Bendixson環(huán)域定理與極限環(huán)

定理一：平面自治系統(tǒng)的任一閉軌內(nèi)部至少包含一個(gè)奇點(diǎn)彭谁。

Bendixson環(huán)域定理是動(dòng)力系統(tǒng)中關(guān)于平面自治微分方程的一個(gè)重要定理哎甲，特別在分析平面系統(tǒng)是否存在閉軌道（如極限環(huán)）方面有重要應(yīng)用毛秘。我們分別來(lái)看如何用Bendixson判別法說(shuō)明某區(qū)域內(nèi)不存在閉軌道和存在閉軌道业崖。

Bendixson判別法：用來(lái)判斷某區(qū)域內(nèi)不存在閉軌道元莫。

設(shè)平面上的自治微分方程為：

$\frac{dx}{dt} = f(x, y), \quad \frac{dy}{dt} = g(x, y)$

其中 $f(x, y)$ 和 $g(x, y)$ 是平面上區(qū)域 $D \subset \mathbb{R}^2$ 內(nèi)的連續(xù)可微函數(shù)氮昧。如果在區(qū)域 $D$ 內(nèi) $\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y}$ 不恒等于零且不變號(hào)（即始終大于零或始終小于零）框杜，那么在區(qū)域 $D$ 內(nèi)沒(méi)有閉軌道（極限環(huán)）。

定理的解釋

Bendixson環(huán)域定理提供了一種簡(jiǎn)單的判別方法來(lái)判斷平面自治系統(tǒng)中是否存在閉軌道郭计。該定理表明霸琴，如果在區(qū)域 $D$ 內(nèi)散度 $\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y}$ 保持恒定符號(hào)（始終正或始終負(fù)），則該區(qū)域中不存在閉軌道昭伸。

應(yīng)用示例

考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的平面系統(tǒng)：

$\frac{dx}{dt} = -y, \quad \frac{dy}{dt} = x.$

計(jì)算其散度：

$\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} = \frac{\partial (-y)}{\partial x} + \frac{\partial x}{\partial y} = 0.$

由于散度恒為零梧乘，因此Bendixson環(huán)域定理無(wú)法應(yīng)用于該系統(tǒng)。實(shí)際上，該系統(tǒng)是典型的簡(jiǎn)單諧振子选调，存在閉軌道夹供。

再考慮另一個(gè)系統(tǒng)：

$\frac{dx}{dt} = x - y - x(x^2 + y^2), \quad \frac{dy}{dt} = x + y - y(x^2 + y^2).$

計(jì)算其散度：

$\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} = 1 - 3x^2 - 3y^2.$

在滿(mǎn)足 $x^2 + y^2 < \frac{1}{3}$ 的區(qū)域內(nèi)，散度始終為正仁堪。這表明在這個(gè)圓盤(pán)區(qū)域內(nèi)不可能存在閉軌道哮洽。因此，該區(qū)域內(nèi)沒(méi)有極限環(huán)弦聂。

Poincaré-Bendixson 環(huán)域定理

設(shè)有由閉曲線(xiàn) $L_1$ 與 $L_2$ 所構(gòu)成的環(huán)域 $D$ 如圖所示鸟辅。若自治系統(tǒng) 凡與 $L_1$ , $L_2$ 相交的正半軌均穿入（出）環(huán)域 $D$ ，且 $D$ 內(nèi)不含奇點(diǎn)莺葫，則在 $D$ 內(nèi)至少存在此系統(tǒng)的一條閉軌線(xiàn) $\Gamma$ 匪凉，而且 $\Gamma$ 必將 $D$ 的內(nèi)境界 $L_2$ 包含在其內(nèi)部。

環(huán)域定理圖示

定理要點(diǎn)：

閉曲線(xiàn) $L_1$ 和 閉曲線(xiàn) $L_2$ 構(gòu)成的環(huán)域 $D$ 捺檬，其中 $L_1$ 是內(nèi)邊界再层， $L_2$ 是外邊界。
自治系統(tǒng)與 $L_1$ 和 $L_2$ 相交的正半軌線(xiàn)會(huì)穿入或穿出環(huán)域 $D$ 堡纬，且系統(tǒng)在 $D$ 內(nèi)無(wú)奇點(diǎn)聂受。
在這樣的條件下，至少存在一條閉軌線(xiàn) $\Gamma$ 烤镐，且這條閉軌線(xiàn)必定包含了內(nèi)邊界 $L_2$ 蛋济。

結(jié)論：

Poincaré-Bendixson 定理在這種情況下可以保證相空間中存在至少一個(gè)閉軌線(xiàn)，幫助分析平面自治動(dòng)力系統(tǒng)的行為职车，尤其是在環(huán)域內(nèi)軌線(xiàn)的存在性和性質(zhì)瘫俊。

例題：說(shuō)明下面的動(dòng)力系統(tǒng)存在極限環(huán)

$\begin{cases} \frac{dx}{dt} = -y + x -x^3, \\ \frac{dy}{dt} = x + y -y^3. \end{cases}$
我們來(lái)考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的閉合曲線(xiàn)： $x^2+y^2=R^2$ 上面的流向：
考慮向量 $(x,y)$ 和 $(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt})$ 的內(nèi)積，如果兩者內(nèi)積為正悴灵，說(shuō)明夾角為銳角扛芽，可以理解為該點(diǎn)向圓外流，反之向內(nèi)流积瞒。
簡(jiǎn)單計(jì)算可得
$(x,y)(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt})=x^2+y^2-x^4-y^4$

接下來(lái)取兩個(gè)閉曲線(xiàn) $L_1:x^2+y^2=1/2$ 和 $L_2:x^2+y^2=4$ 就很容易得出川尖，正半軌均穿出 $L_1$ ,均穿入 $L_2$ 。
由 $Bendixson$ 環(huán)域定理可以知道茫孔，系統(tǒng)在兩個(gè)軌線(xiàn)之間必有閉軌線(xiàn)叮喳。

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