近世代數(shù)理論基礎(chǔ)3：等價關(guān)系

等價關(guān)系

關(guān)系

設A為一個集合,R為積集合 $A\times A=\{(a,b)|a,b\in A\}$ 的子集,則稱R為集合A上的一個關(guān)系, $\forall a,b\in A$ ,若 $(a,b)\in R$ ,則稱a與b具有關(guān)系R,記作aRb,否則稱a與b不具有關(guān)系R

等價關(guān)系

設A為一集合,R是A上的一個關(guān)系,若R滿足：

自反性： $\forall x\in A$ ,有 $(x,x)\in R$

對稱性： $\forall x,y\in A$ ,若 $(x,y)\in R$ ,則 $(y,x)\in R$

傳遞性： $\forall x,y,z\in A?$ ,若 $(x,y)\in R,(y,z)\in R?$ ,則 $(x,z)\in R?$

則稱R為集合A上的一個等價關(guān)系,記作 $\sim$

例1

有理數(shù)域Q上所有柯西列構(gòu)成的集合A,即 $A=\{\{a_n\}_{n=1}^\infty|a_n\in Q且\{a_n\}是收斂數(shù)列\(zhòng)}$

在A上定義關(guān)系 $\sim$ ：

$\forall \{a_n\},\{b_n\}\in A$ ,令 $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a,\lim\limits_{n\to \infty}b_n=b$

若 $a=b$ ,則定義 $\{a_n\}\sim \{b_n\}$

例2

設 $m\gt 1,m\in Z_+$ ,定義 $R=\{(x,y)|x,y\in Z且x-y能被m整除\}$

R是Z上的等價關(guān)系

等價類

設R為集合A上的等價關(guān)系, $\forall a\in A$ ,與a等價的所有元組成的集合為元a所屬的等價類,記作 $[a]$ ,即 $[a]=\{b\in A|(a,b)\in R\}$ ,a稱為這個等價類的代表元

所有等價類構(gòu)成的集合稱為A關(guān)于R的商集,記為 $A/R$ ,即 $A/R=\{[a]|a\in A\}$

命題

設R為集合A上的等價關(guān)系,則 $\forall a,b\in A,[a]=[b]\Leftrightarrow (a,b)\in R$

證明：

$必要性?$

$若[a]=[b],則b\in [a]$

$由等價類的定義$

$(a,b)\in R$

$充分性$

$若(a,b)\in R,則\forall c\in [b],有(b,c)\in R$

$由傳遞性$

$(a,c)\in R$

$\therefore c\in[a]$

$\therefore [b]\subset[a]$

$由對稱性$

$(b,a)\in R$

$\forall c\in [a],有(a,c)\in R$

$由傳遞性$

$(b,c)\in R$

$\therefore c\in [b]$

$\therefore [a]\subset [b]$

$\therefore [a]=[b]\qquad\mathcal{Q.E.D}$

(注：命題表明一個等價類可選擇其中的任何一個元為代表元)

劃分

設A是一個集合, $\{U_i|i\in I\}$ 是A的子集簇,其中I是某個確定的指標集,滿足：

(1) $\forall i\neq j,i,j\in I$ ,有 $U_i\cap U_j=\varnothing$

(2) $\bigcup\limits_{i\in I}U_i=A$

則稱 $\{U_i|i\in I\}$ 是集合A的一個劃分

定理：若R是集合A上的等價關(guān)系,則商集 $A/R$ 是A上的一個劃分

證明：

$對A/R中任意兩個等價類[a]和[b]$

$若[a]\neq [b],則[a]\cap [b]=\varnothing?$

$若不然,即[a]\cap [b]\neq \varnothing$

$\forall c\in [a]\cap [b]$

$由c\in [a]可知(a,c)\in R$

$由c\in [b]可知(b,c)\in R$

$由對稱性知(c,b)\in R$

$由傳遞性(a,b)\in R$

$\therefore [a]=[b],矛盾$

$下證A=\bigcup\limits_{[a]\in A/R}[a]$

$\forall [a]\in A/R,有[a]\subseteq A$

$\therefore \bigcup\limits_{[a]\in A/R}[a]\subset A$

$\forall a\in A,有a\in [a]\subseteq \bigcup\limits_{[a]\in A/R}[a]$

$\therefore A\subseteq \bigcup\limits_{[a]\in A/R}[a]\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：若 $\{U_i|i\in I\}$ 是集合A的一個劃分,則存在A上的一個等價關(guān)系R,使 $A/R=\{U_i|i\in I\}$

