不需要掌握多么豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)就能很容易地察覺到數(shù)學(xué)的這些特征：第一是它的抽象性浸间；第二是精確性登颓，或者更好地說是邏輯的嚴(yán)格性以及它的結(jié)論的確定性；最后是它的應(yīng)用的極端廣泛性躏惋。

抽象性

抽象性在簡單的計(jì)算中就已經(jīng)表現(xiàn)出來幽污。我們運(yùn)用抽象的數(shù)字，卻并不打算每次都把它們同具體的對(duì)象聯(lián)系起來：我們?cè)趯W(xué)校中學(xué)的是抽象的乘法表——總是數(shù)字的乘法表簿姨，而不是男孩的數(shù)目乘上蘋果的數(shù)目距误，或者蘋果的數(shù)目乘上蘋果的價(jià)錢等等。同樣地在兒何中研究的扁位，例如准潭，是直線，而不是拉緊了的繩子域仇，并且在幾何線的概念中舍棄了所有性質(zhì), 只留下在一定方向上的伸長刑然。總之暇务，關(guān)干幾何圖形的概念是舍棄了現(xiàn)實(shí)對(duì)象的所有性質(zhì)只留下其空間形式和大小的結(jié)果泼掠。

全部數(shù)學(xué)都具有這種抽象的特征。關(guān)于整數(shù)的概念和關(guān)于幾何圖形的概念——這只是一些最原始的數(shù)學(xué)概念垦细。之后才是其他許多達(dá)到復(fù)數(shù)择镇、函數(shù)、積分括改、微分,泛函,n維甚至無限維空間等等這樣抽象程度的概念腻豌。這些概念的抽象化好象是一個(gè)高于一個(gè)，一直高到這樣的抽象程度, 以致看上去已經(jīng)失去了同生活的一切聯(lián)系嘱能，讓不少人覺得數(shù)學(xué)無用吝梅，莫名其妙而無法理解。

事實(shí)上情形當(dāng)然不是這樣惹骂，雖然說n維空間的概念的確非常抽象苏携，但它卻有完全現(xiàn)實(shí)的內(nèi)容，要了解這內(nèi)容并不那么困難析苫。在這本書里將要特別強(qiáng)調(diào)和解釋上面列舉的那些抽象概念的現(xiàn)實(shí)意義兜叨，并且使讀者相信這些概念全都是既從它們自身的起源方面也從實(shí)際應(yīng)用方面同生活聯(lián)系著的，不過衩侥，抽象并不是數(shù)學(xué)獨(dú)有的屬性，它是任何一門科學(xué)乃至全部人類思維都具有的特性矛物。因此茫死，單是數(shù)學(xué)概念的抽象性還不能說盡數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)在它的抽象方面的特點(diǎn)還在于履羞，第一峦萎，在數(shù)學(xué)的抽象中首先保留量的關(guān)系和空間形式而舍棄了其他一切屡久。第二，數(shù)學(xué)的抽象是經(jīng)過一系列階段而產(chǎn)生的爱榔；它們達(dá)到的抽象程度大大超過了自然科學(xué)中一般的抽象被环，我們將以數(shù)學(xué)的基本概念：數(shù)與形為例來詳細(xì)解釋這兩點(diǎn)。最后——這也是惹人注意的——數(shù)學(xué)本身幾平完全周旋于抽象概念和它們的相互關(guān)系的圈子之中详幽，如果自然科學(xué)家為了證明白己的論斷常常求助于實(shí)驗(yàn)筛欢，那么數(shù)學(xué)家證明定理只需用推理和計(jì)算。

