已知兩點求直線方程
有不同兩點和
,通過求解以下方程
可以得到
如果在極坐標(biāo)系下,兩點為和
裹刮,則直線方程為
可以得到
過兩點的半徑為
的圓
有點和
,現(xiàn)需要求解圓心位置
庞瘸,使得半徑為
的圓通過兩點
可以簡單列出方程為
求解得到
點到直線的距離
目前有點和
捧弃,兩者組成線段,現(xiàn)有點
,求解點
到直線的距離
首先求解點和點
組成的直線方程為
點到直線的距離為
到直線距離為d的點
目前有點和
违霞,兩者組成線段嘴办,求解到直線距離為
的點
,使得
可以求解得到
根據(jù)點和點
到原點的距離可以選擇一個合適的點
直線段上的垂直點
目前有點和
买鸽,兩者組成線段涧郊,現(xiàn)有點
,求解垂直點
位置癞谒,并且判斷是否在線段
上
考慮到垂直點和
共線底燎,因此可以表達成
當(dāng),點
在線段
上弹砚,否則在線段外
現(xiàn)在找到點使得
双仍,即
展開后可以得到
如果尋求原點到線段的垂直點拌喉,那么公式將會變成
平面上的垂直點
假設(shè)平面上四邊形由四個點碟嘴、
、
嗜傅、
(四個點按照順時針或者逆時針)組成茅诱,現(xiàn)有點
逗物,求解垂直點
位置,并且判斷是否在矩形內(nèi)
考慮到垂直點和
共面瑟俭,因此可以表達成
如果限制四邊形為矩形那么有
當(dāng)翎卓,點
在四邊形
上,否則在四邊形外
現(xiàn)在找到點使得
摆寄,即
展開后可以得到
其中
二維散點直線擬合
目前有一系列維散點
失暴,想用直線
去擬合這一系列點,取點到直線的距離和最短作為約束微饥,如下所示
如果約束 逗扒,則方程變?yōu)?br>
根據(jù)拉格朗日乘子法,相當(dāng)于求解下式
分別對求解偏導(dǎo)可以得到
求解可以得到
令欠橘,上式等價于
求解可以得到 矩肩,取較小那個為結(jié)果得到
k維散點直線擬合
有一系列維散點
肃续,希望用直線去擬合黍檩,高維空間中的直線擬合無法用類似
來表達,因為該方程為面方程始锚,高維空間中的線建炫,則需要多個平面求交來得到,求解較為復(fù)雜疼蛾。一個可行的方式是將直線用“點 + 向量”方式來表達肛跌,即
,約束條件依然為各個點到直線的距離最小
利用拉格朗日乘子法,上式變?yōu)?br>
再次變形得到
對求導(dǎo)可以得到
考慮到衍慎,因此有
對求導(dǎo)转唉,可以得到
可以得到為矩陣
最大特征值對應(yīng)的特征向量,該結(jié)果和二維的結(jié)果可以保持一致
注:二維結(jié)果中不是直線的方向向量稳捆,而是直線的垂直向量赠法,因此前一節(jié)中最小特征值對應(yīng)的特征向量和這里物理意義一致
k維平面擬合
有一系列 k 維散點 ,希望用平面
去擬合乔夯,其中
為平面的法向量砖织,擬合要求所有點到平面的距離平方和最小,即
如果約束法向量 末荐,為單位向量侧纯,則有
利用拉格朗日乘子法,上式變?yōu)?br>
上式可以繼續(xù)變形得到
上式對 求導(dǎo)可以得到
帶入后可以得到
再對 求導(dǎo)可以得到
為了保證原式最小甲脏, 為矩陣
的最小特征值眶熬,歸一化法向量
為對應(yīng)的特征向量