相乘的縮放矩陣：

1. glm::scale(x, y, z) 構(gòu)建縮放矩陣；
2. mat4 X vec4

旋轉(zhuǎn)矩陣

旋轉(zhuǎn)掃尾復(fù)雜一些屯耸，因?yàn)樵?D空間中旋轉(zhuǎn)需要指定旋轉(zhuǎn)周和旋轉(zhuǎn)的角度或弧度拐迁，任何旋轉(zhuǎn)都可以表示為繞著X蹭劈、Y、Z軸旋轉(zhuǎn)的組合线召。圍繞這三個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)角度被稱(chēng)為歐拉角铺韧。旋轉(zhuǎn)變換有3種，見(jiàn)下圖：

圖片 6.png

GLM 中也有一些用于構(gòu)建旋轉(zhuǎn)矩陣的函數(shù)缓淹。

1. glm::rotate(mat4, θ, x哈打，y, z)構(gòu)建繞X、Y割卖、Z旋轉(zhuǎn)θ度的矩陣前酿；
2. mat4 X vec4患雏；
   實(shí)踐中鹏溯，當(dāng)3D空間中旋轉(zhuǎn)軸部穿過(guò)原點(diǎn)時(shí)，物體使用歐拉角旋轉(zhuǎn)需要額外的步驟淹仑。一般有：平移旋轉(zhuǎn)軸以使它經(jīng)過(guò)原點(diǎn)丙挽；繞X、Y匀借、Z軸旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)臍W拉角颜阐；復(fù)原步驟（1）中的平移。旋轉(zhuǎn)變換中的三個(gè)旋轉(zhuǎn)變換矩陣都有自己的特性吓肋，即反響旋轉(zhuǎn)的矩陣等于其轉(zhuǎn)置矩陣凳怨。

旋轉(zhuǎn)矩陣時(shí)蒸餃矩陣，蒸餃矩陣的逆等于矩陣的轉(zhuǎn)置是鬼，反響旋轉(zhuǎn)其實(shí)就是再乘以旋轉(zhuǎn)矩陣的逆

向量

向量表示大小和方向肤舞，他們沒(méi)有特定位置。移動(dòng)向量并不能改變它代表的含義均蜜。

在GLM和GLSL中有許多3D圖形學(xué)中經(jīng)常用到的向量操作李剖。如加減法、歸一化囤耳、點(diǎn)積篙顺、插積

加減法

A ± B=(u ± x, v ± y, w ± z)
1.glm: vec3 ± vec3
2.GLSL: vec3 ± vec3

歸一化（長(zhǎng)度為1）

A=A/|A|=A/sqrt(u2+v2+w2)，其中|A| ≡向量A的長(zhǎng)度
glm: normalize(vec3) 或normalize(vec4)
GLSL: normalize(vec3) 或normalize(vec4)

點(diǎn)積

A·B=ux+vy+wz

1. glm: dot(vec3,vec3) 或dot(vec4,vec4)
2. GLSL: dot(vec3,vec3) 或dot(vec4,vec4)

插積

A × B=(vz-wy, wx-uz, uy-vx)

1. glm: cross(vec3,vec3)
2. GLSL: cross(vec3,vec3)

點(diǎn)積的應(yīng)用

圖片 7.png

因此椎麦，如果V和W是單位向量（歸一化向量）化焕，則有：

[圖片上傳中...(圖片 9.png-739dad-1631112682690-0)]

有趣的是，我們后面會(huì)看到通常用到的是cos(θ)铃剔，而非θ撒桨，因此連個(gè)推到出的共識(shí)都很有用查刻。

圖片 9.png

1. 求向量的大小根號(hào)下V.V ;
2. 求解兩向量是否正交，若正交凤类，則V.W=0;
3. 求解兩向量是否平行穗泵，若平行，則 V.W = |V||W|谜疤；
4. 求解兩向量是否平行佃延，但方向相反，若滿(mǎn)足夷磕，則 V.W = -|V||W|履肃；
5. 求解兩向量夾角是否在-90～90度之間 V.W > 0 ;
6. 求解點(diǎn)P到平面S的最小距離；

叉積的應(yīng)用

兩個(gè)向量叉積的一個(gè)重要特性是坐桩，他會(huì)生成一個(gè)新的向量尺棋，新的向量正交于前兩個(gè)向量所定義的平面。任意兩個(gè)不貢獻(xiàn)的向量都定義了一個(gè)平面绵跷，例如考慮兩個(gè)人一向量V和W膘螟。由于向量可以在不改變?nèi)我夂x的情況下移動(dòng)，因此碾局，可以將他們移動(dòng)到起點(diǎn)相交的位置荆残，下圖展示了V和W定義的平面，以及其插積所得到法向量净当。其所得法向量的方向遵循右手定則内斯。即右手手指從V向W卷會(huì)是的大拇指指向法向量R。

