前言：自大學(xué)畢業(yè)后婉称，基本沒有關(guān)注過高等數(shù)學(xué)块仆，但是通過這幾年的工作經(jīng)歷來看，高等數(shù)學(xué)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是廟堂之上的一個公式而已王暗，而是滲透到生活中的方方面面悔据，可以說，人工智能的基礎(chǔ)就是高等數(shù)學(xué)俗壹，高等數(shù)學(xué)都沒學(xué)好科汗，你想了解更前沿的科技基本上不可能，所以绷雏，在此头滔，我把高等數(shù)學(xué)再次簡單復(fù)習(xí)一遍。
高等數(shù)學(xué) - 微積分
如上圖涎显，在很短的瞬間△t拙毫，有一個很短的△S，這個很短的S除以很短的t棺禾，就是那一瞬間的速度缀蹄，那這個瞬間速度就是導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)在玩什么花樣？導(dǎo)數(shù)就是研究 S函數(shù)相對于自變量 t 的一個變化規(guī)律缺前，這就是高等數(shù)學(xué)研究的東西蛀醉。
不要把高等數(shù)學(xué)想象成太復(fù)雜的東西，包括后面的二重積分衅码，三重積分拯刁，都是一樣的。如果我們求出來這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)逝段，這一點(diǎn)的切線垛玻，我們就知道了，我們就可以把原函數(shù)彎曲的部分 近似的表示成切線的直線奶躯，所以有人說帚桩，微分就是把一個彎曲的東西扳成一段段直線。
積分是什么嘹黔？積分正好相反账嚎，我知道這條線的瞬間速度，我通過積分一點(diǎn)點(diǎn)累計(jì)儡蔓，把它還原成原來的曲線郭蕉，計(jì)算出這條曲線的長度等信息。
如上圖喂江，原函數(shù)求極限△x內(nèi)的面積參考
積分
如圖召锈，定積分就是求該曲線在 a b 區(qū)間的曲邊梯形的面積大小。
一個函數(shù)反導(dǎo)后的函數(shù)式获询，就是不定積分式子（說白了就是已知斜率式子求反導(dǎo)面積式子）
求一個函數(shù)的面積涨岁，就是反導(dǎo)后的，在這個區(qū)間上的兩個不定積分式子的差值筐付，這就是定積分（說白了就是斜率式子的區(qū)間面積卵惦，就是反導(dǎo)后兩個點(diǎn)的差值）
上述的這個函數(shù)是對應(yīng)不定積分式子的斜率式子
一個函數(shù)的微分阻肿，只是求這個函數(shù)在某點(diǎn)的微小變化量瓦戚。（這個微分變化量除以△x取極限后就是導(dǎo)數(shù)了，導(dǎo)數(shù)又叫微商丛塌，微分和△x的比值）
一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)较解，即是這個函數(shù)的斜率式子（說白了就是已知面積式子，求導(dǎo)后為斜率式子）
微分和積分的區(qū)別：從幾何幾何意義上來理解就很簡單了赴邻，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)圖像在某一點(diǎn)處的斜率印衔，也就是縱坐標(biāo)變化率和橫坐標(biāo)變化率的比值。微分是指函數(shù)圖像在某一點(diǎn)處的切線在橫坐標(biāo)取得Δx以后姥敛，縱坐標(biāo)取得的增量奸焙。
對于函數(shù)f(x)，求導(dǎo)f'(x)=df(x)/dx，微分就是df(x)与帆，微分和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為df(x)=f'(x)dx
求導(dǎo)又名微商了赌，計(jì)算公式：dy/dx，而微分就是dy玄糟，所以進(jìn)行微分運(yùn)算就是讓你進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算然后在結(jié)果后面加上一個無窮小量dx而已勿她。當(dāng)然這僅限于一元微積分，多元微積分另當(dāng)別論阵翎。
延伸：圓的面積公式 求導(dǎo) 就是圓的周長公式
兩個函數(shù)相加逢并、相乘、相除 的求導(dǎo)方法參考
泰勒公式
