四．實(shí)數(shù)系．
? ? ? 實(shí)數(shù)系就是有理數(shù)系的擴(kuò)充。我們說(shuō)任何一個(gè)有理數(shù)(a/b)是可公度的朝氓，但人們發(fā)現(xiàn)存在不可公度線(xiàn)段，或者說(shuō)，如果我們認(rèn)為毎一線(xiàn)段對(duì)應(yīng)著借助于單位長(zhǎng)度給出的一個(gè)數(shù)耕突，則不可公度線(xiàn)段所表示的數(shù)叫無(wú)理數(shù)笤成，這樣的數(shù)在數(shù)軸上是存在的。我們以一個(gè)正方形的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度為例眷茁。假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)疹启，對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為x，根據(jù)勾股定理蔼卡，我們有x??2＝2喊崖，則x＝（根號(hào)下2）．如果x與1是可公度的，則可以找到兩個(gè)互質(zhì)的整數(shù)p雇逞、q荤懂，使得x/1＝p/q，即? (根號(hào)下2）＝p/q塘砸，那么p??2＝2·q??2节仿，可以得出p為偶數(shù)．又設(shè)p＝2k，則q??2＝2·k??2掉蔬，那么q也是一偶數(shù)廊宪，這與p、q互質(zhì)矛盾女轿，所以不存在互質(zhì)的整數(shù)p箭启、q使得? (根號(hào)2)＝q/p，即(根號(hào)2)不是有理數(shù)蛉迹。我們把這樣的數(shù)稱(chēng)之謂無(wú)理數(shù)．如果用尺規(guī)在數(shù)軸上標(biāo)出這樣一個(gè)線(xiàn)段傅寡，則這樣作出的點(diǎn)不可能與任何有理點(diǎn)重合，如下圖(圖略)北救，從直觀(guān)上來(lái)看 無(wú)理數(shù)(根號(hào)2)存在數(shù)軸上荐操，又不等于任何有理數(shù)是不好理解的。因?yàn)橛欣睃c(diǎn)全體雖然是處處稠密的珍策，且能覆蓋整個(gè)數(shù)軸托启，因此人們研究發(fā)現(xiàn)整個(gè)數(shù)軸是由有有理點(diǎn)和無(wú)理點(diǎn)覆蓋的，即數(shù)軸的數(shù)是由無(wú)理數(shù)? 和有理數(shù)構(gòu)成的攘宙，我們稱(chēng)之謂實(shí)數(shù)系．有理數(shù)系雖然是處處稠密屯耸，但在數(shù)軸上不具備連續(xù)性，無(wú)論相鄰的兩個(gè)有理數(shù)構(gòu)成的區(qū)間有多小模聋，總是間斷的肩民，無(wú)理數(shù)就像粘合劑，使數(shù)軸上的點(diǎn)連續(xù)不斷链方，所以實(shí)數(shù)系是具備連續(xù)性的數(shù)系持痰。實(shí)數(shù)的連續(xù)性是近代分析數(shù)學(xué)研究的基礎(chǔ)，是? 建立在實(shí)數(shù)的連續(xù)性上的祟蚀。
? ? ? 在概念上和研討方法上工窍，由有理數(shù)系到實(shí)數(shù)系是一個(gè)大幅度的躍進(jìn)割卖，是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一次革命。在人類(lèi)理性文明的發(fā)展史中患雏，這一躍進(jìn)發(fā)生于公元前五至四世紀(jì)古希臘幾何學(xué)家在對(duì)定量幾何基礎(chǔ)理論的深入研究中鹏溯，由度量長(zhǎng)度而產(chǎn)生的可公度性的問(wèn)題。在這里淹仑，我們把里歐索斯(Eudoxus)和希帕索斯(Hippasus)對(duì)于人類(lèi)理性文明的重大貢獻(xiàn)作一簡(jiǎn)樸明確的敘述：
