? ? ? ? ? ? 第三段（5～6年級(jí)）

【內(nèi)容要求】

? ? ? （1）知道2方援，3，5的倍數(shù)的特征涛癌，了解公倍數(shù)和最小公倍數(shù)犯戏，了解公因數(shù)和最大公因數(shù)，了解奇數(shù)拳话、偶數(shù)先匪、質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）和合數(shù)。

（2）結(jié)合具體情境探索并理解小數(shù)和分?jǐn)?shù)的意義弃衍，感悟計(jì)數(shù)單位呀非；會(huì)進(jìn)行小數(shù)、分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)化镜盯，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)感和符號(hào)意識(shí)岸裙。

（3）結(jié)合具體情境理解整數(shù)除法與分?jǐn)?shù)的關(guān)系（例16）。

例16? 除法可以寫成分?jǐn)?shù)的形式

? ? 為什么4÷2可以寫成4/2?

? ? 【說明】首先速缆，可以通過除法運(yùn)算的意義和分?jǐn)?shù)的意義理解它們之間的等價(jià)關(guān)系降允。前者可以表示4個(gè)蘋果平均分給2個(gè)人，每人分到2個(gè)艺糜；后者可以表示4個(gè)蘋果的1/2剧董，等價(jià)于2個(gè)蘋果。

? ? ? 其次破停，通過算理進(jìn)行一般性說明翅楼。怎樣知道“4÷2=⊿”中的“⊿”是多少?由于除法是乘法的逆運(yùn)算，它等于“4=⊿×2”真慢。根據(jù)等式的基本性質(zhì)毅臊，等式兩邊同乘1/2后等式不變，計(jì)算得到4×1/2=⊿晤碘。根據(jù)基本事實(shí)“等量的等量相等”褂微，所以4÷2=4×1/2成立功蜓。

? ? ? ? 最后，因?yàn)?×1/2表示4個(gè)1/2相加宠蚂，所以寫成4/2式撼，即4÷2=4/2。這個(gè)結(jié)果表明求厕，除以一個(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)著隆。

（4）能進(jìn)行簡單的小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算和混合運(yùn)算呀癣，感悟運(yùn)算的一致性美浦，發(fā)展運(yùn)算能力和推理意識(shí)。

2.數(shù)量關(guān)系

（1）根據(jù)具體情境理解等式的基本性質(zhì)（例17）项栏。

例17觀察下面兩組等式浦辨，你有什么發(fā)現(xiàn)？與同伴交流沼沈，嘗試解釋你的發(fā)現(xiàn)流酬。

（1）17+8=25

? ? ? ? 17+8-5=25-5

? ? ? ? ? 17+8+10=25+10

（2）20×3=60

? ? ? ? 20×3×4=60×4

? ? ? ? 20×3÷2=60÷2

? ? 【說明】這兩組等式表達(dá)了等式的兩個(gè)基本性質(zhì)。第一組是等式的基本性質(zhì)1列另，即“等式兩邊同時(shí)加或減同一個(gè)數(shù)芽腾，等式兩邊仍然相等”。第二組是等式的基本性質(zhì)2页衙，即“等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)摊滔，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，等式兩邊仍然相等”店乐。這兩個(gè)基本性質(zhì)同樣適用于含有未知數(shù)的等式艰躺，在后續(xù)學(xué)習(xí)方程時(shí)會(huì)用到。

（2）在解決實(shí)際問題的過程中响巢，會(huì)選擇合適的方法進(jìn)行估算（例18）

例18? 估算的上屆和下屆

? ? ? ? 李阿姨去商店購物描滔，帶了100元棒妨，她買了2袋面踪古，每袋30.4元；又買了1塊牛肉券腔，用了19.4元伏穆。她還想買1條魚，大一些的每條25.2元纷纫，小一些的每條15.8元枕扫。請(qǐng)幫助李阿姨估算一下，她此時(shí)剩余的錢夠不夠買小魚?夠不夠買大魚?

