第27課復(fù)數(shù)矩陣和快速傅里葉變換

當(dāng)向量和矩陣是復(fù)數(shù)時，求兩個復(fù)向量的內(nèi)積

傅里葉復(fù)數(shù)矩陣少孝，特殊的快速傅里葉變換(簡稱FFT)

在計算機(jī)經(jīng)常用到继低，特別是涉及大數(shù)據(jù)的時候，它可以很快速的進(jìn)行傅里葉變換稍走。

做乘法時怎樣才能快速用這個 $N$ 階方陣做乘法袁翁，通常 $N$ 階方陣的乘法要算 $n^2$ 次，因為有 $n^2$ 個非零元素钱磅，這是個矩陣梦裂，且列向量正交，而快速傅里葉變換將原先要進(jìn)行 $n^2$ 次計算縮減到 $nlog(n),log_2$ 盖淡，該 $log$ 底數(shù)是 $2$ 年柠，這只是簡單的矩陣分解，但改變是巨大的

復(fù)向量一般用 $z$ ： $z$ 不屬于 $R^n$ 而是 $n$ 維復(fù)空間褪迟， $z_1,z_2,\dots,z_n$ 都是復(fù)數(shù)
$\underbrace{z=\begin{bmatrix}z_1\\z_2\\\vdots\\z_n\end{bmatrix}}_{in C^n}\\ 模長=\begin{bmatrix}\overline{z}_1&\overline{z}_2&\dots&\overline{z}_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}z_1\\z_2\\\vdots\\z_n\end{bmatrix}=\overline{z}^Tz\\ \overline{z}_1為共軛復(fù)數(shù);\overline{z}_1z_1=|z_1|^2$
1的共軛為1冗恨， $i$ 的共軛是 $-i$
$z=\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix}1&-i\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix} = 1+1=2\\ 模長=\sqrt{2}$
$z^Hz$ 標(biāo)志 $H$ 抽取轉(zhuǎn)置的時候，還要算共軛味赃， $H$ 代表埃爾米特

復(fù)向量的內(nèi)積是 $\overline{y}^Tx=y^Hx$

實對稱意味著 $A^T=A$ 掀抹，在復(fù)數(shù)對稱矩陣中，
$A^H=A=\begin{bmatrix}2&b\\c&5\end{bmatrix}\\ 令b=3+i,\overline{c}^T=b\\ \therefore c=3-i$
復(fù)數(shù)情況下對應(yīng)的對稱矩陣 $\begin{bmatrix}2&3+i\\3-i&5\end{bmatrix}$ 心俗，該叫做埃爾米特矩陣 $A^H=A$ 傲武，它們的特征值是實數(shù)

$Q=\begin{bmatrix}\vdots&\vdots&\vdots\\q_1&q_2&q_3\\\vdots&\vdots&\vdots\end{bmatrix}\\ Q^TQ=I=Q^HQ$
酋矩陣它與 $Q$ 相似，首先它是 $n$ 階方陣城榛，列向量正交揪利，有正交的列向量以傅里葉命名

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