?精確性

當(dāng)然唇聘，數(shù)學(xué)家們?yōu)榱税l(fā)現(xiàn)自己的定理和方法也常常利用模型版姑，物理的類比。牛頓和萊布尼茨就從不同的角度闡述了微積分迟郎。所有這些都是理論的現(xiàn)實(shí)來源剥险，有助于發(fā)現(xiàn)理論的定理，但是每個(gè)定理最終地在數(shù)學(xué)中成立只有當(dāng)它已從邏輯的推論上嚴(yán)格地被證明了的時(shí)候宪肖。如果一個(gè)幾何學(xué)家報(bào)告一條他所發(fā)現(xiàn)的新定理時(shí)表制，只限于在模型上把它表示出來，那么任何一個(gè)數(shù)學(xué)家都不會(huì)承認(rèn)這條定理是被證明了控乾。對(duì)于證明一個(gè)定理的要求從中學(xué)的幾何課程中就可以很好地了解到了夫凸。這種要求貫穿在全部數(shù)學(xué)中，我們可以極精確地測量成千個(gè)等腰三角形的底角阱持，但這并不能給我們以關(guān)于等腰三角形兩底角相等的定理的數(shù)學(xué)證明夭拌。數(shù)學(xué)要求從幾何的基本概念推導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果：證明一個(gè)定理對(duì)于數(shù)學(xué)家來說就是要從這個(gè)定理中引用的那些概念所固有的原始性質(zhì)出發(fā)，用推理的方法導(dǎo)出這個(gè)定理衷咽。這樣看來鸽扁，不僅數(shù)學(xué)的概念是抽象的，思辨的镶骗，而且數(shù)學(xué)的方法也是抽象的桶现、思辨的。

數(shù)學(xué)結(jié)論本身的特點(diǎn)具有很大的邏輯嚴(yán)格性鼎姊。數(shù)學(xué)推理的進(jìn)行具有這樣的精密性骡和，這種推理對(duì)于每個(gè)只要懂得它的人來說，都是無可爭辯和確定無疑的相寇。數(shù)學(xué)證明的這種精密性和確定性人們從中等學(xué)校的課程中就已很好地懂得了慰于。數(shù)學(xué)真理本身也是完全不容爭辯的，難怪人們常說：“像二乘二等于四那樣的證明”唤衫。這里婆赠，數(shù)學(xué)關(guān)系式2x2=4正是取作不可反駁，無可爭辯的范例佳励。

但是數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性不是絕對(duì)的休里，它在發(fā)展著蛆挫；數(shù)學(xué)的原則不是一勞永逸地僵立不動(dòng)了，而是變化著的并且也可能成為甚至已經(jīng)成為科學(xué)爭論的對(duì)象妙黍。

歸根到底悴侵，數(shù)學(xué)的生命力的源泉在于它的概念和結(jié)論盡管極為抽象，但卻如我們所堅(jiān)信的那樣拭嫁，它們是從現(xiàn)實(shí)中來的可免，并且在其他科學(xué)中，在技術(shù)中噩凹，在全部生活實(shí)踐中都有廣泛的應(yīng)用巴元，這一點(diǎn)，對(duì)于了解數(shù)學(xué)是最主要的驮宴。

應(yīng)用的廣泛性

數(shù)學(xué)應(yīng)用得非常廣泛也是它的特點(diǎn)之一：

第一逮刨、我們經(jīng)常地，幾乎每時(shí)每刻地在生產(chǎn)中堵泽、在日常生活中修己、在社會(huì)生活中運(yùn)用著最普通的數(shù)學(xué)概念和結(jié)論，甚至都沒意識(shí)到這一點(diǎn)迎罗。例如睬愤，我們計(jì)算日子或開支時(shí)就應(yīng)用了算術(shù)，而計(jì)算住宅的面積時(shí)就運(yùn)用了幾何學(xué)的結(jié)論纹安。當(dāng)然尤辱，這些結(jié)論都是十分簡單的，不過厢岂，記起這一點(diǎn)是有益的：在古代某個(gè)時(shí)候光督，這些結(jié)論曾經(jīng)是當(dāng)時(shí)正在萌芽中的數(shù)學(xué)的一些很高的成就。

第二塔粒、如果沒有數(shù)學(xué)结借，全部現(xiàn)代技術(shù)都是不可能的。離開或多或少復(fù)雜的計(jì)算卒茬，也許任何一點(diǎn)技術(shù)的改進(jìn)都不能有船老；在新的技術(shù)部門的發(fā)展上數(shù)學(xué)起著十分重要的作用。

