本章導(dǎo)航：
- 介紹 SymPy 的基礎(chǔ)語法窗市。
- 舉了兩個(gè)實(shí)例介紹如何使用 SymPy 做數(shù)學(xué)研究先慷。
9.1 Python 中的數(shù)學(xué)：符號(hào)計(jì)算
Python 有許多優(yōu)秀的處理數(shù)學(xué)的工具，本章僅僅介紹符號(hào)計(jì)算庫：SymPy咨察。
9.1.1 使用 SymPy 表示數(shù)
Sympy 庫完全由 Python 寫成论熙，支持符號(hào)計(jì)算、高精度計(jì)算摄狱、模式匹配脓诡、繪圖、解方程媒役、微積分祝谚、組合數(shù)學(xué)、離散 數(shù)學(xué)酣衷、幾何學(xué)交惯、概率與統(tǒng)計(jì)、物理學(xué)等方面的功能穿仪。
復(fù)數(shù)一般使用 的形式進(jìn)行表示席爽。其中
，而
是虛數(shù)的單位啊片。在 SymPy 中針對這些特定的“數(shù)”拳昌，有專門的符號(hào)表示。
使用 I 表示 钠龙，使用
Rational 表示分?jǐn)?shù)。
from sympy import I, Rational, sqrt, pi, E, oo
3 + 4I, Rational(1, 3), sqrt(8), sqrt(-1), pi, E**2, oo
輸出的結(jié)果是：
可以看出，SymPy 可以完美的表示我們熟悉的各種數(shù)學(xué)中定義的“數(shù)”碴里。
9.1.2 使用 SymPy 提升您的數(shù)學(xué)計(jì)算能力
為什么要使用 SymPy 呢沈矿？直接使用 Python 的 math 庫不就可以了嗎？您也許會(huì)有諸如此類的疑問咬腋。在解釋原因之前羹膳，我們來看一個(gè)例子：
import math
math.sqrt(8)
輸出的結(jié)果是：
2.8284271247461903
2.8284271247461903？您沒有看出根竿，由于計(jì)算機(jī)是以二進(jìn)制方式進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的陵像，故而計(jì)算虛數(shù)的值總是不精確的，而 SymPy 的計(jì)算結(jié)果便是精確的寇壳。
import math, sympy
math.sqrt(8) ** 2, sympy.sqrt(8) ** 2
輸出結(jié)果是：
(8.000000000000002, 8)
9.1.2.1 對數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行簡化與展開
在 SymPy 中使用 symbols 定義數(shù)學(xué)中一個(gè)名詞：變量醒颖。使用 symbols 創(chuàng)建多個(gè)變量名時(shí)，請使用空格或者逗號(hào)進(jìn)行隔開壳炎，即 symbols('x y') 或者 symbols('x,y') 的形式泞歉。
from sympy import symbols
x, y = symbols('x y')
expr = x + 2*y
expr
輸出結(jié)果：
這樣，我們便可以將 expr 當(dāng)作數(shù)學(xué)中的表達(dá)式了：
expr + 1, expr - x
輸出結(jié)果：
,
既然談到數(shù)學(xué)表達(dá)式匿辩，總會(huì)涉及的其的展開與化簡腰耙。比如 ，可以這樣：
from sympy import expand, factor
expanded_expr = expand(x*expr)
expanded_expr
輸出結(jié)果是：
我們還可以將其展開式轉(zhuǎn)換為因子的乘積的形式：
factor(expanded_expr)
輸出的結(jié)果是：
SymPy 不僅僅如此铲球，它還可以支持 LATEX 公式：
alpha, beta, nu = symbols('alpha beta nu')
alpha, beta, nu
輸出結(jié)果是：
需要注意的是 symbols 定義的變量 x, y 等不再是字符串挺庞，您將其看作是數(shù)學(xué)中的變量即可。
9.1.2.2 求導(dǎo)稼病，微分选侨，定積分，不定積分溯饵，極限
先載入一些會(huì)用到的函數(shù)侵俗，方法，符號(hào)：
from sympy import symbols, sin, cos, exp, oo
from sympy import expand, factor, diff, integrate, limit
