已知兩點求直線方程
有不同兩點和,通過求解以下方程
可以得到
如果在極坐標(biāo)系下,兩點為和裹刮,則直線方程為
可以得到
過兩點的半徑為的圓
有點和,現(xiàn)需要求解圓心位置庞瘸,使得半徑為的圓通過兩點
可以簡單列出方程為
求解得到
點到直線的距離
目前有點和捧弃,兩者組成線段,現(xiàn)有點,求解點到直線的距離
首先求解點和點組成的直線方程為
點到直線的距離為
到直線距離為d的點
目前有點和违霞,兩者組成線段嘴办,求解到直線距離為的點,使得
可以求解得到
根據(jù)點和點到原點的距離可以選擇一個合適的點
直線段上的垂直點
目前有點和买鸽,兩者組成線段涧郊,現(xiàn)有點,求解垂直點位置癞谒,并且判斷是否在線段上
考慮到垂直點和共線底燎,因此可以表達成
當(dāng),點在線段上弹砚,否則在線段外
現(xiàn)在找到點使得双仍,即
展開后可以得到
如果尋求原點到線段的垂直點拌喉,那么公式將會變成
平面上的垂直點
假設(shè)平面上四邊形由四個點碟嘴、、嗜傅、(四個點按照順時針或者逆時針)組成茅诱,現(xiàn)有點逗物,求解垂直點位置,并且判斷是否在矩形內(nèi)
考慮到垂直點和共面瑟俭,因此可以表達成
如果限制四邊形為矩形那么有
當(dāng)翎卓,點在四邊形上,否則在四邊形外
現(xiàn)在找到點使得摆寄,即
展開后可以得到
其中
二維散點直線擬合
目前有一系列維散點失暴,想用直線去擬合這一系列點,取點到直線的距離和最短作為約束微饥,如下所示
如果約束 逗扒,則方程變?yōu)?br>
根據(jù)拉格朗日乘子法,相當(dāng)于求解下式
分別對求解偏導(dǎo)可以得到
求解可以得到
令欠橘,上式等價于
求解可以得到 矩肩,取較小那個為結(jié)果得到
k維散點直線擬合
有一系列維散點肃续,希望用直線去擬合黍檩,高維空間中的直線擬合無法用類似來表達,因為該方程為面方程始锚,高維空間中的線建炫,則需要多個平面求交來得到,求解較為復(fù)雜疼蛾。一個可行的方式是將直線用“點 + 向量”方式來表達肛跌,即,約束條件依然為各個點到直線的距離最小
利用拉格朗日乘子法,上式變?yōu)?br>
再次變形得到
對求導(dǎo)可以得到
考慮到衍慎,因此有
對求導(dǎo)转唉,可以得到
可以得到為矩陣最大特征值對應(yīng)的特征向量,該結(jié)果和二維的結(jié)果可以保持一致
注:二維結(jié)果中不是直線的方向向量稳捆,而是直線的垂直向量赠法,因此前一節(jié)中最小特征值對應(yīng)的特征向量和這里物理意義一致
k維平面擬合
有一系列 k 維散點 ,希望用平面 去擬合乔夯,其中 為平面的法向量砖织,擬合要求所有點到平面的距離平方和最小,即
如果約束法向量 末荐,為單位向量侧纯,則有
利用拉格朗日乘子法,上式變?yōu)?br>
上式可以繼續(xù)變形得到
上式對 求導(dǎo)可以得到
帶入后可以得到
再對 求導(dǎo)可以得到
為了保證原式最小甲脏, 為矩陣 的最小特征值眶熬,歸一化法向量 為對應(yīng)的特征向量