非線性微分方程：定性理論
龐加萊受Hill工作啟發(fā)，為研究支配行星運動及行星盒使、衛(wèi)星軌道穩(wěn)定性的微分方程的周期解開辟了新的途徑瘤袖。因為有關(guān)方程是非線性的，龐加萊于是研究非線性方程炼鞠，之前已出現(xiàn)了一些非線性常微分方程，如黎卡提方程轰胁、擺動方程谒主、變分法的歐拉方程。解非線性方程還沒有找到普遍方法赃阀。
運動方程不能用已知函數(shù)明顯解出霎肯，因此穩(wěn)定性問題不能通過考察解的性態(tài)解決。于是龐加萊尋找考察微分方程本身能回答問題的方法榛斯，他稱之為微分方程的定性理論观游。他把理論表述在1881-1886年的四篇論文中，用他的話來說驮俗，他要尋求答案的問題是：動點是否描出一密閉曲線懂缕？是否永遠(yuǎn)留在平面某一部分內(nèi)部？用天文學(xué)的話說王凑，軌道是穩(wěn)定的還是不穩(wěn)定的搪柑？
龐加萊從形為dy/dx=P(x,y)/Q(x,y)的非線性方程出發(fā)，其中P索烹、Q對x工碾、y解析，選擇這個形式的原因是：1百姓、由于行星運動的某些問題渊额，2、龐加萊認(rèn)為這是他要研究的類型中最簡單的數(shù)學(xué)模型。該方程的解有f(x,y)=0的形式端圈，定義一個軌道系統(tǒng)時可以考慮參數(shù)形式x=x(t),y=y(t)代替f(x,y)=0焦读。
龐加萊在分析方程所有可能解的類型時發(fā)現(xiàn)，微分方程的奇點（使P,Q同時為0的點）起關(guān)鍵作用舱权。這些奇點在富克斯意義下是不確定的或不規(guī)則的矗晃，這里龐加萊繼續(xù)布里奧和布凱的早期工作，但他不只是研究在奇點鄰域內(nèi)解的性質(zhì)宴倍，而是限制在實值并寧可研究整個解的性質(zhì)张症。他把奇點分為四類，并闡述在奇點附近的性態(tài)鸵贬。
第一類奇點是焦點俗他。如下圖中原點，當(dāng)t從-∞變到∞時阔逼，解環(huán)繞原點盤旋并趨向于原點兆衅。這種類型的解被認(rèn)為是穩(wěn)定的。第二類奇點是鞍點嗜浮，如下圖中原點羡亩，軌道趨近于該點又遠(yuǎn)離，兩條分角線是軌道的漸近線危融，這種運動是不穩(wěn)定的畏铆。第三類奇點叫結(jié)點，是無窮多個解互相交叉的點吉殃。第四類奇點叫中心辞居，被若干閉軌道圍繞，一個閉軌道包含另一個軌道蛋勺，這些軌道都包含著中心瓦灶。
龐加萊發(fā)現(xiàn)可能有一些閉曲線不與任何滿足微分方程的曲線相接觸，他把這些閉曲線稱為無接觸環(huán)抱完。一條滿足微分方程的曲線與無接觸環(huán)的交點不能多于一個贼陶，即如果它跨過該環(huán)，就不能再次跨過該環(huán)乾蛤，如果這種曲線是行星軌跡每界，也表示不穩(wěn)定的運動捅僵。
龐加萊還發(fā)現(xiàn)了另一種閉曲線家卖，他稱為極限環(huán)。它們是滿足微分方程的閉曲線庙楚。其它解漸近地趨向它們（即永遠(yuǎn)達(dá)不到極限環(huán)）上荡，這種趨向可以發(fā)生在極限環(huán)C內(nèi)或極限環(huán)C外。龐加萊對dy/dx=P(x,y)/Q(x,y)型微分方程確定了其極限環(huán)和存在區(qū)域。如果軌道曲線趨向極限環(huán)酪捡，運動是穩(wěn)定的叁征，如果運動方向離開極限環(huán)，那么極限環(huán)外的運動是不穩(wěn)定的逛薇，而在環(huán)內(nèi)的運動是一條收縮螺線捺疼。
龐加萊在第三篇論文中研究了高次和形如F(x,y,y')=0（F是x,y,y'的多項式）的一階方程。他把x,y,y'看作三直角坐標(biāo)永罚，并考慮由微分方程定義的曲面啤呼。如果這曲面有虧格0（球狀），那么積分曲線性質(zhì)與一次微分方程的情況相同呢袱，其它虧格的曲面官扣，得到的積分曲線結(jié)果大不相同，比如對一個環(huán)管有多種情況羞福。龐加萊未完成該研究惕蹄，在第四篇論文中他研究了二階方程，得到了某些類似一階方程的結(jié)果治专。
龐加萊在研究微分方程解類型的同時卖陵，還考慮針對三體問題更普遍的結(jié)論。他考慮微分方程組
用小參數(shù)μ的冪展開Xi看靠，并假定方程組對μ=0有一個已知的周期為T的周期解xi=Φi(t)赶促，i=1,2,...,n。他企圖找出這個周期解挟炬。對三體問題鸥滨，Hill已發(fā)現(xiàn)周期解的存在性，而龐加萊利用了這一事實谤祖。
對于三體問題的周期解婿滓，龐加萊搞了很多工作，他首先推廣了柯西關(guān)于常微分方程組的解的早期工作粥喜，然后證明了他要找的周期解的存在性凸主。他假設(shè)兩個小質(zhì)量物體（質(zhì)量小于太陽）圍繞太陽在同一平面的兩個同心圓上運動，得到了這樣的解额湘。假定μ=0時軌道都是橢圓卿吐，且物體周期是可公度的，就可以得到其它解锋华，利用這些解和龐加萊對方程組建立的理論嗡官，他得到了其它周期解。他的結(jié)論是證明了有無窮多個初始位置和初始速度使得三星體相互間的距離是時間的周期函數(shù)（這樣的解也叫周期解）毯焕。