WechatIMG200.jpeg

通過(guò)叉積來(lái)獲得法向量的能力對(duì)我們后面要學(xué)習(xí)的光照部分非常重要像啼。為了確定光照效果俘闯，我們需要知道所渲染模型的外向法向量。圖3.8中展示了一個(gè)例子埋合，其中有一個(gè)6個(gè)點(diǎn)（頂點(diǎn)）構(gòu)成的簡(jiǎn)單模型备徐，使用叉積計(jì)算來(lái)獲得其中一面的外向法向量。

[圖片上傳中...(WechatIMG200.jpeg-66eb03-1631113077483-0)]

局部空間和世界空間

局部空間

當(dāng)建立物體的3D模型是甚颂，我們通常以最方便的定位方式描述模型蜜猾。如果模型是個(gè)球形，那么我們很可能將球心定位于原點(diǎn)振诬，并賦予它一個(gè)方便的半徑蹭睡，比如1。模型定義的空間叫做局部空間赶么。OpenGL文檔使用的術(shù)語(yǔ)是物體空間（object space）肩豁。

之后這個(gè)球形可能用于一個(gè)大模型的部分，如成為機(jī)器人的頭部。這個(gè)機(jī)器人清钥，當(dāng)然琼锋，定義在他自己的局部空間。我們可以用下圖的舉證變換通過(guò)縮放祟昭、旋轉(zhuǎn)缕坎、平移，將球形模型房子啊機(jī)器人模型的空間篡悟。通過(guò)這種方式谜叹，可以分成次地構(gòu)建復(fù)雜模型，使用這種方式搬葬，通過(guò)設(shè)定物體在模型世界中的朝向和大小荷腊，將物體放在模擬這個(gè)世界的空間中，這個(gè)空間叫做世界空間急凰。將對(duì)象定位及定向在世界空間的矩陣成為模型矩陣或M女仰。

圖片 12.png

視覺(jué)空間和合成相機(jī)

到此為止，我們所接觸的變換矩陣全都在3D空間中操作香府，但是我們最終需要將3D空間中的物體展示在2D顯示器上董栽。為達(dá)到這一個(gè)目標(biāo)码倦，我們需要找到一個(gè)有利點(diǎn)企孩。正如我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界通過(guò)眼睛觀(guān)察一樣，我們也必須找到一點(diǎn)并確定觀(guān)察方向作為我們觀(guān)察虛擬世界的窗口袁稽。這個(gè)點(diǎn)叫做“視圖“或”視覺(jué)“空間勿璃，或”合成相機(jī)“。

圖片 11.png

觀(guān)察3D世界需要如下步驟：

1. 將相機(jī)放入世界的某個(gè)位置推汽；
2. 調(diào)整相機(jī)的角度补疑，通常需要一套自己的直角坐標(biāo)系；
3. 定義一個(gè)視體（view volume）歹撒；
4. 將視體內(nèi)的對(duì)象投影到投影平面（projection plane）上莲组。

OpenGL 有一個(gè)固定在原點(diǎn)并看向Z軸副方向的相機(jī)

圖片 12.png

為了應(yīng)用OpenGL相機(jī)，我們需要做的是將它抹你移動(dòng)到何時(shí)的位置和方向暖夭。我們需要先找出在世界中的物體與我們期望的相機(jī)位置的相對(duì)位置锹杈，如下圖

圖片 13.png

需要做的變換如下：

1. 將Pw平移，其向量為負(fù)的期望相機(jī)位置迈着；
2. 將Pw旋轉(zhuǎn)竭望，其角度為負(fù)的期望相機(jī)旋轉(zhuǎn)的歐拉角。我們可以構(gòu)建一個(gè)單一變換舉證已完成旋轉(zhuǎn)和平移裕菠，這個(gè)矩陣叫做視圖變換矩陣V咬清。矩陣V通過(guò)合并矩陣T和R。

在本例中，從右向左旧烧，我們先平移世界空間中的點(diǎn)Pw影钉，之后旋轉(zhuǎn)

Pc=R(T*Pw)=(R*T)Pw;

將R*T用V來(lái)表示，即：

Pc=V*Pw;

圖片 15.png

通常掘剪，V舉證與模型矩陣M合并成為一個(gè)模型-視圖矩陣斧拍，即：

MV=V*M;

之后，點(diǎn)Pm在自己的模型空間通過(guò)如下一個(gè)步驟就可以直接轉(zhuǎn)換至合成相機(jī)空間：

Pc=MV*Pm;

在復(fù)雜場(chǎng)景中杖小，當(dāng)我們需要對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)肆汹，而非知識(shí)一個(gè)點(diǎn)做這個(gè)變換的時(shí)候，這種方法的好處就很明顯了予权。通過(guò)預(yù)先計(jì)算MV昂勉，對(duì)于空間中每一個(gè)點(diǎn)的變換只需要我們進(jìn)行一次矩陣乘法計(jì)算。之后我們將看到扫腺，我們可以將這個(gè)過(guò)程延伸到與計(jì)算機(jī)更多的合并矩陣岗照，以大量減少每個(gè)頂點(diǎn)的計(jì)算量。