? ? 【說明】對(duì)于給定的數(shù)量辱魁，許多估算問題是為了得到上屆或者下屆烟瞧。為此诗鸭，需要對(duì)給定的數(shù)量進(jìn)行適當(dāng)放大或縮小，湊整計(jì)算参滴。此例中兩個(gè)問題的核心都是估計(jì)用100元購物后的剩余金額强岸，但兩種估計(jì)方法有所不同。

? ? ? ? 第一問“夠不夠買小魚”需要估計(jì)剩余金額的下屆（至少剩余多少元）砾赔，如果下屆超過15.8元蝌箍，就夠買小魚。對(duì)于估計(jì)下屆的問題暴心，購物金額要適當(dāng)?shù)胤糯蠹嗣ぁ＠纾I1袋面不超過31元专普，買2袋面不超過62元悯衬；買牛肉不超過20元；總共不超過62+20=82（元）檀夹，至少還剩100-82=18（元）甚亭。所以，李阿姨剩余的錢買1條小魚是夠用的击胜。

? ? ? 第二問“夠不夠買大魚”需要估計(jì)剩余金額的上屆（至多剩余多少元）亏狰，如果上屆不到25.2元，就不夠買大魚偶摔。對(duì)于估計(jì)上屆的問題暇唾，購物金額要適當(dāng)?shù)乜s小。例如辰斋，買1袋面至少要30元策州，買2袋面至少要60元；買牛肉至少要19元宫仗；總共至少要60+19=79（元）够挂，至多還剩100-79=21（元）。所以藕夫，李阿姨余的錢不夠買1條大魚孽糖。

（3）在具體情境中，探索用字母表示事物的關(guān)系毅贮、性質(zhì)和規(guī)律的方法办悟，感悟用字母表示的一般性（例19）。

例19用字母表示數(shù)量關(guān)系或規(guī)律

? ? （1）小華比小明多5張漫畫卡滩褥。如果小明有8張病蛉，小華有幾張?如果小明有12張呢?如果小明有若干張，怎樣用字母表示小華有多少張漫畫卡?

? ? （2）我們學(xué)習(xí)過一些圖形面積的計(jì)算公式，還學(xué)過加法和乘法的運(yùn)算律铺然，你能用字母表示這些計(jì)算公式和運(yùn)算律嗎?

（3）如圖6俗孝，1張餐桌可坐4人，2張餐桌拼在一起可做6人魄健，3張餐桌拼在一起可坐8人驹针，按這樣拼下去，n張餐桌拼在一起可做多少人?

【說明】這三個(gè)問題涉及用字母表示數(shù)量關(guān)系或規(guī)律诀艰。

（1）教學(xué)時(shí)柬甥，可以先從具體數(shù)量入手；小明有8張其垄、12張時(shí)苛蒲，小華的漫畫卡數(shù)量應(yīng)如何表示?如果小明有不知道具體數(shù)量的若干張時(shí)，小華的漫畫卡數(shù)量可以表示為（5+a）,其中的字母a表示小明的漫畫卡數(shù)量绿满，是一個(gè)變化的值臂外。

（2）讓學(xué)生探索用字母表示面積計(jì)算公式和運(yùn)算律的過程，感悟用字母表示所得到的結(jié)果具有一般性喇颁。

（3）讓學(xué)生經(jīng)歷用字母表示變化規(guī)律的過程漏健，培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)。1張餐桌可做4人橘霎，2張餐桌拼在一起可做6人蔫浆，3張餐桌拼在一起可坐8人，以此類推姐叁，n張餐桌拼在一起可坐（2n+2）人瓦盛。

（4）在實(shí)際情境中理解比和比例以及按比例分配的含義，能解決簡單的問題外潜。

（5）通過具體情境原环，認(rèn)識(shí)成正比的量（如y/x=5）（例20）；能探索規(guī)律或變化趨勢(shì)（如y=5x）（例21）处窥。

例20? 認(rèn)識(shí)成正比的量

? ? ? 王阿姨去超市買蘋果嘱吗，每千克蘋果5元，如果購買2千克滔驾，3千克……分別需要多少元?