第三圃酵、幾乎所有的科學(xué)部門都或多或少的使用數(shù)學(xué)柳畔。“精確科學(xué)”——力學(xué)辜昵、天文學(xué)荸镊、物理學(xué)，以及在很大的程度上的化學(xué)——通常都是以一些公式來表述自己的定律堪置，都在發(fā)展自己的理論時(shí)廣泛地運(yùn)用了數(shù)學(xué)工具躬存。沒有數(shù)學(xué)，這些科學(xué)的進(jìn)步簡直是不可能的舀锨。因此岭洲，力學(xué)、天文學(xué)和物理學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)的需要怡好也總是在數(shù)學(xué)的發(fā)展上起了直接的坎匿、決定性的作用盾剩。

在其他科學(xué)中數(shù)學(xué)起著較小的作用。但就在這些領(lǐng)域中替蔬，它也有重要的應(yīng)用告私。當(dāng)然，在研究像生物現(xiàn)象和社會(huì)理象那樣復(fù)雜的現(xiàn)象時(shí)承桥，數(shù)學(xué)方法本質(zhì)上不能起像在物理學(xué)中所能起的那樣的作用驻粟。數(shù)學(xué)的應(yīng)用總是只有與具體現(xiàn)象的深刻理論相結(jié)合才有意義，在這些現(xiàn)象的研究中尤其如此凶异。記住這一點(diǎn)是很重要的蜀撑，這樣才不致迷感于毫無實(shí)在內(nèi)容的公式游戲。但是無論如何剩彬，數(shù)學(xué)幾乎在所有科學(xué)中酷麦，從力學(xué)到政治經(jīng)濟(jì)學(xué)，都有著這樣那樣的應(yīng)用喉恋。

我們來回憶幾個(gè)在精確科學(xué)和技術(shù)中特別出色的數(shù)學(xué)應(yīng)用的例子沃饶。太陽系最遠(yuǎn)的行星之一的海王星是在1846年在數(shù)學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)上被發(fā)現(xiàn)的。天文學(xué)家阿達(dá)姆斯和勒未累分析了天王星的運(yùn)動(dòng)的不規(guī)律性轻黑，得出結(jié)論說：這種不規(guī)律性是由其他行星的引力而發(fā)生的糊肤。勒未累根據(jù)力學(xué)法則和引力法則計(jì)算出這顆行星應(yīng)該位于何處，他把這結(jié)果告訴了觀察員苔悦，而觀察員果然從望遠(yuǎn)鏡中在勒未累所指出的位置上看到了這顆星轩褐，這個(gè)發(fā)現(xiàn)不僅是力學(xué)和天文學(xué)特別是哥白尼體系的勝利，而且也是數(shù)學(xué)計(jì)算的勝利玖详。

另一個(gè)同樣令人信服的例子是電磁波的發(fā)現(xiàn)把介，英國物理學(xué)家馬克斯威爾概括了由實(shí)驗(yàn)建立起來的電磁現(xiàn)象規(guī)律撕蔼，把這些規(guī)律表述為方程的形式啸臀。他用鈍粹數(shù)學(xué)的方法從這些方程推導(dǎo)出可能存在著電磁波并且這種電磁波應(yīng)該以光速傳播值依。根據(jù)這一點(diǎn)巨坊，他提出了光的電磁理論枚碗，這理論以后被全面地發(fā)展和論證了芥吟，但除此以外迁酸，馬克斯威爾的結(jié)論還推動(dòng)了人們?nèi)ふ壹冸娖鹪吹碾姶挪ㄕㄏ纾烧駝?dòng)放電所發(fā)射的電磁波君纫。這樣的電磁波果然被赫茲所發(fā)現(xiàn)驯遇。而不久之后，波波夫就找到了電磁振蕩的激發(fā)蓄髓、發(fā)送和接收的辦法叉庐，并把這些辦法帶到許多應(yīng)用部門，從而為全部無線電技術(shù)奠定基礎(chǔ)会喝。在已成為公共財(cái)富的無線電的發(fā)現(xiàn)中陡叠，純粹數(shù)學(xué)推論的結(jié)果也起了巨大的作用。

