解析幾何

一、平面直角坐標(biāo)系

1.兩點(diǎn)中點(diǎn)坐標(biāo)公式

兩點(diǎn) $P_1(x_1,y_1)與P_2(x_2,y_2)$ 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 $(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$

兩點(diǎn)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以看成是兩點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均值?

2.兩點(diǎn)之間的距離公式

兩點(diǎn) $A(x_1,y_1)$ 與 $B(x_2,y_2)$ 之間的距離 $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

建立直角三角形竿奏，根據(jù)勾股定理計(jì)算斜邊長(zhǎng)

$(x-a)^2+(y-b)^2$ ：看作 $(x,y)$ 與 $(a,b)$ 之間的距離
$x^2+y^2$ ：看作 $(x,y)$ 與 $(0,0)$ 之間的距離

二批狱、直線

1.傾斜角

直線與x軸正方向所成的夾角，稱為傾斜角，記為α.其中要求 $\alpha∈[0,\pi)$

當(dāng)直線水平時(shí)哥蔚，傾斜角為0.當(dāng)直線豎直時(shí)，傾斜角為90°.

2.斜率

傾斜角的正切值為斜率鬓催，記為 $k = tan\alpha,\alpha≠\frac{\pi}{2}$

image.png

α=0肺素，k=0
0<α<90°，k>0
α=90°宇驾，k不存在
90°<α<180°倍靡，k<0

3.兩點(diǎn)斜率公式

設(shè)直線l上有兩個(gè)點(diǎn) $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$ ，則 $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}课舍，x_1≠x_2$

4.兩條直線的夾角公式

兩條直線的夾角公式可以通過直線的斜率來計(jì)算塌西。
如果兩條直線的斜率分別為k1和k2他挎，那么這兩條直線的夾角θ可以通過以下公式計(jì)算：
$\tan(\theta) = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2} \right|$
其中，k1和k2分別是兩條直線的斜率捡需。

5.截距

$y=kx+b$

當(dāng)x=0時(shí)办桨，y值為y軸截距
當(dāng)y=0時(shí)，x值為x軸截距

6.直線方程

6.1斜截式

若已知斜率k和y軸截距b,直線可表示為 $y = kx + b$

當(dāng)斜率不存在時(shí)站辉，無法表達(dá)直線和豎直線

6.2 點(diǎn)斜式

若已知斜率k和某點(diǎn) $(x_0,y_0)$ ,直線可表示為 $y-y_0=k(x-x_0)$ （無法表達(dá)豎直線）
或 $k=\frac{y-y_0}{x-x_0}$ （水平和豎直都無法表達(dá)）

6.3截距式

若已知x軸和y軸截距分別為a, b,直線可表示為 $\frac{x}{a}+\frac{y}呢撞=1$

無法表達(dá)過原點(diǎn)直線，水平線和豎直線

6.4兩點(diǎn)式

若已知兩點(diǎn)坐標(biāo) $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ ,直線可表示為 $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$
化為整式： $(y-y_1)(x_2-x_1)=(x-x_1)(y_2-y_1)$

無法表達(dá)水平線和豎直線

6.5 一般式

上述方程都可以化為一次函數(shù) $ax+by+c=0$ ,它稱為直線方程的一般式

斜率 $k=-\frac{a}饰剥$
x軸截距 $x=-\frac{c}{a}$
y軸截距 $y=-\frac{c}殊霞$
直線l與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形面積 $S=\frac{c^2}{2|ab|}$

image.png

$S=\frac{1}{2}|\frac{c}{a}||\frac{c}|=\frac{c^2}{2|ab |}$

7.兩直線的位置關(guān)系

image.png

給出一條直線 $ax+by+c=0$ ,寫垂直直線方程
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=a_1a_2%2Bb_1b_2%3D0" alt="a_1a_2+b_1b_2=0" mathimg="1">,所以把x和y的系數(shù)互換汰蓉，其中一個(gè)變?yōu)樨?fù)绷蹲，最后相加為0即可
$bx-ay+c=0$
$-bx+ay+c=0$

8.點(diǎn)與直線

8.1 點(diǎn)與直線的位置關(guān)系

點(diǎn) $(x_0,y_0)$ ，直線 $l:y=kx+b$
$y_0 \begin{cases} \>>kx_0+b,點(diǎn)在直線上方 \\ =kx_0+b,點(diǎn)在直線上\\ <kx_0+b,點(diǎn)在直線下方\\ \end{cases}$

8.2 點(diǎn)到直線的距離

$l:ax+by+c=0,$ 點(diǎn) $(x_0,y_0)$ 到 $l$ 的距離 $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

8.3 兩平行直線的距離

$l_1:ax+by+c_1=0$
$l_2:ax+by+c_2=0$
那么 $l_1$ 與 $l_2$ 之間的距離為 $d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

注意計(jì)算時(shí)需要統(tǒng)一系數(shù)