【說明】可以借助列表或者畫圖象的方法分析問題谒麦，例如，把計(jì)算的結(jié)果記錄在表5中嵌灰。

觀察表5可以發(fā)現(xiàn)弄匕，隨著購買蘋果數(shù)量的增多颅悉，總價(jià)也增多沽瞭，這兩個(gè)量變化的最基本特征是:總價(jià)與數(shù)量的比值保持不變∈Ｆ浚可以把這個(gè)關(guān)系表示為總價(jià)/數(shù)量=5驹溃，或者用符號(hào)表示為y/x=5城丧，這時(shí)稱y和x為成正比的量。

例21? ? 探索數(shù)量之間的變化規(guī)律

? ? ? 王阿姨去超市買蘋果豌鹤，每千克蘋果5元亡哄，夠買2千克、3千克……分別需要多少元?探索其中的規(guī)律布疙。

【說明】這是例20的延續(xù)蚊惯。從例20的說明中可以知道，為了保證兩個(gè)數(shù)量的比值保持不變灵临，這兩個(gè)數(shù)量必須一起變化截型。顯然，也可以把這個(gè)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為y=5x的形式儒溉。這樣的表達(dá)能夠更好地體現(xiàn)“隨著購買蘋果數(shù)量的增多宦焦，總價(jià)也增多”的變化規(guī)律，這就是初中將要學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)顿涣。

（6）能運(yùn)用常見的數(shù)量關(guān)系解決實(shí)際問題波闹，能合理解釋結(jié)果的實(shí)際意義，逐步形成模型意識(shí)和幾何直觀涛碑，提高解決問題的能力精堕。

【學(xué)業(yè)要求】

1.數(shù)與運(yùn)算

? ? ? ? 能找出2，3蒲障，5的倍數(shù)锄码。在1～100的自然數(shù)中:能找出10以內(nèi)自然數(shù)的所有倍數(shù)，10以內(nèi)兩個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)晌涕；能找出一個(gè)自然數(shù)的所有因數(shù)滋捶，兩個(gè)自然數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)；能判斷一個(gè)自然數(shù)是否是質(zhì)數(shù)或合數(shù)余黎。

? ? ? ? 能用直觀的方式表示分?jǐn)?shù)和小數(shù)重窟，能比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小和兩個(gè)小數(shù)的大小惧财；會(huì)進(jìn)行小數(shù)和分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)化（不包括將循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化分?jǐn)?shù)）巡扇。能在實(shí)際情境中運(yùn)用小數(shù)和分?jǐn)?shù)解決問題，進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)意識(shí)和數(shù)感垮衷。

? ? ? 能進(jìn)行簡單小數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算和混合運(yùn)算（不超過三步）厅翔，并說明運(yùn)算過程。能在較復(fù)雜的真實(shí)情境中搀突，選擇恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算方法解決問題刀闷，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)。

2.數(shù)量關(guān)系

? ? ? ? 能在具體問題中感受等式的基本性質(zhì)（例17）。

【例17觀察下面兩組等式甸昏，你有什么發(fā)現(xiàn)顽分？與同伴交流，嘗試解釋你的發(fā)現(xiàn)施蜜。

（1）17+8=25

? ? ? ? 17+8-5=25-5

? ? ? ? ? 17+8+10=25+10

（2）20×3=60

? ? ? ? 20×3×4=60×4

? ? ? ? 20×3÷2=60÷2

? ? 【說明】這兩組等式表達(dá)了等式的兩個(gè)基本性質(zhì)卒蘸。第一組是等式的基本性質(zhì)1，即“等式兩邊同時(shí)加或減同一個(gè)數(shù)翻默，等式兩邊仍然相等”缸沃。第二組是等式的基本性質(zhì)2，即“等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)修械，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)和泌，等式兩邊仍然相等”。這兩個(gè)基本性質(zhì)同樣適用于含有未知數(shù)的等式祠肥，在后續(xù)學(xué)習(xí)方程時(shí)會(huì)用到武氓。】

? ? ? ? 能在解決實(shí)際問題中運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行估算仇箱，并能描述估算的過程县恕。

