4.高斯牛頓方程

相較于第2節(jié)的直接對函數(shù)進行二階泰勒展開阻课，然后求函數(shù)一階導(dǎo)為零來進行迭代求極小值的方法

高斯牛頓法采用的是，只對函數(shù)進行一階泰勒展開艰匙，然后對一階泰勒展開進行平方限煞，求其平方的一階導(dǎo)為0來進行迭代

上面這段話翻譯成公式就是
寫出函數(shù)的一階泰勒展開式
$F(X^{(K+1)})=F(X^{(K)})+J(X^{(k)})^T\Delta X$

求其最小二乘 $\frac{1}{2}||F(X^{(K)})+J(X^{(k)})^T\Delta X||^2$

求全微分
$\frac{\partial (\frac{1}{2}||F(X^{(K)})+J(X^{(k)})^T\Delta X||^2)}{\partial \Delta X}$

$=J(X^{(k)})\Big(F(X^{(K)})+J(X^{(k)})^T\Delta X\Big)$
$=J(X^{(k)})(F(X^{(K)})+J(X^{(k)})J(X^{(k)})^T\Delta X$

令 $J(X^{(k)})(F(X^{(K)})+J(X^{(k)})J(X^{(k)})^T\Delta X=0$

$\Rightarrow \Delta X=-(J(X^{(k)}).J(X^{(k)})^T)^{-1}J(X^{(k)})F(X^{(K)}).$

習(xí)慣上會讓
$H_0(X^{(k)})=J(X^{(k)}).J(X^{(k)})^T$
$g(X^{(k)})=-J(X^{(k)})F(X^{(K)})$

于是 $\Delta X=H_0(X^{(k)})^{-1}g(X^{(k)})$

我們比較一下第二節(jié)的二階泰勒法計算極小值
$\Delta X=-H(X^{(0)})^{-1}J(X^{(0)})$
這里相當(dāng)于用一階的雅可比矩陣對海瑟矩陣進行了近似，相對于使用來說员凝，減少了計算量

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