x, y, t = symbols('x y t')
在 SymPy 中使用 diff 對數(shù)學(xué)表達(dá)式求導(dǎo)丰刊，比如：隘谣，使用 SymPy，則有：
diff(sin(x)*exp(x), x)
輸出結(jié)果是：
在 SymPy 中使用 integrate 求解不定積分與定積分啄巧。比如寻歧，，即：
integrate(exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x), x)
輸出結(jié)果：
定積分
integrate(sin(x**2), (x, -oo, oo))
輸出結(jié)果：
在 SymPy 中使用 limit 求極限秩仆，比如 码泛，即：
limit(sin(x)/x, x, 0)
輸出結(jié)果：
1
9.1.2.3 解方程
from sympy import solve, dsolve, Eq, Function
可以使用 SymPy 的 solve 求解 這種類型的方程。比如澄耍，求解
：
solve(x**2 - 2, x)
輸出結(jié)果是：
您還可以使用 SymPy 的 dsolve 函數(shù)求解微分方程：
y = Function('y')
dsolve(Eq(y(t).diff(t, t) - y(t), exp(t)), y(t))
輸出 的結(jié)果：
小貼士：您可以使用 sympy.latex 將您的運(yùn)算結(jié)果使用 LATEX 的形式打印出來：
from sympy import latex
latex(Integral(cos(x)**2, (x, 0, pi)))
輸出結(jié)果：
\int\limits_{0}^{\pi} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx
9.1.3 使用 SymPy 求值
在 9.4.2 中我們已經(jīng)介紹了 SymPy 的大多數(shù)符號(hào)運(yùn)算機(jī)制噪珊，接下來將討論如何通過“賦值”（數(shù)學(xué)中的變量賦值）來獲取表達(dá)式的值晌缘。如果您想要為表達(dá)式求值，可以使用 subs 函數(shù)（Substitution痢站，即置換）：
x = symbols('x')
expr = x + 1
expr.subs(x, 2)
輸出的結(jié)果為：
3
正是我們想要得到的預(yù)期結(jié)果磷箕。
也可以使用 subs 函數(shù)作為參數(shù)置換，比如：
在 9.1.2.3 中出現(xiàn)的符號(hào) Eq 是用來表示兩個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式的相等關(guān)系阵难。比如岳枷， ，可以這樣：
Eq(x+1, 4)
輸出結(jié)果：
又比如呜叫，空繁，可以這樣：
Eq((x + 1)**2, x**2 + 2*x + 1)
輸出結(jié)果：
如果您想要判斷兩個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式是否相等，您有兩種方式朱庆。下面我們來判斷
方式一：使用 equals盛泡。
a = cos(x)**2 - sin(x)**2
b = cos(2*x)
a.equals(b)
輸出結(jié)果為 True 符合預(yù)期。
方式二：使用 simplify 化簡等式：
simplify(a - b)
輸出結(jié)果為 0 也符合預(yù)期椎工。
當(dāng)然饭于，也可以作圖：
9.1.4 使用 SymPy 做向量運(yùn)算
在 SymPy 中分別使用 Point，Segment 來表示數(shù)學(xué)中的點(diǎn)與線段實(shí)體（entity）维蒙。
from sympy import Segment, Point
from sympy.abc import x
a = Point(1, 2, 3)
b = Point([2, 3])
c = Point(0, x)
a, b, c
輸出結(jié)果是：
(Point3D(1, 2, 3), Point2D(2, 3), Point2D(0, x))
即 Point 用來表示數(shù)學(xué)中的點(diǎn)（向量）：掰吕，其中
。對于