說泰勒公式之前郭卫，先說說工程上砍聊，現(xiàn)在有個角度36度，sin36的結(jié)果是多少箱沦，e^2好算辩恼，若e^2.1你怎么計(jì)算？因?yàn)檫@個難點(diǎn)引申出泰勒公式
科學(xué)家想谓形，對于這樣的計(jì)算灶伊，我可否拆分成多項(xiàng)式的相加呢？我在坐標(biāo)里畫出來寒跳，即我要有一個多項(xiàng)式能夠趨近我要求的函數(shù)聘萨。原來的函數(shù)F(x) 在某個值有一個結(jié)果F(a),那么我已知F(a)，以它為起始點(diǎn)童太，為了后面我的函數(shù)曲線能夠和F(x)一起變化米辐，從而像它，我保證我的單次或多次導(dǎo)數(shù)要和它的一致书释，即變化率也一致了翘贮。
歐拉公式
歐拉公式可以從 泰勒公式的特殊形式 麥克勞林公式推算而來。
傅里葉變換 與 拉普拉斯變換
傅里葉函數(shù)的本質(zhì)就是把一個圖像拆解成 一堆正弦（余弦）波的疊加爆惧。通過歐拉公式等可以證明出傅里葉變換狸页。
總結(jié)一下，傅立葉變換就是多個正余弦波疊加可以用來近似任何一個原始的周期函數(shù)扯再，它實(shí)質(zhì)是是頻域函數(shù)和時(shí)域函數(shù)的轉(zhuǎn)換芍耘。而其中時(shí)域就是永遠(yuǎn)隨著時(shí)間的變化而變化的，而頻域就是裝著裝著正余弦波的空間熄阻，代表著每一條正余弦波的幅值斋竞，而表示正余弦波除了幅值是不夠的，就還有相位譜秃殉。
拉普拉斯和傅里葉的本質(zhì)區(qū)別坝初，一個是用等幅震蕩的正弦波浸剩，而拉普拉斯就是把這個波越震蕩越大，跟得上原函數(shù)的變化鳄袍。
神奇的自然常數(shù)
先從美國數(shù)學(xué)家Merrial開始說起乒省，他根據(jù)蘇格拉底 最大的麥穗 問題，引申為一個數(shù)學(xué)問題：假設(shè)一個人一生遇到100個妹子畦木，這其中有你喜歡的袖扛，也有你不喜歡的，這個很類似麥穗問題十籍，那么請問蛆封，你選擇第幾個妹子，才能讓你的幸福最大化勾栗？
答案是 100/e惨篱，也就是37%，在遇到37個人后面围俘，你看到合適的就趕緊追了砸讳。
在人們提出e之前，在數(shù)學(xué)上遇到一個問題界牡，即銀行的復(fù)利計(jì)算問題簿寂，最后無意中得出 e=2.71828···，歐拉大神在這里起到很大的作用exp(x) = e^x,exp(1)=e
以上是e得到的過程宿亡，那它表示的意義是什么常遂？e表示某種增長倍數(shù)的極限。比如1元錢存到銀行挽荠，給你100%的復(fù)利克胳，到年底，也只會有2.718塊錢圈匆，銀行的復(fù)利是利滾利漠另，自然物種的繁衍也是如此。
數(shù)的來源：虛數(shù)和復(fù)數(shù)的由來
有理數(shù)：常見的整數(shù)跃赚，分?jǐn)?shù)笆搓，正數(shù)娇澎，負(fù)數(shù)
無理數(shù)：典型的 根號2，e, π 等等
實(shí)數(shù) R = 有理數(shù) + 無理數(shù)
人們創(chuàng)造虛數(shù)尘执，就是為了讓數(shù)學(xué)的邏輯更加完美
好羊壹，我們從一元二次方程說起：
如上，當(dāng)△<0時(shí)膜赃，方程無解，不過這是初中數(shù)學(xué)的理解，所以引入虛數(shù) i2=-1,±√(-1)=±i
復(fù)數(shù) = 實(shí)數(shù) + 虛數(shù) = a + bi 领猾； 以上 坐標(biāo)圖的意義是什么，我2i有什么實(shí)際意義嗎？我可以把它理解為 實(shí)數(shù) 2 旋轉(zhuǎn) 90度變成了 2i摔竿。若我 2i*i則有旋轉(zhuǎn)90度面粮，變成了 -2。再進(jìn)一步推廣继低，我旋轉(zhuǎn)的任意角度熬苍，復(fù)數(shù)z=a+bi化為三角形式 z=r（cosθ+isinθ），進(jìn)而由此推導(dǎo)出著名的 歐拉公式袁翁。
卷積
卷積的數(shù)學(xué)意義：先把g(τ)函數(shù)沿著x軸對折柴底，變成g(-τ)，再按照x單位平移（左加右減粱胜，比如-x柄驻，就是函數(shù)圖像右移x），再乘以f(τ)焙压，最后做一次積分鸿脓，這就是卷積的數(shù)學(xué)意義 (這里的橫坐標(biāo)是τ，x只是平移的變量)涯曲。