投影矩陣

當(dāng)我們?cè)O(shè)置好相機(jī)之后笆环，就可以學(xué)習(xí)投射矩陣了攒至，我們需要學(xué)習(xí)兩個(gè)重要的投射矩陣是：

1. 透視投射；
2. 正射投射躁劣；

透視投影矩陣

透視投影舉證通過(guò)使用透視概念模仿我們看真實(shí)世界的方式迫吐，嘗試讓2D的圖像看起來(lái)像是3D的。物體近大遠(yuǎn)小账忘，3D空間中有的平行線(xiàn)用透視法畫(huà)出來(lái)就不再平行志膀。

我們通過(guò)使用變換矩陣將平行線(xiàn)變?yōu)榍‘?dāng)?shù)牟黄叫芯€(xiàn)來(lái)實(shí)現(xiàn)這個(gè)效果。這個(gè)矩陣叫做透視矩陣鳖擒，通過(guò)定義四個(gè)參數(shù)來(lái)進(jìn)行視體的構(gòu)造溉浙。其中4個(gè)參數(shù)是眾橫比，視場(chǎng)蒋荚、投射平面和近裁剪平面戳稽、遠(yuǎn)裁剪平面。只有在遠(yuǎn)近裁剪平面間的物體才會(huì)被渲染期升。近裁剪平面同時(shí)也是物體所投射到的平面惊奇，通常放在離眼睛或相機(jī)較近的位置。視場(chǎng)是可視空間的縱向角度吓妆∩奘保縱橫比是遠(yuǎn)近裁剪平面的寬度比高度。通過(guò)這些元素所形成的形狀叫做視錐行拢，如下圖：

圖片 16.png

透視矩陣用于將3D空間中的點(diǎn)變換至近裁剪平面上合適的位置祖秒，它的構(gòu)建需要先計(jì)算q、A、B竭缝、C的值房维，之后用這些值來(lái)構(gòu)建透視矩陣，如下圖所示：

圖片 17.png

生成透視變換矩陣很容易抬纸，只需要將所描述的公式插入一個(gè)4X4矩陣咙俩。GLM庫(kù)也包含了一個(gè)用于構(gòu)建透視矩陣的函數(shù)glm::perspective()。

正射投影矩陣

在正射投影中湿故，平行線(xiàn)仍然是平行的阿趁，即不使用透視。正射與透視相反坛猪，在視體中的物體不因距相機(jī)距離做任何調(diào)整脖阵，而直接進(jìn)行投影。

圖片 18.png

正射投影是一種平行投影墅茉，其中所有的投射都與投影平面垂直命黔。正射矩陣通過(guò)如下參數(shù)構(gòu)建：

1. 從相機(jī)到投影平面的距離Znear；
2. 從相機(jī)到遠(yuǎn)平面的距離Zfar就斤；

3. L悍募、R、T洋机、B的值坠宴，其中L、R分別是投射平面左右邊界的X坐標(biāo)槐秧，T和B分別是投射平面上下邊界的Y坐標(biāo)啄踊，如下圖：

   
   
   圖片 19.png

并非所有平線(xiàn)投影都是正射投影忧设，其他投影暫時(shí)不講刁标。

平行投影與我們眼睛所見(jiàn)到的真實(shí)世界不同。但是他們?cè)诤芏嗲闆r下都有用處址晕，比如投射陰影膀懈、進(jìn)行3D裁剪以及CAD中用在CAD中因?yàn)闊o(wú)論物體如何擺放，其尺寸都不變谨垃。

LookAt 矩陣

當(dāng)想要吧相機(jī)放在某處并看像一個(gè)特定的位置時(shí)启搂，就需要用到它，但是這個(gè)操作非常頻繁刘陶，因此為它專(zhuān)門(mén)構(gòu)建一個(gè)矩陣通常比較有用胳赌。

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LookAt 變換由相機(jī)旋轉(zhuǎn)決定。我們通過(guò)指定大致旋轉(zhuǎn)朝向的向量匙隔。通常疑苫，可以通過(guò)一系列叉積獲得相機(jī)旋轉(zhuǎn)的正面、側(cè)面以及上面。

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我們可以將這個(gè)過(guò)程構(gòu)建一個(gè)C++/OpenGL使用函數(shù)捍掺，通過(guò)指定相機(jī)位置撼短、目標(biāo)位置以及向上向量Y，構(gòu)建一個(gè)LookAt矩陣的矩陣挺勿。由于GLM中已經(jīng)有一個(gè)用來(lái)構(gòu)建LookAt矩陣的函數(shù)glm::lookAt(),我們用它就可以了曲横。