引
很早就想整理一下 Xi Yin 2017 TASI lecture 的筆記允睹。又是一個(gè)CFT的講義棉圈，可是讓我有耳目一新的感覺(jué)榕酒。不是從QFT的角度胚膊，而是從另一個(gè)比較新的operator algebra的角度來(lái)理解的。這正好和我lie代數(shù)的背景相契合想鹰。大概看了3遍澜掩，每看一遍都想寫點(diǎn)什么，不過(guò)在這第三遍杖挣，我才找到了我自己的一個(gè)比較喜歡的角度肩榕。
QFT的3個(gè)表述
- 拉氏量和路徑積分：理論推導(dǎo)上簡(jiǎn)潔好用，物理圖像也清晰，構(gòu)造有效理論和使用微擾論都很方便株汉，但是路徑積分本身并不總是數(shù)學(xué)上well defined筐乳。
- 哈密頓量和UV正規(guī)化：如果可以用網(wǎng)格分割空間，把場(chǎng)看做一個(gè)“彈簧床”乔妈，就可以用正則量子力學(xué)蝙云，然后在讓網(wǎng)格趨近0取連續(xù)的極限。
- operator(算符)代數(shù)：最本質(zhì) 的表述路召。因?yàn)橛行r(shí)候場(chǎng)論很可能寫不出一個(gè)拉氏量勃刨，但是場(chǎng)論還是可以被定義的。類似一般幾何可以用metric來(lái)表述股淡，但是所有的幾何空間都可以寫出一個(gè)local的metric身隐。這一點(diǎn)也挺有意思的：如何定義一個(gè)場(chǎng)論。
這樣的問(wèn)題唯灵，在物理上似乎還有點(diǎn)陌生贾铝。我們構(gòu)造物理理論來(lái)描述自然規(guī)律，這個(gè)構(gòu)造過(guò)程就是一個(gè)定義的過(guò)程埠帕。但是當(dāng)自然規(guī)律我們并不知道的時(shí)候垢揩，我們?cè)撛趺崔k呢？可能這個(gè)時(shí)候就需要數(shù)學(xué)的幫助了吧敛瓷。大部分(不是所有)的QFT可以通過(guò)RG flow由CFT 得到叁巨。
Yin老師這個(gè)講義核心就是如何定義CFT, 如果想象所有的CFT構(gòu)成一個(gè)空間的話，我們就是要想辦法游歷整個(gè)空間呐籽。既然已經(jīng)知道L和H是不足夠的锋勺，那么自然剩下的可能就是operator algebra。
這也給我提供了一個(gè)理解這個(gè)核心的方法绝淡，就是把CFT當(dāng)做一個(gè)algebra. 然后用Lie代數(shù)的一些想法或是思維來(lái)理解CFT。
conformal
CFT具有共形對(duì)稱苍姜。共形對(duì)稱包含轉(zhuǎn)動(dòng)不變牢酵，再加上一般假設(shè)的平移不變，與這兩個(gè)不變相對(duì)應(yīng)的守恒currents就是stress-energy tensor: T衙猪。額外的共形對(duì)稱要求這個(gè)tensor的trace是0 (在彎曲時(shí)空可能存在anomaly馍乙，可以理解為量子化與共性對(duì)稱不自洽。這時(shí)trace 和 彎曲空間的Ricci scalar 成正比垫释，比例系數(shù)稱為central charge丝格，是CFT的一個(gè)重要參數(shù)。)棵譬。
在二維空間显蝌，共形對(duì)稱由Virasoro代數(shù)描述。一般的都對(duì)稱性都是由李代數(shù)描述订咸，但是李代數(shù)生成元一般是有限個(gè)的曼尊，但是共性對(duì)稱對(duì)應(yīng)的代數(shù)具有無(wú)窮多個(gè)生成元酬诀。這些生成元作用在CFT的量子態(tài)上。也可以說(shuō)CFT的量子態(tài)構(gòu)成了共性對(duì)稱的一個(gè)表示骆撇。這個(gè)表示可以分解為很多不同的不可約表示瞒御，由不同primary state來(lái)區(qū)別。在不同的不可約表示里神郊，對(duì)primary state作用所有可能的生成元就生成了整個(gè)在這個(gè)不可約表示里的量子態(tài)肴裙。我們已經(jīng)知道生成元有Virasoro的代數(shù)結(jié)果，那么量子態(tài)也應(yīng)該繼承了這個(gè)結(jié)構(gòu)涌乳。的確如此蜻懦，對(duì)于2維的CFT, 存在一個(gè)state/local operator的對(duì)應(yīng)，就是每個(gè)量子態(tài)都對(duì)應(yīng)了一個(gè)local的operator爷怀，然后這些local operator在OPE （operator production expansion）就構(gòu)成了同樣的Virasoro 代數(shù)阻肩。
稍微回憶一下QFT
對(duì)于QFT, 因?yàn)榫哂新鍌惼潓?duì)稱，量子態(tài)應(yīng)該被Lorentz群不可約表示分類运授，然后每一個(gè)不可約表示都可以獨(dú)立作為一個(gè)量子場(chǎng)論來(lái)研究烤惊，比如scalar field, spin field, vector field，這些不同表示由自旋s來(lái)表征分類吁朦，而自旋只能取整數(shù)或半整數(shù)柒室。