? ? ? ? 能在具體情境中，用字母或含有字母的式子表示數(shù)量之間的關(guān)系剂桥、性質(zhì)和規(guī)律忠烛，感悟用字母表示具體有一般性。

? ? ? ? ? 能在具體情境中权逗，用字母或含有字母的式子表示數(shù)量之間的關(guān)系美尸、性質(zhì)和規(guī)律，感悟用字母表示具有一般性斟薇。

? ? ? ? 能在具體情境中判斷兩個(gè)量的比师坎，會(huì)計(jì)算比值，理解比值相同的量堪滨，能解決按比例分配的簡單問題胯陋。

? ? ? ? 能在具體情境中描述成正比的量y/x=k（k≠0），能找出生活中成正比的量的實(shí)例袱箱；能根據(jù)給出的成正比關(guān)系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫圖遏乔，了解y=kx（k≠0）的形式，能根據(jù)其中一個(gè)量的值計(jì)算另一個(gè)量值发笔。

? ? ? ? 能解決較復(fù)雜的真實(shí)問題盟萨，形成幾何直觀和初步的應(yīng)用意識(shí)，提高解決問題的能力了讨。

【教學(xué)提示】

? ? ? 數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)捻激。通過整數(shù)的運(yùn)算制轰，感悟整數(shù)的性質(zhì)；通過整數(shù)铺罢、小數(shù)艇挨、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算残炮，進(jìn)一步感悟計(jì)數(shù)單位在運(yùn)算中的作用韭赘，感悟運(yùn)算的一致性。

? ? ? ? 數(shù)的認(rèn)識(shí)教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)的意義势就，用列舉泉瞻、計(jì)算、歸納等方法苞冯，探索2袖牙，3，5的倍數(shù)的特征舅锄，理解公因數(shù)和公倍數(shù)鞭达、奇數(shù)和偶數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)皇忿，形成推理意識(shí)畴蹭。

? ? ? ? 在初步認(rèn)識(shí)小數(shù)和分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生在具體情境中鳍烁，理解小數(shù)和分?jǐn)?shù)的意義叨襟，感悟計(jì)數(shù)單位。在教學(xué)過程中幔荒，可以讓學(xué)生體驗(yàn)與小數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)文化（例22）糊闽，理解、描述各數(shù)位上數(shù)字的意義爹梁，進(jìn)一步提升數(shù)感右犹。

【例22? ? 圓周率的故事

? ? ? 通過講述祖沖之計(jì)算圓周率的故事，讓學(xué)生感知圓周率的逼近過程姚垃，同時(shí)傀履，也理解小數(shù)的十進(jìn)制名稱的表達(dá)，感受中國古代數(shù)學(xué)家的杰出貢獻(xiàn)莉炉。

【說明】據(jù)《隨書》卷十六《志》第十一《律歷》記載钓账，南北朝時(shí)期的祖沖之的到圓周率的結(jié)果是:

? ? ? 以圓徑一億為丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽絮宁，肭數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽梆暮，正數(shù)在盈肭二限之間。密率绍昂，圓徑一百一十三啦粹，圓周三百五十五偿荷。約率，圓徑七唠椭，周二十二跳纳。……所著之書贪嫂，名為《綴術(shù)》寺庄，學(xué)官莫能究其深?yuàn)W，是故廢而不理力崇。

因此斗塘，祖沖之得到圓周率在3.1415926和3.1415927之間；根據(jù)不同的需要亮靴，可近似取作22/7（約率）或355/113（密率）馍盟。由此可以看到，祖沖之得到的圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后第6位茧吊，這個(gè)結(jié)果領(lǐng)先世界約1000年之久贞岭。

? ? ? 特別值得指出，類似自然數(shù)的單位（如個(gè)搓侄、十瞄桨、百、千休讳、萬等）讲婚，祖沖之清晰地表達(dá)、定義了十進(jìn)制的小數(shù)單位——尺俊柔、寸筹麸、分词身、厘忙干、毫、秒较坛、忽留晚，表述到小數(shù)點(diǎn)后七位酵紫。由此可見，中國古代人民對(duì)于小數(shù)的理解和表達(dá)都是深刻的错维〗钡兀】

