近世代數理論基礎37：共軛元和共軛子域

共軛元和共軛子域

共軛元

定義：設 $E/F$ 為伽羅瓦擴張, $\alpha\in E$ , $\forall 同構\sigma\in Gal(E/F)$ ,元 $\sigma(\alpha)$ 稱為 $\alpha$ 在F上的共軛元

例：

1. $\C=\Q(i),Gal(\C/\R)$ 由恒等映射及由 $i\mapsto -i$ 所決定的同構組成

$\forall a+bi(a,b\in R)\in \C?$ 有兩個共軛元 $a+bi?$ 及 $a-bi?$

2.令 $G=Gal(E/F)$ , $\alpha\in E$ ,以 $H_\alpha$ 表示G中使 $\alpha$ 固定不變的子群,即 $\forall \sigma\in H_\alpha$ ,有 $\sigma(\alpha)=\alpha$

$\forall \tau_1,\tau_2\in G?$ ,若 $\tau_1(\alpha)=\tau_2(\alpha)?$ ,則 $\tau_2^{-1}\tau_1(\alpha)=\alpha?$

即 $\tau_2^{-1}\tau_1\in H_\alpha$ ,故 $\tau_1,\tau_2$ 屬于 $H_\alpha$ 在G中的同一陪集

反之,當 $\tau_1,\tau_2$ 屬于 $H_\alpha$ 的同一陪集, $\tau_1(\alpha)=\tau_2(\alpha)$

故 $\alpha$ 在F上的共軛元個數等于 $H_\alpha$ 在G中的陪集個數,即 $|G/H_\alpha|$

設 $\alpha_1=\alpha,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 為 $\alpha$ 在F上所有互異的共軛元,其中 $s=|G/H_\alpha|$

令 $f(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_s)?$ , $\forall \tau\in G?$ ,將 $\alpha?$ 的共軛元映射為 $\alpha?$ 的共軛元

故 $\tau$ 作用在集合 $\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\}$ 上是一個置換, $f(x)$ 的系數為 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 的初等對稱多項式

故將 $\tau$ 作用在 $f(x)$ 的系數上得到 $\tau f(x)=f(x)$

$f(x)$ 的系數屬于G的固定子域F,即 $f(x)$ 是F上的多項式,且為不可約多項式

否則,若 $f(x)=f_1(x)g_1(x)$ ,其中 $f_1(x)$ 為F上的不可約多項式, $g_1(x)$ 為F上次數 $\ge 1$ 的多項式

設 $\alpha_i$ 是 $f_1(x)$ 的根, $\alpha_j$ 是 $g_1(x)$ 的根, $\alpha_i,\alpha_j$ 共軛,故 $\exists \tau\in G$ ,使 $\tau(\alpha_j)=\alpha_i$

$g_1(\alpha_j)=0$ ,故 $0=\tau(g_1(\alpha_j))=g_1(\tau(\alpha_j))=g_1(\alpha_i)$

即 $\alpha_i$ 同時也是 $g_1(x)$ 的根,則 $f_1(x)|g_1(x)$ ,故 $f_1^2(x)|f(x)$

但 $f(x)$ 無重根,矛盾

故 $f(x)$ 為 $\alpha$ 在F上的極小多項式

計算E中元在F上的極小多項式： $f(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_s)?$

3.計算 $\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}$ 在 $\Q$ 上的極小多項式, $Gal(\Q(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}/\Q))$ 由8個相對 $\Q$ 的自同構組成

$\sigma_1(\sqrt{2})=\sqrt{2},\sigma_1(\sqrt{3})=\sqrt{3},\sigma_1(\sqrt{5})=\sqrt{5}?$

$\sigma_2(\sqrt{2})=\sqrt{2},\sigma_2(\sqrt{3})=\sqrt{3},\sigma_2(\sqrt{5})=-\sqrt{5}$

$\sigma_3(\sqrt{2})=\sqrt{2},\sigma_3(\sqrt{3})=-\sqrt{3},\sigma_3(\sqrt{5})=\sqrt{5}$

$\sigma_4(\sqrt{2})=\sqrt{2},\sigma_4(\sqrt{3})=-\sqrt{3},\sigma_4(\sqrt{5})=-\sqrt{5}$

$\sigma_5(\sqrt{2})=-\sqrt{2},\sigma_5(\sqrt{3})=\sqrt{3},\sigma_5(\sqrt{5})=\sqrt{5}$

$\sigma_6(\sqrt{2})=-\sqrt{2},\sigma_6(\sqrt{3})=\sqrt{3},\sigma_6(\sqrt{5})=-\sqrt{5}$

$\sigma_7(\sqrt{2})=-\sqrt{2},\sigma_7(\sqrt{3})=-\sqrt{3},\sigma_7(\sqrt{5})=\sqrt{5}$

