2021年八省聯(lián)考題20
北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性氛琢，規(guī)定∶多面體頂點(diǎn)的曲率等于 與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角在塔，角度用弧度制）括改，多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零贡蓖，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如∶正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角冀惭，每個(gè)面角是
轩勘，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為
栈雳，故其總曲率為
.
（1）求四棱錐的總曲率;
（2）若多面體滿足∶ 頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2，證明∶ 這類多面體的總曲率是常數(shù).
【解答第1問】
四棱錐有5個(gè)頂點(diǎn)和5個(gè)面搜囱，其中1個(gè)四邊形丑瞧，4個(gè)三角形，其面角總和 =
總曲率=
【解答第2問】
如圖所示蜀肘，對(duì)于平面上的n邊形绊汹，在多邊形內(nèi)任取一點(diǎn)Q，可以將其拆分為n個(gè)三角形扮宠。因?yàn)槿我馊切蔚膬?nèi)角之和等于180度西乖，所以狐榔，這些三角形的內(nèi)角之和等于：; 由于在點(diǎn)Q處還有一個(gè)
角，所以获雕，n邊形的內(nèi)角之和等于：
薄腻，也就是:
.
對(duì)于多面體的每個(gè)面依法炮制，可得三角形的數(shù)量 = 棱數(shù) × 2
可得 角的數(shù)量 = 面數(shù)
按照曲率公式届案，
總曲率 = 頂點(diǎn)數(shù) - (棱數(shù)
- 面數(shù)
) = (頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù))
證明完畢.
【回歸教材】
多邊形的內(nèi)角和是幾何學(xué)的一個(gè)基本問題庵楷，人教版《數(shù)學(xué)-八年級(jí)上冊(cè)》（第21頁）第11章 §11.3.2 的標(biāo)題即為：《多邊形的內(nèi)角和》
可見，本題考查的屬于：基本概念和基本方法楣颠。
【提煉與提高】
為什么有好多學(xué)生感覺這個(gè)題很難尽纽？原因在于：它太基本了，在經(jīng)過大量的童漩、重復(fù)性的機(jī)械的訓(xùn)練之后弄贿，學(xué)生已經(jīng)不會(huì)用基本的方法解決問題。遇到這樣和所有『題型』都不靠的問題矫膨，就無從下手差凹。
為了成功解答本題，考生要過幾關(guān)：
1）讀懂題目侧馅，關(guān)鍵是在幾分鐘內(nèi)理解一個(gè)新的概念：多面體的曲率危尿。
2）掌握多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)過程，而不僅僅是結(jié)論施禾。
3）經(jīng)過觀察和歸納脚线，得出結(jié)論：三角形的數(shù)量=棱數(shù)×2. 這點(diǎn)并不難，但現(xiàn)實(shí)中就是有人做不到弥搞。
多年來邮绿，中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)存在一種理論與實(shí)踐脫節(jié)的傾向：專家們不斷強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想和方法；中學(xué)教師一直在帶著自己的學(xué)生拼命刷題攀例。
八省聯(lián)考數(shù)學(xué)卷船逮，向大家傳遞了這樣一個(gè)信號(hào)：命題人辦法是很多的。在對(duì)高考制度不進(jìn)行大變的前提下粤铭，加強(qiáng)對(duì)于學(xué)生能力的考查挖胃，是完全可以做到的。
對(duì)于備考的學(xué)生和教師來說梆惯，我的建議是：
1）多思考酱鸭，多總結(jié)；切忌盲目做題垛吗。
2）花點(diǎn)時(shí)間讀讀教科書凹髓，包括初中和高中的教科書，會(huì)用到的怯屉。