但是在CFT里，表征不同primary state 的參量h和central charge c的取值并沒(méi)有被代數(shù)本身限制逗宜。這就是CFT比較難以理解難以分類的原因雄右。因?yàn)槲覀兛紤]所有可能的h。
我們可以利用額外的假設(shè)對(duì)h進(jìn)行限制纺讲。比如我們要求CFT是unitary的, 那么利用量子態(tài)的模的正定性確定 h一定非負(fù)的擂仍。利用一個(gè)不可約表示的完備性我們可以確定當(dāng)central charge c大于等于1的時(shí)候，unitarity并不會(huì)對(duì)h再有限制熬甚，但是當(dāng)c小于1并且取一些特殊值的時(shí)候逢渔，h就只能取一些特殊的值，這些CFTs稱為minimal models乡括。
確定h和c我們只確定了CFT里可能存在的量子態(tài)(spectrum)肃廓，我們要知道不同的量子態(tài)之間的關(guān)系。因?yàn)槊恳粋€(gè)量子態(tài)都對(duì)應(yīng)了一個(gè)operator诲泌，這些operator在OPE下構(gòu)成了一個(gè)更大的代數(shù)關(guān)系成為operator algebra盲赊。對(duì)CFT的分量就是對(duì)這個(gè)algebra的分類。
operator algebra的限制：cross symmetry and modular invariance
現(xiàn)在我們就可以把CFT理解為 一個(gè)operator algebra, 進(jìn)行分類的話當(dāng)然需要一些限定條件敷扫。比如李代數(shù)的結(jié)構(gòu)常數(shù)要滿足Jacobi等式哀蘑。
類似的，operator algebra的"結(jié)構(gòu)常數(shù)"有兩部分，一部分還是常數(shù)C,還有一部分稱為conformal block（F）递礼，如果 F 完全可以由Virasoro來(lái)確定惨险，就可以說(shuō)是一種bootstrap，比如對(duì)于二維的CFT, F就可以完全bootstrap出來(lái)脊髓。對(duì)于計(jì)算F, 文獻(xiàn)中有一些特殊的技巧既荚，但是最常用的也是用計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)就是利用遞推公式碾篡。剩下的就只有這個(gè)常數(shù)部分了，就可以去掉引號(hào)，真的就是結(jié)構(gòu)常數(shù)了怔锌。這個(gè)結(jié)構(gòu)常數(shù)就是描述了不同不可約表示下的態(tài)是如何相互作用轉(zhuǎn)化的速妖。對(duì)于結(jié)構(gòu)常數(shù)的限制就來(lái)自于贡定，如果我們把背景空間分成不同的區(qū)域進(jìn)行計(jì)算時(shí)材鹦，不同的分割方法應(yīng)該是等價(jià)的。這個(gè)等價(jià)最終可以歸結(jié)為cross symmetry 和 modular invariance律罢。利用這兩個(gè)限制條件可以得到結(jié)構(gòu)常數(shù)需要滿足的方程膀值。求解這些方程就是對(duì)CFT進(jìn)行分類，但是要想求解這些方程首先要知道所有的conformal block误辑。所以這是一個(gè)極其困難的問(wèn)題沧踏。反過(guò)來(lái)，如果我們假設(shè)某些結(jié)構(gòu)常數(shù)不為零巾钉，那么cross symmetry 和 modular invariance也可以看做是對(duì)conformal block的限制翘狱，利用這些限制，我們對(duì)CFT中的物理量做出一些限制砰苍。
總結(jié)
CFT 可以理解為一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)潦匈，定義這個(gè)結(jié)構(gòu)我們需要先選定 central charge c還有不可約表示h，還有結(jié)構(gòu)常數(shù)赚导。這些結(jié)構(gòu)常數(shù)被cross symmetry and modular invariance 限制茬缩。遠(yuǎn)遠(yuǎn)不像對(duì)李代數(shù)的分類，我們離對(duì)CFT分類還是有很遠(yuǎn)的距離的吼旧。用Yin老師的話就是說(shuō)凰锡，很尷尬地我們對(duì)CFT還只是一知半解。
還有一章是對(duì)現(xiàn)在已知的CFT的歸類總結(jié)：
1.free boson 包括尤其構(gòu)造的Narain lattice
2.具有離散對(duì)稱性的CFT: Orbifold CFT
3.具有連續(xù)對(duì)稱的CFT: WZW and coset models
4.具有高自旋守恒量的vertex algebra： W algebra
5.超對(duì)稱的CFT：SCFT
6.non-linear sigma model (NLSM)：string theory 等
7.在Calabi-Yau上的超對(duì)稱的 NLSM
8.RG flow 下的CFT
最后還有一些具體的進(jìn)展黍少，主要是一些數(shù)值計(jì)算的結(jié)果.