$\sigma_8(\sqrt{2})=-\sqrt{2},\sigma_8(\sqrt{3})=-\sqrt{3},\sigma_8(\sqrt{5})=-\sqrt{5}$

故 $\sigma_1(\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15})=\sigma_8(\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15})=\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}$

$\sigma_2(\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15})=\sigma_7(\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15})=\sqrt{6}-\sqrt{10}-\sqrt{15}$

$\sigma_3(\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15})=\sigma_6(\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15})=-\sqrt{6}+\sqrt{10}-\sqrt{15}$

$\sigma_4(\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15})=\sigma_5(\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15})=-\sqrt{6}-\sqrt{10}+\sqrt{15}?$

$\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}$ 在 $\Q$ 上的極小多項式為

$(x-(\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}))(x-(\sqrt{6}-\sqrt{10}-\sqrt{15}))\\\cdot(x-(-\sqrt{6}+\sqrt{10}-\sqrt{15}))(x-(-\sqrt{6}-\sqrt{10}+\sqrt{15}))$

$=(x^2-2\sqrt{6}x+6-(\sqrt{10}+\sqrt{15})^2)(x^2+2\sqrt{6}x+6-(\sqrt{10}-\sqrt{15})^2)$

$=(x^2-2\sqrt{6}x-19-10\sqrt{6})(x^2+2\sqrt{6}x-19+10\sqrt{6})$

$=x^4-62x^2-240x-239$

高斯公式

設p為素數,g為模p的原根,記 $\zeta=\zeta_p$ , $\zeta_v=\zeta^{g^v}(1\le v\lt p-1)$

設 $ef=p-1$ ,分圓域 $\Q(\zeta)$ 的(f項)周期為 $\eta_v=\zeta_v+\zeta_{v+e}+\cdots+\zeta_{v+(f-1)e}(v=0,1,\cdots,e-1)$

已知 $Gal(\Q(\zeta/\Q))$ 是由同構 $\sigma:\zeta\to \zeta^g$ 生成的p-1階循環(huán)群,且 $\sigma(\zeta_v)=\zeta^{g^v\cdot g}=\zeta_{v+1}$

故 $\sigma(\eta_v)=\zeta_{v+1}+\zeta_{v+1+e}+\cdots+\zeta_{v+1+(f-1)e}=\eta_{v+1}$

$(\eta_e=\eta_0)$ , $\eta_0,\eta_1,\cdots,\eta_{e-1}$ 互為共軛元,它們在 $\Q$ 上的極小多項式為 $(x-\eta_0)(x-\eta_1)\cdots(x-\eta_{e-1})$

定義 $\eta^{(r)}=\zeta^r+\zeta^{rg^e}+\cdots+\zeta^{rg^{e(f-1)}}$

$=\sum\limits_{i=0}^{f-1}\zeta^{rg^{ie}}=\sum\limits_{i\;mod\;f}\zeta^{rg^{ie}}(0\le r\le p-1)$

其中 $i\;mod\;f$ 表示i跑遍 $\Z/f\Z$ , $\eta^{(r)}$ 即為出現了 $\zeta^r$ 的那個 $\eta_v$

故 $\eta^{(r)}\cdot\eta^{(s)}=\sum\limits_{i\;mod\;f}\sum\limits_{j\;mod\;f}\zeta^{rg^{ie}+sg^{je}}$

$=\sum\limits_{i\;mod\;f}\sum\limits_{j’\;mod\;f}\zeta^{rg^{ie}+sg^{(j’+i)e}}$

$=\sum\limits_{j’\;mod\;f}\sum\limits_{i\;mod\;f}\zeta^{(r+sg^{j’e})g^{ie}}$

$=\sum\limits_{j\;mod\;f}\eta^{r+sg^{je}}$

在最后一個等式中將 $j’\;mod\;f$ 改成 $j\;mod\;f$ ,簡稱高斯公式

可用于計算 $\eta^r\cdot \eta^s$

例：取p=17,g=3,e=2,

(8項)周期

$\eta_0=\zeta+\zeta^{-8}+\zeta^{-4}+\zeta^{-2}+\zeta^{-1}+\zeta^8+\zeta^4+\zeta^2$

$\eta_1=\zeta^3+\zeta^{-7}+\zeta^5+\zeta^{-6}+\zeta^{-3}+\zeta^7+\zeta^{-5}+\zeta^6$

它們互為共軛元

顯然, $\eta_0=\eta^{(1)},\eta_1=\eta^{(3)}$

$\eta_0\eta_2=\eta^{(1)}\eta^{(3)}=\sum\limits_{j=0}^7\zeta^{(3+g^{2j})}$

$=\eta^{(4)}+\eta^{(-5)}+\eta^{(-1)}+\eta^{(1)}+\eta^{(2)}+\eta^{(-6)}+\eta^{(7)}+\eta^{(5)}$