三顾孽、圓

1.圓的方程

1.1 標(biāo)準(zhǔn)式

圓心為 $(x_0,y_0)$ ,半徑 $r$ 的圓可表示為 $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$

1.2 一般式

$x^2+y^2+ax+by+c=0$
將其配方變成標(biāo)準(zhǔn)式：
$(x+\frac{a}{2})^2+(y+\frac祝钢{2})^2=\frac{a^2+b^2-4c}{4}$
圓心： $(-\frac{a}{2},-\frac{2})$ 半徑： $r=\frac{\sqrt{a^2+b^2-4c}}{2}$

一般式成立的條件： $a^2+b^2-4c>0$ , $x^2,y^2$ 系數(shù)一樣

2.特殊的圓

image.png

3.與圓相關(guān)的位置關(guān)系

3.1 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn) $P(x_p,y_p)$ 若厚，圓 $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$

將點(diǎn)代入圓的方程：
$(x_p-x_0)^2+(y_p-y_0)^2 \begin{cases} <r^2,點(diǎn)在圓內(nèi)\\ =r^2,點(diǎn)在圓上\\ \>>r^2,點(diǎn)在圓外\\ \end{cases}$

判斷標(biāo)準(zhǔn)：根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小判斷內(nèi)外

3.2 直線與圓的位置關(guān)系

直線 $l:y=kx+b$ 拦英，圓 $O:(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$ ， $d$ 為圓心 $(x_0,y_0)$ 到直線 $l$ 的距離

image.png

判斷標(biāo)準(zhǔn)：根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑大小關(guān)系得出相離盹沈，相交和相切

直線過圓心龄章，d=0

3.3 圓與圓的位置關(guān)系

image.png

判斷標(biāo)準(zhǔn)：根據(jù)圓心距與半徑和差的大小關(guān)系判斷

四、對(duì)稱

1.軸對(duì)稱

1.1 點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱

點(diǎn) $P(x_0,y_0)$ 關(guān)于直線 $l:ax+by+c=0$ 的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 $(x_1,y_1)$ 乞封，滿足兩個(gè)條件：

線段PQ與直線L垂直，即線段PQ的斜率與直線L的斜率之積為-1
線段PQ的中點(diǎn)在直線L上

因此Q的坐標(biāo)可由以下方程組求得：
$\begin{cases} \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}·-(\frac{a}岗憋)=-1\\ a·\frac{x_0+x_1}{2}+b·\frac{y_0+y_1}{2}+c=0\\ \end{cases}$

大D法求對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)：
$P(x_0,y_0)$ 對(duì)稱直線 $l:ax+by+c=0$

$D=ax_0+by_0+c$
$Q(x_0-\frac{2aD}{a^2+b^2},y_0-\frac{2bD}{a^2+b^2})$

1.2 平行直線的對(duì)稱

image.png

l_1//l

肃晚，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=l_1" alt="l_1" mathimg="1">與

l_2

關(guān)于

l

對(duì)稱，由對(duì)稱的性質(zhì)易知

l_1//l_2

仔戈，且

l

到

l_1

與

l_2

的距離

d_1

與

d_2

相等关串。
若

l_1

的方程為

ax+by+c_1=0

，

l

的方程為

ax+by+c=0

,
則可設(shè)

l_2

的方程為

ax+by+c_2=0

根據(jù)距離相等可以得到

l_2

的方程為

ax+by+(2c-c_1)=0

1.3 相交直線的對(duì)稱

image.png

方法一：由 $l_1∩l=P$ 监徘，可求出交點(diǎn)坐標(biāo).再找出 $l_1$ 上任意一點(diǎn)(點(diǎn)P除外)關(guān)于 $l$ 對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)(用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的方法)晋修，再根據(jù)兩點(diǎn)式求出
直線 $l_2$ 的方程.

方法二：由對(duì)稱性可知 $l_1$ 到 $l$ 的角相等，且 $l_2$ 過 $l_1$ 與 $l$ 的交點(diǎn)P凰盔，由到角公式求出 $l_2$ 的斜率墓卦，再求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)后，可由點(diǎn)斜式求
得直線的方程.

大D法求直線關(guān)于直線的對(duì)稱：
$l_2:\frac{l_1}{l}=\frac{ax+by+c_1}{Ax+By+c}=\frac{2aA+2bB}{A^2+B^2}$

1.4 圓關(guān)于直線的對(duì)稱

image.png

只需求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)户敬，再由半徑不變求出圓的方程

1.5 特殊的對(duì)稱

image.png

2.中心對(duì)稱

2.1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱

點(diǎn) $P(x,y)$ 關(guān)于點(diǎn) $M(a,b)$ 對(duì)稱的點(diǎn) $Q$ 的坐標(biāo)是 $Q(2a-x, 2b-y)$ .
(由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到).
如點(diǎn)(1, -4)關(guān)于(-2, 0)對(duì)稱的點(diǎn)是(-5, 4)