證明：

$定義A上的關(guān)系R$

$R=\{(a,b)|\exists U_i使a,b\in U_i\}$

$顯然,R為A上的等價關(guān)系$

$令B=\{U_i|i\in I\}$

$\forall [a]\in A/R$

$\because B為集合A的一個劃分$

$\therefore \exists U_i\in B使a\in U_i$

$由R的定義知$

$[a]=U_i$

$即[a]\in B$

$\therefore A/R\subset B$

$又\forall U_i\in B?$

$取a\in U_i?$

$\because [a]=U_i$

$\therefore U_i\in A/R$

$即B\subset A/R\qquad\mathcal{Q.E.D}$

(注：兩個定理表明,集合的劃分和等價關(guān)系是一回事)

例

令集合 $A=\{a,b,c\}$ , $U_1=\{a\}$ , $U_2=\{b,c\}$ ,則 $\{U_1,U_2\}$ 是A的一個劃分,該劃分對應的等價關(guān)系為 $R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)\}$

設 $f:A\to B$ 為一個映射,則f可誘導出A上的一個關(guān)系R, $R=\{(a,b)|f(a)=f(b),a,b\in A\}$ ,顯然R是A上的等價關(guān)系,其商集為 $A/R=\{[a]|a\in A\}$

f還可誘導出一個從 $A/R$ 到B的映射 $\bar{f}:\bar{f}([a])=f(a)$

定理：(1)上述 $\bar{f}$ 是單射

(2) $\bar{f}$ 是雙射 $\Leftrightarrow$ f是滿射

證明：

$(1)先證\bar{f}的定義是良性的$

$\forall [a],[b]\in A/R$

$若[a]=[b],則(a,b)\in R$

$\therefore f(a)=f(b)$

$\therefore \bar{f}([a])=\bar{f}([b])?$

$再證\bar{f}是單射?$

$\forall [a],[b]\in A/R$

$若\bar{f}([a])=\bar{f}([b])$

$即f(a)=f(b)?$

$\therefore (a,b)\in R?$

$\therefore [a]=[b]$

$(2)由(1)知\bar{f}是單射$

$\therefore \bar{f}是雙射\Leftrightarrow \bar{f}是滿射$

$顯然,\bar{f}是滿射\Leftrightarrow f是滿射\qquad\mathcal{Q.E.D}$

自然映射(典范映射)

$\pi:A\to A/R,\pi(a)=[a]$

例：設 $A=\{1,2,3,4\}$ , $B=\{a,b,c\}$ ,從A到B的一個映射f定義如下： $f(1)=f(2)=f(3)=a$ , $f(4)=b$ ,則由f誘導出的等價關(guān)系為

$R=\{(1,1,),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(4,4)\}$

它的商集為 $A/R=\{[1],[4]\}$ ,其中 $[1]=\{1,2,3\}=[2]=[3]$ , $[4]=\{4\}$

映射f誘導的從集合 $A/R=\{[1],[4]\}$ 到B的映射 $\bar{f}$ 如下： $\bar{f}([1])=f(1)=a$ , $\bar{f}([4])=c$ ,顯然, $\bar{f}$ 的定義與 $A/R$ 中元的代表元選擇無關(guān),即 $\bar{f}$ 是良性定義,且 $\bar{f}$ 是單射,由于f不是滿射,所以 $\bar{f}$ 也不是雙射

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關(guān)系

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例2

等價類

命題

劃分

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自然映射(典范映射)

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