$=4\eta_0+4\eta_1=-4$

故 $\eta_0(\eta_1)$ 在 $\Q$ 上的極小多項式為 $x^2+x-4$

共軛子域

定義：設 $E/F$ 為伽羅瓦擴張, $F\subset K\subset E$ , $\forall \sigma\in Gal(E/F)$ , $\sigma(K)$ 稱為K在F上的共軛子域

設 $E/F$ 為伽羅瓦擴張, $\forall \alpha\in E$ ,令 $H_\alpha$ 表示 $G=Gal(E/F)$ 中使 $\alpha$ 固定不變的同構所成的子群,則 $H_\alpha=Gal(E/F(\alpha))$

$\forall \tau\in G$ ,若 $\sigma’\in G$ 使 $\sigma’(\tau(\alpha))=\tau(\alpha)$ ,則 $\tau^{-1}\sigma’\tau(\alpha)=\alpha$

故 $\tau^{-1}\sigma’\tau\in H_\alpha$ ,即 $\sigma’\in \tau H_\alpha\tau^{-1}$ ,反之亦然

故 $G$ 中使 $\tau(\alpha)$ 固定不變的子群為 $\tau H_\alpha\tau^{-1}$ ,是子域 $F(\tau(\alpha))$ 所對應的G中的子群,即 $Gal(E/F(\tau(\alpha)))$

$F(\alpha)$ 為F的正規(guī)擴張,當且僅當 $\alpha$ 在F上的任一共軛元都在 $F(\alpha)$ 中,即 $\forall \tau\in G$ ,有 $F(\alpha)=F(\tau(\alpha))$

故 $H_\alpha=\tau H_\alpha\tau^{-1}$ ,即 $H_\alpha$ 是G的正規(guī)子群

定理：設 $E/F$ 為伽羅瓦擴張, $F\subset K\subset E$ ,則 $K/F$ 為伽羅瓦擴張,當且僅當 $H=Gal(E/K)$ 是 $G=Gal(E/F)$ 的正規(guī)子群,此時 $Gal(K/F)$ 與商群 $G/H$ 同構

證明：

$\exists \alpha\in E,使K=F(\alpha)$

$K是F的可分擴張$

$\therefore 當且僅當K為F的正規(guī)擴張時,K/F是伽羅瓦擴張$

$\therefore H=H_\alpha是G的正規(guī)子群\Leftrightarrow K/F是伽羅瓦擴張$

$設K/F是伽羅瓦擴張$

$則K是F的正規(guī)擴張$

$\forall x\in G,將K映為自身,在K上的限制就是Gal(K/F)中的元$

$是G到Gal(K/F)的一個同態(tài)映射,核是H$

$\therefore Gal(K/F)與商群G/H同構\qquad\mathcal{Q.E.D}$

設 $E/F$ 是伽羅瓦擴張,當 $Gal(E/F)$ 為交換群時, $E/F$ 稱為交換擴張,此時 $Gal(E/F)$ 的任一子群都是正規(guī)子群,故 $E/F$ 的任一中間域都是F的伽羅瓦擴張,顯然 $\Q(\zeta_n)/\Q$ 和 $F_{q^n}/F_q$ 都是交換擴張

定理：設 $E/F$ 為伽羅瓦擴張,當且僅當 $E$ 為 $F$ 上的一個可分多項式的分裂域

證明：

$設E/F為伽羅瓦擴張,即E是F的有限可分正規(guī)擴張$

$\exists \alpha\in E,使E=F(\alpha),\alpha在F上可分$

$\therefore \alpha在F上的極小多項式f(x)為可分多項式$

$\because E是F的正規(guī)擴張$

$\therefore E是f(x)在F上的分裂域$

$反之,設f(x)為F上的可分多項式$

$E為f(x)在F上的分裂域$

$下證E為F的可分擴張$

$取\overline{E}=E,記G=Gal(E/F)$

$\because f(x)無重根$

$\therefore |G|=[E:F]$

$設F\subset K\subset E,K為G的固定子域$

$則G\subset Gal(E/K)$

$\therefore [E:F]=|G|\le |Gal(E/K)|\le [E:K]$

$\therefore K=F,即G的固定子域為F$

$\forall \alpha\in E,在G的作用下,\alpha共有\(zhòng)alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s個不同的共軛元$

$易證f(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_s)即\alpha在F上的極小多項式$

$\therefore \alpha在F上可分,E為F的可分擴張\qquad\mathcal{Q.E.D}$

推論：若 $\alpha$ 在F上可分,則 $F(\alpha)$ 是F的可分擴張,即 $F(\alpha)$ 中任一元都在F上可分

證明：

$設\alpha在F上的極小多項式為f(x)$

$則f(x)是F上的可分多項式$

$記E為f(x)在F上的分裂域$

$顯然F\subset F(\alpha)\subset E$

$\therefore E/F是伽羅瓦擴張$

$\therefore F(\alpha)是F的可分擴張\qquad\mathcal{Q.E.D}$

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