? ? ? 數(shù)的運(yùn)算教學(xué)應(yīng)注重對(duì)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的過程中赋焕，引導(dǎo)學(xué)生理解通分的目的是得到同樣計(jì)數(shù)單位参歹，進(jìn)一步理解計(jì)數(shù)單位對(duì)分?jǐn)?shù)表達(dá)的重要性，理解整數(shù)隆判、分?jǐn)?shù)犬庇、小數(shù)的加減運(yùn)算都要在相同計(jì)數(shù)單位下進(jìn)行僧界，感悟加減運(yùn)算的一致性。

? ? ? ? 數(shù)量關(guān)系的教學(xué)臭挽。理解用字母表示的一致性捂襟，形成初步的代數(shù)思維。

? ? ? ? 用字母表示的教學(xué)要設(shè)計(jì)合理的實(shí)際情境欢峰，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用字母或含有字母的式子表達(dá)實(shí)際情境中的數(shù)量關(guān)系葬荷、性質(zhì)和規(guī)律。例如:用字母表達(dá)常見數(shù)量關(guān)系及其變形赤赊，“路程=速度×?xí)r間”表示s=v×t,這個(gè)關(guān)系的變式表示為v=s÷t闯狱，t=s÷v煞赢；還可以表達(dá)圖形的周長和面積計(jì)算公式等抛计，感受字母表達(dá)的一致性。運(yùn)用數(shù)和字母表達(dá)數(shù)量關(guān)系照筑，通過運(yùn)算或推理解決問題（例23）吹截，形成與發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)、推理意識(shí)和初步的應(yīng)用意識(shí)凝危。

【例23? 用字母表示數(shù)量關(guān)系

回顧例19（3）的情境波俄，請(qǐng)用字母表示餐桌數(shù)與人數(shù)之間的關(guān)系。

【說明】引導(dǎo)學(xué)生用不同的字母分別表示餐桌數(shù)與人數(shù)蛾默，建立二者之間的關(guān)系懦铺。例如，用a表示餐桌數(shù)支鸡，b表示人數(shù)冬念。根據(jù)問題的背景，可以建立關(guān)系式:b=b+2a+2牧挣。

? ? ? 引導(dǎo)學(xué)生理解急前，如果知道兩個(gè)量中的一個(gè)量，就可以通過對(duì)關(guān)系式的四則運(yùn)算得到另一個(gè)量瀑构。在上式中裆针，如果a=2，那么b=6寺晌；如果a=3世吨，那么b=8。反之亦然呻征。在這樣的過程中耘婚，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步感悟可以用字母表示數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生初步經(jīng)歷通過具體數(shù)值的計(jì)算歸納一般關(guān)系的過程怕犁”呃海】

? ? ? ? 估算教學(xué)要借助真實(shí)情境己莺，引導(dǎo)學(xué)生在選擇合適單位估算的基礎(chǔ)上，感悟選擇合適的方法估算的重要性戈轿，提高解決問題的能力凌受，發(fā)展初步的應(yīng)用意識(shí)。

? ? ? ? 比和比例教學(xué)要合理利用實(shí)際生活中的情境思杯，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并用字母表達(dá)兩個(gè)數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系胜蛉。例如，通過同樣照片的放大與縮小色乾、食品中原料的成分比等誊册，理解比例的意義，能解決簡單的按比例分分配的問題暖璧。

? ? ? 成正比的量教學(xué)要在具體情境中呈現(xiàn)兩個(gè)成正比的量的變化規(guī)律案怯，引導(dǎo)學(xué)生理解可以把這個(gè)規(guī)律表示y/x=k（k≠0）的形式，也可以表示為y=kx（k≠0）的形式澎办，感悟這兩個(gè)表達(dá)的共性與差異嘲碱；引導(dǎo)學(xué)生嘗試在方格紙上畫出給定的成正比的量的數(shù)據(jù)，建立幾何直觀局蚀，為初中學(xué)習(xí)函數(shù)積累經(jīng)驗(yàn)麦锯。