2.2直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱

直線 $l:Ax+By+C=0$ 關(guān)于 $P(a,b)$ 對(duì)稱的直線 $l_1$ 的方程是：
$A(2a-x)+B(2b-y)+C=0$ ,即 $Ax+By-2aA-2bB-C=0$

五落剪、面積

1.直線相關(guān)面積

1.1 一條直線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形面積

先求出直線的兩個(gè)截距睁本，然后再計(jì)算面積
公式：直線 $ax+by+c=0$ 與兩坐標(biāo)軸圍成的面積為 $S=\frac{c^2}{|2ab|}$

1.2兩條直線與x軸圍成的三角形面積

先求出兩直線的交點(diǎn)及兩直線與x軸的交點(diǎn)，然后利用底和高計(jì)算面積

1.3 兩條直線與y軸圍成的三角形面積

先求出兩直線的交點(diǎn)及兩直線與y軸的交點(diǎn)忠怖，然后利用底和高計(jì)算面積

1.4三條直線圍成的三角形面積

先求出三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)呢堰，然后用點(diǎn)到直線的距離公式求出高，再用兩點(diǎn)距離公式求出底凡泣，最后計(jì)算面積

image.png

S_△=\frac{1}{2}|x_ay_b-x_by_a|

如果三條直線相交的三個(gè)交點(diǎn)都不在原點(diǎn)處枉疼，則使用平移法，將其中一個(gè)座標(biāo)平移到原點(diǎn)處鞋拟，另外兩個(gè)交點(diǎn)隨之變化骂维，再求面積
將其中一個(gè)點(diǎn)移動(dòng)到原點(diǎn)，看x和y增加或減少了多少严卖，對(duì)應(yīng)另外兩個(gè)點(diǎn)的x和y也增減相應(yīng)的數(shù)值

六席舍、最值問題

1.距離的最值

結(jié)合對(duì)稱來分析距離的最值.

2. 面積的最值

由于三角形的面積跟底和高有關(guān)系，所以可以轉(zhuǎn)化為距離的最值來分析.

利用均值定理或者函數(shù)最值

當(dāng)經(jīng)過定點(diǎn)的直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積最小時(shí)哮笆，該定點(diǎn)為兩個(gè)截距的中點(diǎn)来颤。

3.線性規(guī)劃最值

線性規(guī)劃是利用數(shù)學(xué)為工具，來研究資源在一定條件下稠肘，如何精打細(xì)算福铅，用最少的資源,取得最大的經(jīng)濟(jì)效益，它是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論較完整项阴、方法較成熟滑黔、應(yīng)用較廣泛的一個(gè)分支，并能解決科學(xué)研究环揽、工程設(shè)計(jì)略荡、經(jīng)濟(jì)管理等許多方面的實(shí)際問題.
做題中注意以下幾個(gè)問題：
①用圖解法解決線性規(guī)劃問題時(shí)，分析題目的已知條件歉胶，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵汛兜，可先將題目中的量分類并列出表格，理清頭緒通今，然后列出不等式組尋求約束條件粥谬，并就題目所述找到目標(biāo)函數(shù)
②可行域就是二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域.

4.動(dòng)點(diǎn)求最值

對(duì)于動(dòng)點(diǎn)求最值，往往結(jié)合表達(dá)式的幾何意義辫塌，考慮動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)來分析最值.

最后編輯于：2024.10.26 18:15:35

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解析幾何

一、平面直角坐標(biāo)系

1.兩點(diǎn)中點(diǎn)坐標(biāo)公式

2.兩點(diǎn)之間的距離公式

二批狱、直線

1.傾斜角

2.斜率

3.兩點(diǎn)斜率公式

4.兩條直線的夾角公式

5.截距

6.直線方程

6.1斜截式

6.2 點(diǎn)斜式

6.3截距式

6.4兩點(diǎn)式

6.5 一般式

7.兩直線的位置關(guān)系

8.點(diǎn)與直線

8.1 點(diǎn)與直線的位置關(guān)系

8.2 點(diǎn)到直線的距離

8.3 兩平行直線的距離

三顾孽、圓

1.圓的方程

1.1 標(biāo)準(zhǔn)式

1.2 一般式

2.特殊的圓

3.與圓相關(guān)的位置關(guān)系

3.1 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

3.2 直線與圓的位置關(guān)系

3.3 圓與圓的位置關(guān)系

四、對(duì)稱

1.軸對(duì)稱

1.1 點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱

1.2 平行直線的對(duì)稱

1.3 相交直線的對(duì)稱

1.4 圓關(guān)于直線的對(duì)稱

1.5 特殊的對(duì)稱

2.中心對(duì)稱

2.1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱

2.2直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱

五落剪、面積

1.直線相關(guān)面積

1.1 一條直線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形面積

1.2兩條直線與x軸圍成的三角形面積

1.3 兩條直線與y軸圍成的三角形面積

1.4三條直線圍成的三角形面積

六席舍、最值問題

1.距離的最值

2. 面積的最值

3.線性規(guī)劃最值

4.動(dòng)點(diǎn)求最值

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