Segment(x1,x2)中的參數(shù) x1颅痊，x2 可以是 Point 實(shí)例殖熟，也可以是元組或者列表，array 等斑响。但是 x1 與 x2 代表的點(diǎn)的維度必須一樣菱属。Segment(x1,x2) 表示一個(gè)有向的線段，即矩形的對角線方向?yàn)?舰罚。比如纽门，定義下圖9.4.1的實(shí)體：
x1 = Point(1,1)
x2 = Point(2,2)
s = Segment(x1,x2)
圖中的有向?qū)蔷€（向量）可以通過 s.direction 進(jìn)行計(jì)算：
s.direction
輸出結(jié)果為：
??????????2??(1,1)
即向量 。在許多領(lǐng)域中营罢，一般將水平向右作為
軸赏陵，水平向下作為
軸。左上角作為原點(diǎn)
饲漾。
有了對角線的方向蝙搔，便可以計(jì)算矩形框的寬與高：
w, h = s.direction
由于 Point 指代數(shù)學(xué)中的向量，故而其存在加法考传、減法吃型、數(shù)乘以及內(nèi)積運(yùn)算，它們均被重載為 Python 的運(yùn)算符僚楞。比如勤晚，我們定義向量 枉层，且
，可有：
a = Point(0,1)
b = Point(1,0)
c = Point(1,1)
下面我們對它們進(jìn)行加法運(yùn)算：
a + b == c
輸出結(jié)果為 True 符合預(yù)期赐写。同樣有：
a - b, c * 2, a.dot(c)
輸出結(jié)果為：
(Point2D(-1, 1), Point2D(2, 2), 1)
所有結(jié)果均符合預(yù)期返干。下面我們再來看看 Segment：
ab = Segment(a, b)
ac = Segment(a, c)
ab.direction, ac.direction
輸出的結(jié)果是：
(Point2D(1, -1), Point2D(1, 0))
我們可以計(jì)算 ab 與 ac 的方向向量的夾角余弦：
ab.direction.dot(ac.direction) / (ab.length * ac.length)
輸出結(jié)果為 ，即
血淌。很容易求得
。更方便的是财剖，
Segment 提供了函數(shù)直接計(jì)算夾角：
ab.angle_between(ac)
輸出結(jié)果也是 悠夯。是不是很方便？如果您想要獲取
Segment 實(shí)例的全部點(diǎn)可以調(diào)用 ab.points躺坟，分別調(diào)取各點(diǎn)則可以使用 ab.p1 與 ab.p2沦补。
9.2 一個(gè)案例：實(shí)現(xiàn)圖像局部 resize 保持高寬比不變
下面我們利用 9.4 節(jié)學(xué)習(xí)的東西構(gòu)造一個(gè)實(shí)現(xiàn)圖像局部 resize 保持高寬比不變的模型。
- 題設(shè)：假設(shè)有一張圖片
的尺寸為
咪橙，
夕膀，
。
- 目標(biāo)：將
美侦，而約束條件是保證 resize 之后的邊界為
（注意：這里的
表示下邊界長度）产舞。需要盡可能保持 resize 之后的圖片塊寬高比不變，即滿足：
其中 指的是上邊界的長度菠剩。這里只有
的未知量易猫，我們可以直接求出：
為了保證 resize 的一致性，需要在原圖補(bǔ)邊 對應(yīng)于
具壮。下面給出它們的計(jì)算公式：
同時(shí)還需要保證 resize 前后的寬高與邊界的比例不變：
聯(lián)合上述公式准颓，便可以求出所有未知量。至此棺妓，模型建立完畢攘已。下面考慮使用 Python 實(shí)現(xiàn)。
from sympy import Point, Segment, symbols, Eq, solve
from dataclasses import dataclass
@dataclass
class Resize:
W: int
H: int
w: int
h: int
w_m: int
h_m: int
def model(self):
H_m, W_m, H_p, h_p = symbols("H_m, W_m, H_p, h_p")
eq1 = Eq(self.W/self.H, (self.w - 2 * self.w_m)/(self.h - self.h_m - h_p))
eq2 = Eq(self.w/self.h, (self.W + 2 * W_m)/(self.H + H_m + H_p))
eq3 = Eq(self.W/W_m, self.w/self.w_m)
eq4 = Eq(self.H/H_m, self.h/self.h_m)
R = solve([eq1, eq2, eq3, eq4], [H_m, W_m, H_p, h_p])