龐加萊在1890年的論文中引用了方程組dxi/dt=Xi(x1,...,xn,μ)周期解和殆周期解等結(jié)論衍腥，其中包含一類新發(fā)現(xiàn)的解，他把這種解稱為漸近解，漸近解又分成兩類婆咸，第一類解當(dāng)t趨向于-∞或＋∞時竹捉，解漸近地趨于周期解；第二類解由二重漸近解組成尚骄，即t趨于-∞和+∞時解趨于周期解块差。這種二重漸近解有無窮多個。
龐加萊對太陽系穩(wěn)定性的工作僅取得了部分成果倔丈，穩(wěn)定性仍然未得到解決憾儒，事實上月球軌道是否穩(wěn)定也是如此，今天大多數(shù)科學(xué)家認(rèn)為它是不穩(wěn)定的乃沙。
dy/dx=P(x,y)/Q(x,y)解的穩(wěn)定性可用特征方程法分析起趾，所謂特征方程是
其中(x0,y0)是方程奇點，按俄國數(shù)學(xué)家李雅普諾夫（Alexander Liapounoff警儒，1857-1918）的定理训裆，在(x0,y0)鄰域內(nèi)穩(wěn)定性依賴于特征方程的根，他對可能出現(xiàn)的情況做了細(xì)致的分析蜀铲，包括了比龐加萊結(jié)果更多的類型边琉。李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性問題的工作一直延續(xù)到20世紀(jì)早期，他認(rèn)為基本結(jié)果是當(dāng)且僅當(dāng)特征方程關(guān)于n的根都有負(fù)實部時记劝，方程所有解才是穩(wěn)定的变姨。
龐加萊引入拓?fù)湔撟C法推進(jìn)了非線性方程的定性研究。為了描述奇點性質(zhì)厌丑，他引入了指數(shù)的概念定欧。考慮一奇點P0和圍繞它的一條簡單閉曲線C怒竿，在C與方程dy/dx=P(x,y)/Q(x,y)的解的每個交點上砍鸠，有軌道的一個方向角Φ（取值為0-2π），如果一個點逆時針沿C移動耕驰，Φ值變大爷辱，當(dāng)點在C上走完一圈后Φ值為2πI，I是一個整數(shù)或0（因為軌道的方向角已經(jīng)轉(zhuǎn)回到原值）朦肘，量I是曲線的指數(shù)饭弓。可證明：包含幾個奇點的閉曲線的指數(shù)是它們指數(shù)的代數(shù)和媒抠，閉軌道的指數(shù)是+1
軌道性質(zhì)由特征方程確定弟断。僅知道微分方程即可確定曲線指數(shù)I，可證明
龐加萊后领舰，本迪克松(Ivar Bendixson,1861-1935)關(guān)于dy/dx=P(x,y)/Q(x,y)方程解進(jìn)行了一項有意義的工作夫嗓。他提供了一個準(zhǔn)則證明某區(qū)域內(nèi)沒有閉軌道存在，若δQ/δx+δP/δy在區(qū)域D內(nèi)同號冲秽，那么方程在D中沒有周期解舍咖。
1901年本迪克松提出龐加萊-本迪克松定理，提供了判定dy/dx=P(x,y)/Q(x,y)存在一個周期解的準(zhǔn)則锉桑，如果P與Q在-∞<x排霉，y<∞內(nèi)有定義且是正則的，又如果當(dāng)t趨于∞時民轴，解x(t),y(t)永遠(yuǎn)保持在(x,y)平面的有界區(qū)域內(nèi)且不趨于奇點攻柠，那么微分方程至少存在一條閉曲線解。
龐加萊開啟的非線性方程研究在各個方面拓展了后裸。與19世紀(jì)開始的另一個課題有關(guān)：富克斯研究的線性微分方程奇點固定瑰钮，且被微分方程系數(shù)確定，到非線性方程下微驶，奇點可能隨初始條件變動浪谴，稱為可去奇點。例如方程y'+y^2=0有一般解y=1/(x-c)因苹，c是任意的苟耻，在解中奇點位置依賴于c值。富克斯發(fā)現(xiàn)了可去奇點的現(xiàn)象扶檐，之后許多人做了可去奇點的研究和具有或不具有可去奇點的二階非線性方程的研究凶杖，其中比較出名的是潘勒韋(Paul Painlevé,1863-1933)】钪【搜了下他還當(dāng)過法國總理智蝠，這也太強了吧，真實干一行愛一行……還和萊特兄弟一起坐飛機奈梳，他的兒子Jean Painleve是紀(jì)錄片導(dǎo)演寻咒，拍了些科普紀(jì)錄片】對許多形如y''=f(x,y,y')的二階方程類，它們的解需要新的超越函數(shù)類颈嚼，現(xiàn)在叫做Painleve函數(shù)毛秘。
20世紀(jì)人們對非線性方程的興趣更強烈了，它的應(yīng)用從天文學(xué)擴展到通訊阻课、服務(wù)機構(gòu)叫挟、自動控制系統(tǒng)和電子學(xué)，研究也從定性階段發(fā)展到定量階段了限煞。
