在研究數(shù)據(jù)整體的時(shí)候菩鲜，統(tǒng)計(jì)特征可以有效的幫助我們快速了解數(shù)據(jù)罩引。

集中量數(shù)和差異量數(shù)是描述數(shù)據(jù)的兩種概念嘹悼。

一：集中量數(shù)

描述一組數(shù)據(jù)的規(guī)律性的量數(shù)稱為集中量數(shù)嵌器。它是一組數(shù)據(jù)的一般水平的代表值肛真。

教育評(píng)價(jià)中常用的描述一組評(píng)價(jià)對(duì)象一般水平的量數(shù)有算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)爽航、幾何平均數(shù)等蚓让。

1．算術(shù)平均數(shù)

算術(shù)平均數(shù)是全部數(shù)據(jù)的算術(shù)平均，又稱均值讥珍，符號(hào)為M（Mean）历极。算術(shù)平均數(shù)是集中趨勢(shì)作主要的測(cè)度值，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中具有重要地位衷佃， 是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析和統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)趟卸。它主要適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不適用品質(zhì)數(shù)據(jù)氏义。根據(jù)表現(xiàn)形式的不同锄列，算術(shù)平均數(shù)有不同的計(jì)算形式和計(jì)算公式。其中惯悠，算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù)的一種特殊形式（它特殊在各項(xiàng)全相等）邻邮，在實(shí)際問題中，當(dāng)各項(xiàng)權(quán)不相等時(shí)克婶，計(jì)算平均數(shù)時(shí)就要采用加權(quán)平均數(shù)筒严，當(dāng)各項(xiàng)權(quán)相等時(shí)，計(jì)算平均數(shù)就要采用算數(shù)平均數(shù)情萤。兩者不可混淆鸭蛙。

簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)

簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)主要用于未分組的原始數(shù)據(jù)。設(shè)一組數(shù)據(jù)為X1筋岛，X2娶视，...，Xn泉蝌，簡(jiǎn)單的算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式為：

M=(X1+X2+...+Xn)/n

優(yōu)缺點(diǎn)

算數(shù)平均數(shù)具備了良好集中量數(shù)應(yīng)具備的一些條件：

1歇万、集中量數(shù)

2、反應(yīng)靈敏

3勋陪、確定嚴(yán)密

4贪磺、簡(jiǎn)明易解

5、計(jì)算簡(jiǎn)單

6诅愚、適合進(jìn)一步演算

7寒锚、較小受抽樣變化的影響等優(yōu)點(diǎn)。

同時(shí)也存在一定的缺點(diǎn)违孝，限制了它的使用：

1刹前、算術(shù)平均數(shù)易受極端數(shù)據(jù)的影響，這是因?yàn)槠骄鶖?shù)反應(yīng)靈敏雌桑，每個(gè)數(shù)據(jù)的或大或小的變化都會(huì)影響到最終結(jié)果喇喉。

2、若出現(xiàn)模糊不清的數(shù)據(jù)時(shí)校坑，無法計(jì)算平均數(shù)拣技。[1]

應(yīng)用原則

1、同質(zhì)性數(shù)據(jù)

2耍目、平均數(shù)與個(gè)體數(shù)值相結(jié)合考慮

3膏斤、平均數(shù)于方差、標(biāo)準(zhǔn)差相結(jié)合考慮

二．中位數(shù)

中數(shù)（Median）邪驮，又名中位數(shù)莫辨。 對(duì)一組數(shù)進(jìn)行排序后，正中間的一個(gè)數(shù)（數(shù)字個(gè)數(shù)為奇數(shù)）毅访；或者中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)（數(shù)字個(gè)數(shù)為偶數(shù)）沮榜。

中數(shù)是按順序排列在一起的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的數(shù)，即在這組數(shù)據(jù)中喻粹，有一半的數(shù)據(jù)比它大敞映，有一半的數(shù)據(jù)比它小。這個(gè)數(shù)可能是數(shù)據(jù)中的某一個(gè)磷斧，也可能根本不是原有的數(shù)振愿。

優(yōu)點(diǎn)

1、計(jì)算簡(jiǎn)單

2弛饭、容易理解

3冕末、不受極端值影響

缺點(diǎn)

1、反應(yīng)不夠靈敏

2侣颂、 受抽樣影響較大

3档桃、中數(shù)乘以總次數(shù)于總數(shù)不相等

4、不能進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算

應(yīng)用情況

1憔晒、需要快速估算集中值時(shí)

2藻肄、有極端數(shù)據(jù)時(shí)

3蔑舞、有模糊不清楚的數(shù)據(jù)時(shí)

3.眾數(shù)

眾數(shù)（Mode），一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值嘹屯，叫眾數(shù)攻询，用M表示。

計(jì)算眾數(shù)的方法

（一）州弟、根據(jù)單項(xiàng)數(shù)列求眾數(shù)钧栖，不需要任何計(jì)算，可以直接從分配數(shù)列中找出出現(xiàn)次數(shù)或頻率最大的一組標(biāo)志值婆翔，就是所求的眾數(shù)拯杠。