return R
# 傳入已知量
W, H = 100, 100
w, h = 32, 32
w_m, h_m = 5, 5
# 模型建立
r = Resize(W, H, w, h, w_m, h_m)
# 模型求解
R = r.model()
# 查看求解結(jié)果
R
輸出結(jié)果為：
{H_m: 15.6250000000000,
W_m: 15.6250000000000,
H_p: 15.6250000000000,
h_p: 5.00000000000000}
這樣我們完成了設(shè)定的目標(biāo)怜跑。為了更直觀样勃，從網(wǎng)上找一張貓的圖片作為例子。為了可視化的方便妆艘，我們需要定義一個(gè)畫邊界框的函數(shù)：
def bbox_to_rect(bbox, color):
# 將邊界框(左上x, 左上y, 右下x, 右下y)格式轉(zhuǎn)換成matplotlib格式：
# ((左上x, 左上y), 寬, 高)
return plt.Rectangle(
xy=(bbox[0], bbox[1]), width=bbox[2]-bbox[0], height=bbox[3]-bbox[1],
fill=False, edgecolor=color, linewidth=1)
該函數(shù)的參數(shù) bbox 取值為 彤灶，
color 指定框的顏色。
from matplotlib import pyplot as plt
%matplotlib inline
# 讀取圖片
img = plt.imread("cat.jpg")
bbox = [65, 25, 235, 175] # 框的坐標(biāo)
fig = plt.imshow(img)
fig.axes.add_patch(bbox_to_rect(bbox, 'blue'))
plt.show()
輸出結(jié)果為：
數(shù)組 img 指代 批旺，而圖中的“貓”（即
）我們可以使用切片的方式獲取幌陕，即
img[bbox[1]:bbox[3]+1,bbox[0]:bbox[2]+1]（這里需要注意，切片的第一維度為高）汽煮，即：
patch = img[bbox[1]:bbox[3]+1,bbox[0]:bbox[2]+1]
plt.imshow(patch)
plt.show()
輸出結(jié)果為：
我們可以直接求得貓片的寬和高：h, w = patch.shape[:2]，但是心例，patch 是由 bbox 獲取的宵凌，故而，我們也可以直接求得：
def get_aspect(bbox):
'''
計(jì)算 bbox 的寬和高
'''
# 加 1 是因?yàn)橄袼攸c(diǎn)是的尺寸為 1x1
w = bbox[2] - bbox[0] + 1
h = bbox[3] - bbox[1] + 1
return w, h
# 獲取寬高
W, H = get_aspect(bbox)
我們想要將貓片 resize 為 止后，則可以設(shè)定：
w, h = 480, 480
w_m, h_m = 5, 5
接著瞎惫，計(jì)算邊界：
r = Resize(W, H, w, h, w_m, h_m)
R = r.model()
H_m, W_m, H_p, h_p = R.values()
由于這里獲取的值是浮點(diǎn)數(shù)，我們需要將其轉(zhuǎn)換為整數(shù)：
def float2int(*args):
return [int(arg)+1 for arg in args]
# 獲取整數(shù)型數(shù)據(jù)
H_m, W_m, H_p, h_p = float2int(*R.values())
最后译株，我們原圖與 resize 之后的圖片展示如下：
import cv2
patch = img[bbox[1]-H_p:bbox[3]+1+H_m,bbox[0]-W_m:bbox[2]+1+W_m]
resize = cv2.resize(patch, (w, h))
plt.imshow(patch)
plt.title("origin")
plt.show()
plt.imshow(resize)
plt.title("resize")
plt.show()
輸出結(jié)果為：
本章的代碼邏輯并不是很嚴(yán)謹(jǐn)瓜喇，主要是提供如何一個(gè)創(chuàng)建計(jì)算機(jī)視覺軟件的思路，您仔細(xì)研究本章的軟件設(shè)計(jì)思路將會(huì)收獲很多的歉糜。