科學(xué)就是這樣從觀察肢执，比如觀察到由電流而引起磁針偏轉(zhuǎn)枉阵，進(jìn)入概括，進(jìn)入現(xiàn)象的理論预茄，進(jìn)入規(guī)律的提出以及它們的數(shù)學(xué)表達(dá)式兴溜。新的結(jié)論從這些規(guī)律中產(chǎn)生，而最后反璃，理論又體現(xiàn)在實(shí)踐中昵慌，實(shí)踐也給予理論以向前發(fā)展的新的強(qiáng)有力的動(dòng)力。特別值得注意的是淮蜈，沒有從自然科學(xué)或技術(shù)方面來的直接推動(dòng)斋攀，而僅從數(shù)學(xué)本身內(nèi)部產(chǎn)生的最抽象的數(shù)學(xué)體系，也有極有價(jià)值的應(yīng)用梧田。例如淳蔼，虛數(shù)在代數(shù)中的出現(xiàn)，在很長一段時(shí)間中它的實(shí)在意義卻沒有被理解裁眯，這一情況可以從它們的名稱中看出鹉梨，但是以后，就在上世紀(jì)初對(duì)它們給予了幾何的解釋穿稳，從而虛數(shù)在數(shù)學(xué)中完全站住了存皂，并且建立了復(fù)變函數(shù)的廣泛理論，成為解決許多技術(shù)問題有力的工具逢艘。比如旦袋，茹可夫斯基關(guān)于機(jī)翼上升力的基本定理正好就是以這個(gè)理論作為工具來證明的。又如它改，就是這個(gè)理論在解決堤壩滲水問題時(shí)也顯示了它的用處疤孕，至于這個(gè)問題的意義在巨大的水電站建設(shè)時(shí)代是很顯然的。

非歐幾里得幾何是另一個(gè)同樣光輝的例子央拖，它是從歐幾里得時(shí)代起的幾千年來人們想要證明平行公理的企圖中祭阀，也就是說鹉戚，從一個(gè)只有純粹數(shù)學(xué)趣味的問題中產(chǎn)生的。羅巴切夫斯基創(chuàng)立了這門新的幾何學(xué),他自己謹(jǐn)慎地稱之為“想象的”专控，因?yàn)檫€不能指出它的現(xiàn)實(shí)意義抹凳，雖然他相信是會(huì)找到這種現(xiàn)實(shí)意義的。他的幾何學(xué)的許多結(jié)論對(duì)大多數(shù)人來說非但不是“想象的”踩官，而且簡直是不可想象和荒誕的却桶【呈洌可是無論如何羅巴切夫斯基的思想為幾何學(xué)的新發(fā)展以及各種不同的非歐幾里得空間理論的建立打下了基礎(chǔ)蔗牡；后來這些思想成為廣義相對(duì)論的基礎(chǔ)之一，并且四維空間非歐幾里得幾何的一種形式成了廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)工具嗅剖。于是,至少看來是不可理解的抽象數(shù)學(xué)體系成了一個(gè)最重要的物理理論發(fā)展的有力工具辩越。同樣地，在原子現(xiàn)象的近代理論中信粮，在量子力學(xué)中黔攒，實(shí)際上都運(yùn)用著許多高度抽象的數(shù)學(xué)概念和理論，比如强缘，無限維空間的概念等等督惰。

不必陷于例子的列舉；例子只是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)在日常生活實(shí)踐中旅掂，在技術(shù)中赏胚，在科學(xué)中都有最廣泛的應(yīng)用，并且只從數(shù)學(xué)本身內(nèi)部生長起來的理論在精確科學(xué)和許多技術(shù)向題中也有其應(yīng)用商虐。除了數(shù)學(xué)的抽象性觉阅、嚴(yán)格性和它的結(jié)論的確定性以外，數(shù)學(xué)的另一個(gè)特征便是如此秘车。

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