一归园、第一章
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給定一個(gè)乘法表（數(shù)獨(dú)）一定對(duì)應(yīng)一個(gè)群?jiǎn)幔?br>
不是枯跑。如下圖image.png 是否可以由一個(gè)元素構(gòu)造出無(wú)限階的冪序列群
惨驶。
不確定，可能如果a的階是無(wú)窮就可以吧敛助。-
給出
的定義
image.png 證明兩個(gè)子群交集還是一個(gè)子群粗卜，但并集不一定是子群。
證封閉和存在逆即可纳击。{e,a}和{e,b}的并集不是子群续扔。證H是G的一個(gè)有限子群的充要條件是
。
充分性是顯然的焕数。必要性證封閉和有逆即可纱昧。可否有GL(3,R)屬于GL(4,R)存在？
在同構(gòu)的意義下存在堡赔。GL(3,R)同構(gòu)與GL(4,R)的矩陣（分為3×3和1×1的塊）识脆，而這些矩陣是GL(4,R)的子群。無(wú)限循環(huán)群是否有無(wú)限真子群善已？
有灼捂。全體偶數(shù)次冪的。證群G的中心（跟其他所有元素都對(duì)易的元素集合）是一個(gè)子群换团。
封閉和逆悉稠。證群G中和某元素f對(duì)易的所有元素集合也是一個(gè)子群。
封閉和逆艘包。證明指標(biāo)為2的子群是不變的偎球。
因?yàn)樽笈慵扔谟遗慵?/p>對(duì)一個(gè)群G做子群H的陪集分解{H,aH,bH,...}洒扎，問(wèn)是否一定能從每個(gè)陪集中抽出一個(gè)元素使其構(gòu)成子群。
不一定衰絮。如D3群就可以袍冷，但是四階循環(huán)群C4就不可以。證如果一個(gè)映射保乘的話猫牡，一定是單位元對(duì)應(yīng)單位元胡诗，逆對(duì)應(yīng)逆。
先證單位元對(duì)應(yīng)單位元淌友，再證逆煌恢。證兩個(gè)子群G1、G2的直積群是群G的一個(gè)子群震庭。跟群是兩個(gè)子群的直積有何不同瑰抵。
封閉和逆。G1和G2不一定是不變的器联，也就沒(méi)有商群的同構(gòu)關(guān)系二汛，但還是可交換且共同元素只有單位元。B(G)是否是群G在子空間W的表示拨拓？荷載的B(G)基是什么肴颊？
不是。因?yàn)樽涌臻gW不是G不變的渣磷。Abel群可以存在2D不可分表示嗎婿着？
可以。如[1,x;0,1]階為素?cái)?shù)的群都是循環(huán)群醋界？
對(duì)竟宋。如何判斷表示等價(jià)和可約？
等價(jià)：按定義形纺，等價(jià)找出可逆矩陣丘侠；按舒爾引理，如果找到非0矩陣M挡篓；按特征標(biāo)。
可約：按定義帚称，找出矩陣S官研；按舒爾引理；特征標(biāo)闯睹。非一維的正則表示一定可約戏羽。
直積群類的個(gè)數(shù)等于其因子群類的個(gè)數(shù)的乘積。
用個(gè)逆作用到群元上去楼吃，再用對(duì)易關(guān)系得到始花。如何給出一個(gè)群的子群妄讯？
從循環(huán)群可以構(gòu)造出。但非循環(huán)群則不知道酷宵。Abel群的所有子群都是不變子群亥贸？
對(duì)。
