2.四元數(shù)群禁添，四元數(shù)代數(shù)

四元數(shù)群是哈密頓在1843年發(fā)現(xiàn)的，由8個(gè)元素構(gòu)成 $(\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k)$ 滿足下面關(guān)系

1為恒等元桨踪，其他三個(gè)元素 $i,j,k$ 上荡，自乘為-1，兩兩結(jié)合馒闷，正序?yàn)榈谌齻€(gè)元素酪捡，逆序?yàn)檎虺?1，三個(gè)順序結(jié)合也為-1纳账。其實(shí)嘛逛薇，從這里就感覺(jué)和外代數(shù)有相似之處，反對(duì)稱性疏虫。

乘法表永罚，知道了乘法表就完全知曉了群的結(jié)合關(guān)系，也就完全知曉了群的代數(shù)結(jié)構(gòu)卧秘。對(duì)角線上為1的是二階元素（恒等元1自身除外）呢袱，對(duì)角線上是-1的就是四階元素。然后是交換性翅敌，如果是對(duì)稱的矩陣或者數(shù)表羞福，就是交換群。這個(gè)群顯然是不交換的蚯涮。將交換的部分提取出來(lái)構(gòu)成子乘法表治专，就是中心子群的乘法表（中心子群中的元素與群中所有元素交換）卖陵。這里的中心子群就只含 $(\pm 1)$ 。

四元數(shù)的子群包括张峰，平凡群泪蔫，二階循環(huán)群，三個(gè)四階循環(huán)群喘批。

考慮一個(gè)向量空間撩荣，其中的元素稱之為四元數(shù)，由四個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成饶深，可分為標(biāo)量部分和向量部分

$a=a_0+a_1i+a_2j+a_3k=(a_0,a_1,a_2,a_3)=(a_0,\underline{a})$

$S(a)=a_0,V(a)=\underline{a}$

這個(gè)向量空間定義了乘法后就變成了四元數(shù)的結(jié)合代數(shù)婿滓，記作 $\mathbb H$

$\begin{aligned}a b &=\left(a_{0} b_{0}-a_{1} b_{1}-a_{2} b_{2}-a_{3} b_{3}\right) \\&+\left(a_{0} b_{1}+a_{1} b_{0}+a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\right) i \\&+\left(a_{0} b_{2}+a_{2} b_{0}+a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3}\right) j \\&+\left(a_{0} b_{3}+a_{3} b_{0}+a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) k\end{aligned}$

$a b=\left(a_{0} b_{0}-\mathbf{a} \cdot \mathbf, a_{0} \mathbf粥喜+b_{0} \mathbf{a}+\mathbf{a} \times \mathbf凸主\right)$

其中

$\mathbf a\cdot \mathbf b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

$\mathbf a\times \mathbf b = (a_2b_3-a_3b_2)i+(a_3b_1-a_1b_3)j+(a_1b_2-a_2b_1)k$

其實(shí)就是通常的標(biāo)積和矢積。

歷史上额湘，這兩種乘積由吉布斯得到卿吐，通過(guò)將四元數(shù)的標(biāo)量部分取作0，由四元數(shù)乘法中分離出來(lái)的锋华。

有意思嗡官，過(guò)去是為了簡(jiǎn)化，現(xiàn)在又返回復(fù)雜的形式了毯焕，簡(jiǎn)單不一定是本質(zhì)衍腥。

四元數(shù)代數(shù)構(gòu)成了一個(gè)非交換的域，并且將實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)作為他的特例纳猫。四元數(shù)的共軛婆咸，模的平方和模定義為

$\begin{array}{c}a_{c}=a_{0}-a_{1} i-a_{2} j-a_{3} k \\|a|^{2}=a a_{c}=a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2} \\|a|=\sqrt{|a|^{2}}\end{array}$

并且有以下性質(zhì)

$\begin{array}{c}(a b)_{c}=b_{c} a_{c} \\|a b|^{2}=|a|^{2}|b|^{2}\end{array}$

然后是標(biāo)量部分，滿足乘法的交換律芜辕∩薪荆可推廣至有限情形。

$\begin{equation}\begin{array}{c}a^{-1}=\frac{a_{c}}{a a_{c}} \\\left|a^{-1}\right|^{2}=\frac{a_{c}}{a a_{c}}\left(\frac{a}{a a_{c}}\right)=\frac{1}{|a|^{2}} \\\left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)^{-1}=\frac{\left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)_{c}}{\left|a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right|^{2}}=a_{n}^{-1} a_{n-1}^{-1} \cdots a_{1}^{-1}\end{array}\end{equation}$

出現(xiàn)了顯示問(wèn)題侵续，影響不大倔丈。

逆元的構(gòu)造是通過(guò)與自共軛乘積為模平方來(lái)構(gòu)造的。逆元的模平方状蜗，取共軛正好湊成一標(biāo)量需五。然后是逆運(yùn)算的性質(zhì)，同共軛一樣轧坎，兩兩構(gòu)成配合對(duì)宏邮，產(chǎn)生恒等元而消去，和函數(shù)復(fù)合也類似。其實(shí)取逆運(yùn)算都是這樣構(gòu)造的蜀铲。都是要從不交換的量中構(gòu)造出交換的量，從而實(shí)現(xiàn)量的消去或者運(yùn)算順序的改變属百〖侨埃或許可以去看看非交換代數(shù)來(lái)獲得更多的理解。

四元數(shù)除法族扰，本質(zhì)上是求解方程 $xb=a$ 或者 $by=a$ 厌丑。借助于之前關(guān)于逆元的知識(shí)，很容易得到

$\begin{array}{c} x=a b^{-1}=a \frac{b_{c}}{|b|^{2}} \\ y=b^{-1} a=\frac{b_{c} }{|b|^{2}}a \end{array}$

由于乘法的非交換性渔呵，所以產(chǎn)生了兩個(gè)結(jié)果怒竿。他們的模顯然是相等的。

根據(jù)我的理解的話扩氢，一般就不能寫(xiě) $\frac{a}耕驰$ ，因?yàn)榻Y(jié)果不是唯一的录豺，不是良定義的朦肘。

代數(shù)就是向量空間加上一個(gè)乘法，當(dāng)這個(gè)乘法是四元數(shù)乘法時(shí)双饥，就是四元數(shù)代數(shù)媒抠。這個(gè)乘法比較復(fù)雜，卻能反映某些自然性質(zhì)咏花。

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