（二）、對(duì)組距數(shù)列求眾數(shù)啃奴。對(duì)眾數(shù)的計(jì)算有兩種公式：

1潭陪、上限公式：

2、下限公式

其中：

f表示眾數(shù)所在組次數(shù)最蕾；

f-1表示眾數(shù)所在組前一組的次數(shù)畔咧；

f+1表示眾數(shù)所在組后一組的次數(shù)；

L表示眾數(shù)所在組組距的下限揖膜；

U表示眾數(shù)所在組組距的上限誓沸；

i表示組距；

優(yōu)點(diǎn)

1壹粟、簡(jiǎn)單明了

2拜隧、容易理解

缺點(diǎn)

1、不穩(wěn)定趁仙，受分組和樣本變動(dòng)影響

2洪添、反應(yīng)不靈敏

3、不能進(jìn)一步做代數(shù)運(yùn)算

應(yīng)用

1雀费、需要快速估算一組數(shù)據(jù)集中值時(shí)干奢。

2、數(shù)據(jù)不同質(zhì)時(shí)

3盏袄、兩極端有極端值時(shí)

4忿峻、快速估計(jì)分布形體時(shí)

4．幾何平均數(shù)

幾何平均數(shù)（Geometric mean），是求一組數(shù)值的平均數(shù)的方法中的一種辕羽。適用于對(duì)比率數(shù)據(jù)的平均逛尚，并主要用于計(jì)算數(shù)據(jù)平均增長(zhǎng)（變化）率。

幾何平均數(shù)（geometric mean）是指n個(gè)觀察值連乘積的n次方根刁愿。

1绰寞、簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)：

2、加權(quán)幾何平均數(shù)：

應(yīng)用

1、對(duì)比率滤钱、指數(shù)等進(jìn)行平均觉壶；

2、計(jì)算平均發(fā)展速度件缸；

其中：樣本數(shù)據(jù)非負(fù)铜靶，主要用于對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

3停团、復(fù)利下的平均年利率；

4掏熬、連續(xù)作業(yè)的車間求產(chǎn)品的平均合格率佑稠。

二 ：差異量數(shù)

差異量數(shù)亦稱變異量數(shù)，又稱離散趨勢(shì)量數(shù)旗芬，它是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本概念之一舌胶，指表示樣本數(shù)據(jù)偏離中間數(shù)值的趨勢(shì)的量數(shù)，或者說它是反映樣本頻率分布離散程度的量數(shù)疮丛。差異量數(shù)大幔嫂，表示各數(shù)值分布的范圍廣且參差不齊；差異量數(shù)小誊薄，表示各數(shù)值較集中履恩、整齊，波動(dòng)的范圍幅度小呢蔫。因此切心，集中量數(shù)的代表性如何，可由差異量數(shù)得到反映片吊。差異量數(shù)愈大绽昏，則集中量數(shù)的代表性愈小俏脊；差異量數(shù)愈小全谤，則集中量數(shù)的代表性愈大。所以爷贫，考察某種分布的差異量數(shù)认然，還有助于對(duì)集中量數(shù)的理解。

常見的差異量有平均差漫萄、方差季眷、標(biāo)準(zhǔn)差、全距卷胯、四分差子刮、百分差等。

1.平均差

一組數(shù)據(jù)( 樣本)Xi，i = 1挺峡，…葵孤，N(1)的平均差公式為下圖

它是算術(shù)平均數(shù)與各數(shù)據(jù)距離的平均，有效地利用了信息橱赠，能直接很好地反映這組數(shù)據(jù)的差異程度尤仍。但由于MD（平均數(shù)）用了絕對(duì)值，難以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算狭姨，理論分析困難宰啦，所以運(yùn)用較少。

2.方差

它是將MD中的距離改為距離的平方得到饼拍。方差可有效地利用信息赡模，且能很好地反映這組數(shù)據(jù)的差異程度。這樣改變后师抄，雖然不如平均差反映差異那么直接漓柑，但避免了絕對(duì)值，從而進(jìn)行數(shù)學(xué)處理更加方便叨吮，應(yīng)用最廣辆布。

3.標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差（Standard Deviation），在概率統(tǒng)計(jì)中最常?

4.全距

全距是用來表示統(tǒng)計(jì)資料中的變異量數(shù)(measure sofvariation)茶鉴，其最大值與最小值之間的差距锋玲；即最大值減最小值后所得之?dāng)?shù)據(jù)。其適用于等距變量涵叮、比率變量嫩絮，不適用于名義變量或次序變量。

全距也稱為極差围肥，是指總體各單位的兩個(gè)極端標(biāo)志值之差剿干，即：R=最大標(biāo)志值－最小標(biāo)志值

因此，全距（R）可反映總體標(biāo)志值的差異范圍穆刻。

5.四分差與百分差

百分差與四分差只利用了數(shù)據(jù)的部分信息置尔，不能進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，反應(yīng)不靈敏氢伟，但當(dāng)兩極端數(shù)據(jù)不清楚或數(shù)據(jù)信息不全時(shí)榜轿，只能用百分差與四分差。

全距朵锣、百分差與四分差都只利用了數(shù)據(jù)的部分信息谬盐，一般是在數(shù)據(jù)信息不全，平均差和方差及其改進(jìn)量不能用時(shí)選用诚些。